初值的选取对迭代法的影响试验报告

1、初值的选取对迭代法的影响实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。实验内容：用牛顿迭代法求方程xX1=0在X=1.5附近的根。实验要求：3彳(1) 对牛顿迭代公式：Xki =x了-1，编写程序进行实验，分3Xk -1别取X0 "，X0 =1.5迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。(2) 用MATLA内部函数solve直接求出方程的所有根，并与(1) 的结果进行比较。试验过程： 首先保存牛顿切线法的MATLAB程序为M文件，命名为 n ewt onq x.m.fun cti onk,xk,yk,pia ncha,xdpia ncha=n ewt onq

2、x(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps);pia ncha=abs(x(i+1)-x(i);xdpia ncha二 pia ncha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) xk yk pia ncha xdpia nchaif (abs(yk)<ftol)&(piancha<tol)|(xdpianchav tol)k=i-1; xk=x(i);(i-1) xk yk pia ncha xdpi

3、a ncha return ;endendif i>gxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值 gxmax ')k=i-1; xk=x(i);(i-1) xk yk pia ncha xdpia ncharetur n ;end(i-1),xk,yk,pia ncha,xdpia ncha' 建立名为fnq.m的M文件fun cti on y=fnq(x)y=xA3-x-1; 建立名为dfnq.m的M文件fun cti on y=dfnq(x)y=3*xA2-1;a.当初始值取 冷=0时，迭代次数为10，要求精度为；二10"，在MATLAB

4、工作窗口输入程序为k,xk,yk,pia ncha,xdpia ncha二n ewt onq x(0,1e-3,1e-3,10)运行后输出结果如表1-1表1-1kxkyklxkxk仪xk/|xk1.0000-1.0000-1.00001.00001.00002.0000-0.5000-0.62500.50001.00003.0000-3.0000-25.00002.50000.83334.0000-2.0385-7.43200.96150.47175.0000-1.3903-2.29700.64820.46626.0000-0.9116-0.84600.47870.52517.0000-0.3

5、450-0.69600.56661.64218.0000-1.4278-2.48271.08270.75839.0000-0.9424-0.89460.48530.515010.00000.4049-0.66150.53751.3272由以上可知初始值取x0 = O时，迭代次数为10时，迭代次数超过给定的最大值gxmax根的近似值xk=-0.4049，函数值yk=-0.6615，偏差 piancha=0.5375 和相对偏差 xdpiancha=1.3272。b .当初始值x0 =1.5,迭代次数为10,要求精度为；=10",在MATLAB 工作窗口输入程序为k,xk,yk,pia

6、ncha,xdpia ncha二n ewt onq x(1.5,1e-3,1e-3,10)运行后输出结果如表1-1表1-2kxkyk|xkHxk1.00001.34780.10070.15220.11292.00001.32520.00210.02260.01713.00001.32470.00000.00050.0004由以上可知初始值取x0 M.5时，迭代次数为10时，迭代次数k=3。根的近似值xk= 1.3247 ,函数值yk= 9.2438e-007 ,偏差 piancha二4.8222e-004 和相对偏差 xdpiancha=3.6402e-004。c.用solve函数直接计算方程

7、x3 - x -仁0的所有根，在MATLA工作窗口输入程序solve(W3-x-1');roots(1 -1 -1)运行后输出结果为 ans=-0.61801.6180实验结果分析 :比较初始值分别为x0=0和1.5的两组结果，在x0=0处迭代10次, 迭代次数超过给定的最大值gxmax,得到根的近似值xk=-0.4049，函 数值yk=-0.6615。在x0=1.5处迭代3次就得到根的近似值，根的近似 值xk=1.3247，函数值yk= 9.2438e-007。由此可见牛顿迭代法在初始 值接近于近似根处的迭代速度要比远离近似根初始值的迭代速度快 很多，而且近似值和函数近似值要精确很多， 所以在进行牛顿迭代法 进行根的近似求解时，初始值的选择非常重要。用MATLA内部函数solve直接求出方程的所有根，得到 ans=-0.6180和1.6180，与(1)的结果进行比较时可以发现其两