专题06概率与统计热点问题理科解析版

1、122019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列专题06概率与统计热点问题【最新命题动向】 概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；概率问题的核心是概率计算其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性【热点一】随机变量的

2、期望及综合应用【典例 1】（2017全国皿卷）（本题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售岀的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 （单位：C ）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于 20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最咼气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的

3、频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时,丫的数学期望达到最大值？【审题示例】 看到表格，想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶的需求量的关系 看到一天中酸奶的需求量，想到表格中关系可求解 看到EY的最值问题，想到利用进货量n表示EY,建立函数关系后可求解.【规范解答】(2 分)（1）由题意知，X所有可能取值为 200,300,500由表格数据知，2+1636P(X = 200) =90= 0.2, P(X = 300) = 90= 0.4 ,

4、P(X = 500) = 25；0 + 4 = 0.4 .(5分)因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4 (6分)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ,至少为 200 ,因此只需考虑200 < n < 500, .(7分)当 300 < nW 500 时，若最高气温不低于 25,贝U Y= 6n4n=2n ,若最咼气温位于区间20,25),则 丫= 6X 300 + 2(n 300) 4n= 1 200 2n若最高气温低于 20,贝U Y= 6 X 200 + 2(n 200) 4n= 800 2n,因此 EY = 2n X 0.4 + (1 20

5、0 2n) X 0.4 + (800 2n) X 0.2= 640 0.4n .(9分)当 200 W nv 300 时，若最高气温不低于 20,贝U Y= 6n4n=2n ;若最高气温低于20,贝 9 丫= 6 X 200+2(n 200) 4n= 800 2n ; .(11 分)因此 EY = 2n X (0.4 + 0.4) + (800 2n)X 0.2= 160 + 1.2n,所以n = 300时，丫的数学期望达到最大值，最大值为520元. (12分)【知识点归类点拔】求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型匚二嬴L即选判断随机变竝的分布是特殊的类型还是Jfc 的类型甘i对于特殊的两

6、点分布、二顶分布、超几何分布爭；再崖性卜的期望与方盂可比直接f匕人相应的仝式求解，而| i对于一能类舉的碗机变竝，应先求出其分布列，:燃后代人棚应的公式讣筒 【跟踪训练1】(2018全国I卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验岀不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验p(0vp<1)，且各件产品是否为不合结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为 格品相互独立.记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点po；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合

7、格品，以(1)中确定的po作为P的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX ; 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【思维导引】(1) 先根据二项分布的概念判断并求解相应概率及其最值；(2) 利用离散型随机变量的期望的性质求解并根据概率的意义进行判断.【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= C2op2.(1 - p)18.因此218217217f' (p) = C2o2p(1 p) 18

8、p (1 p) = 2C2op(1 p) (1 - 10p) .(2分)令 f' (p)= 0,得 p= 0.1.当 p (0,0.1)时，f' (p)>0 ;当 p (0.1,1)时，f' (p)<0.所以f(p)的最大值点为 P0 = 0.1. .(4分)由(1)知，p= 0.1. 令丫表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知丫B(180,0.1)，X= 20 X 2+ 25Y，即 X = 40 + 25Y.所以 EX = E(40 + 25Y) = 40 + 25EY= 490. (8分) 若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为40

9、0元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. (12分)【热点二】统计案例【典例2】(2019大同模拟)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费Xi和年销售量 yi(i = 1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.620600SflD 5605405205004&0 I I I I I L I .34 36 3H 40 42 44 4« 48 50 52 54 56年宜倩费/干元£y7a£ (刃一工

10、沪1-12 （气£W>2Alf 文：尤）* El3 y>工(叫個) F 146.65636,8289*8L 61 469108*8表中 IL =、w 帀 2O ±-l(给岀根据散点图判断， 尸a + bx与y= c+ d x哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费x的回归方程类型? 判断即可，不必说明理由 )(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.已知这种产品的年利润 z与x, y的关系为z= 0.2y x.根据的结果回答下列问题： 年宣传费x= 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？it_S(W(

11、_；2w = e 保.2(Uju)2t-i【审题示例】 看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势 看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数 看到预报值，想到代入回归方程 看到利润最大，想到利润=收益-成本，列岀利润表达式，利用函数性质求最值.【规范解答】解：（1）由散点图的变化趋势可以判断，y = c + djx适宜作为年销售量y关于年宣传费型 （2）令，先建立y关于w的线性回归方程.了文伽心厂夕108.8“由于d =j=68i-1c = y 一 d co = 563 68 X 6.8 = 100.6 ,所以y关于3的线性回归方程为y = 100.6 + 68w,因此y关于x的回归方

12、程为 y= 100.6 + 68、X 由知，当x = 49时，年销售量 y的预报值y= 100.6 + 68 49= 576.6，年利润 z 的预报值z = 576.6 X 0.2 49 = 66.32根据（2）的结果知，年利润 z的预报值"z = 0.2（100.6 + 68寸 x） x = x+ 13.6 寸x + 20.12.所以当x= 1316= 6.8.即x = 46.24时，z取得最大值. 故年宣传费为 46.24千元时，年利润的预报值最大. x的回归方程类.（3 分）（7分）.（9 分）（11 分）.（12 分）【知识点归类点拔】求解线性回归方程的解题模型廿二二二二二二

13、二二二二二二二二二卄算 A计侏出sj.氏人的值计回归孫数工$:_ J.i"1! r»i求方yr写出线性同归“线方爭齐益打【跟踪训练2）（2018全国H卷）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位:亿元）的折线图.为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000年至 2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,，17）建立模型：y=- 30.4 + 13.5t;根据2010年至2016年的数 据（时间变量t的值依次为1,2，7）建立模型：y = 99+ 17.5t.（1）分别利用这两个模型，求该地区2

14、018年的环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.【思维导引】 根据给岀的两个模型（回归直线方程）求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给 出的折线图进行对照说明.【解析】：利用模型，2018年对应t = 19，y = - 30.4 + 13.5 X 19= 226.1.利用模型，2018年对应t= 9.A y = 99+ 17.5 X 9= 256.5. （4 分）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i ）从折线图可以看岀，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= 30.4 + 13.5t上下这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线