例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题

1、对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨漆绍杰在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，苴中有一类问题是证 明（求）直线过一立点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？ 下面让我们一起来探讨一下。既然直线过一疋点,说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过左点的直线系方程, 过一泄点卩（心,比）的直线系方程可以写成的y 儿=kx-x,那么我们先可写出直线 的方程，再根据方程判断直线过哪一个泄点。下而通过具体例子来说明。例1:已知抛物线y2 = 2px （/?>0）上有两动点A ,B及一个世点M（x°,儿），F为抛 物线的焦点，且丨AF丨，I

2、 A/F I , I BF I成等差数列。（1）求证线段的垂直平分线 经过一定点。（冷+ ，0）： （2）若I MF I =4, OQ =6 （ O为坐标原点），求此抛物 线的方程。分析:（1 ）设人（旺）,8（吃*2），Il AF | , I MF | , | BF |成等差数列，结 合左义得A'| + + X2 = 2（忑+ -y） =* -V +花=X。，由此可设弦AB的中点坐标为2 2 2（勺上）。2p（xi-x2）kAB=-_ = = -7,弦 AB 的中州一花 儿+儿 b垂线方程为：=（x-x0）=> y = -（x-x0-/?）,故弦 AB 的中垂线过定点（#+心0

3、）。（2）略。PP例2：在双曲线2_-£ = 1的一支上有不同的三点姮,6）, C（2,y2）与 焦点F（0,5）的距离成等差数列。求”+儿的值。（2）证明线段AC的垂直平分线经过 一定点，并求该定点的坐标。分析:（1）V AF , BE 9 CF 成等差数列,则结合泄义得由此，可设弦AC的中点坐标为（心6）H 21_兰=斗 _”一儿 _ 12（召+兀）_ 12“ 二2兀 '1 121391213“ 貝一花 13（廿+，2）13x613弦AC的中垂线方程为：1313x + => y2儿21325x + 2忑 2故弦AB的中垂线过泄点（0卡）。2例3:过抛物线x2=y上的

4、定点C（l,l）作两条互相垂直的弦C4、CB,求证直线AB 过泄点。分析：设人3切）,3（尤2，儿），则 yi2=2pxp j22 =2px2OALOBOA 亦=0=>口_1）（兀_1） + （”_1）（儿_1） = 0=>（X 1）（2 1） + （兀一 1 ）（-2 1） = 0 n（X 1）（尤2 一 1）+ （A1 - 1）（吃 一 1）（X + 1）（七 + 1） = 0=> （召 _ l）（x, - l）（x, + 尤2 + 2） = 0因为点A、B与点C不重合，所以（Xj -l）（x2-l） = 0故x+x2+2 = 0X-” =彳一f= =召+禺,直线43 的

5、方程为：y-y =（xA +x7）（x-xt）召一®=> y =（州 +X2）x-xf -xx2 + X => y =（X +x2）x-xlx2=> y = （Xj +x2）x + x+x2+2=> y-2 = （x, +x2）（x + l）所以直线AB过泄点（一1,2）。评析：直线方程虽然被我们“强行”写了出来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一左点, 为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写岀的直线方程进行变形，才可以达到 我们的目的。例4: A , B是抛物线y2 = 2px （p > 0）上的两点，满足Q4丄03（ O为坐标原点），求证:（

6、1）AB两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是泄值；（2）直线A3经过一左点。分析：（1）设人（心）“3（尤2*2），则y22 =2px2=>（yy2）2 =4/?x2=4/?2, yy又由04丄OB>OA创=0=>旺尤2 +)1)'2=0(2 )>'12 -y22= 2"(片一吃)=> K.b =上上=2/?- 旳一兀 X+2直线 AB 的方程为 y_”=_2_(x_xJny = _A_x_PL + ”X + >2X + 儿 ” + 儿= 王x +亡迥工=王(-2”),故直线过定点(2?0)。 X + >2X + 儿X + 儿评

7、析:和上题一样我们要利用题中所给的苴它条件对此"强行”写岀的宜线方程进行变形， 才可以达到我们的目的。例5：设抛物线y2 = 2 px (/?>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A, 3两点，点C在抛物线的准线上，且BC/X轴，证明直线AC经过原点。分析:设人(心yj,8(禺,yJ,则C(2, ”)，直线AC的方程为=丄二乜 '2 -IP2ppP=> (y -yJ* +-) = (y-儿)d-册)=> (y2 一yX+(坷 + -)y = -y> + “儿要证直线AC经过原点,只需证(y - ”)(召+厶=022 22“ 2 2/? 2 2/?

8、2 2评析:此处不是由方程直接看岀宜线经过原点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了直接 证带来的困难。例6:已知椭圆C:二+二=1 («>/?>0)的离心率为徑且在x轴上的顶点分別为 (T b2A (一2,0) A(2.0)o (1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:x = t(t为大于2的一个左值)与x 轴交于点7 P为/上的异于:T的任意一点，直线"PA?分别与椭圆C交于两点M,N, 证明直线MN经过一个定点。分析：（Ay； e =匚=亘卫=2 :.c = 、b = 故椭圆C的方程为+ / = !a 24（2 ）设MCwJMmyJ，直线AM的斜率为人，则直线

9、/M的方程为y = /（x + 2）y = «（x + 2）由, 消去y得（4叶+ 1庆+ 16灯"16好-4 = 0判别式 = 16>0 ,解得+ h = 114 好+ 21 4叶 + 1廿 吾,所以点m的坐标为（芋二a.吾），4奸+14灯+1 4灯+1同理可设直线的斜率为匕，则直线的方程为y =心仗一2），所以点N的 坐标为（汨iA）'4k; +1 4k; +1由于直线 AM 与直线的交点卩（人儿）在直线/上，又 儿=蚣（+ 2）,儿=心（一2）所以何（/ + 2）=為（f_2）n” = _扌由两点式得直线MN的方程为二卫=卫二21,令，=0得兀=3_竺x-Xj x2 -x,y, -y2将代入得x = y,故直线MN经过泄点（y,0）o评析