含绝对值竞赛题的求解策略

1、含绝对值竞赛题的求解策略浙江上虞春晖中学王启东(312353)有关含绝对值的试题，尤其是绝对值与不等式的综合试题在各级各类数学竞赛中频频出现, 本文就此介绍一些常见的求解策略。1、凑配的策略该策略是根据题设条件或结论进行凑配，如：分组、添项、裂项等方法，以达到解决问题的 目的。例1、函数f(x)在0,1上连续，f(0) = f(1)，且对任意不同的Xi，X2 0,1，1都有 I f (xj - f(X2)|：氐-X2 1，求证:| f(X2)- f(X1)|：:2(1983年全国联赛试题)解：；f(x)在0,1上连续，.f(X)在0,1上有最大值和最小值。不妨设最大值M = f(tj,最小值m

2、 = f (t2), t1 ,t 0,11(1) 当 “ 七 | 时，| f(X2) f(X1)|_| f(tj - f&)卜：出 _t2 |2即：|f(X2)f(X1)| 冷1 1(2) 当 | t1 - t2 I _ 时，设 t1 ： t2 即：t2 - t1 -2 21若 t2 : X，同理可得:| f(X2)- f (XJI：21对任意的X1,X20,1，都有I f(X2)- f(xj卜:丄22 、裂项求和的策略本策略是运用数列求和的方法，巧妙地拆项、裂项，再相互抵消，以达到化简求解的目的。nn例 2、已知 x- R(i =1,2 ,n,n 一2)满足 | x, |二1，、 x 0，i

3、 didn x11求证：瓦 丄兰1-一( 1989全国联赛试题)y i2 2nnn证明：设 Sk =捲 x2 亠亠 xk，二 Xi = 0，7 | Xi F 1iWi=1- 1Sn =0，且 |Si |( (i =1,2，n-1)2不妨设 S0 =0，则 xi = Si -Si4 (13 乞 n,i N)n x. n 1n s. nJ s. n 11于是 卷八(Si -Sy)八辿八上Si(-三)i d i i d ii =i ii =1 i 1i =1i i 13、特殊化的策略本策略的思想是从特殊的点、特殊的图形、特殊的值出发，借以问题的部分与整体的内在联系来考虑问题，以寻找解决问题的突破口例

4、3、对实数a,b，已知不等式acosx bcos3x . 1无解,求证：|b|1 (第15届全苏数学奥林匹克试题)2 -证：取x=0,;,分别代入 acosx+ bcos3xw13 3aa得: a b 1,-a-b 乞 1, b 1,b 100,证明最多有二个整数x,使ax2 bx c _ 50。( 1991年江 苏省数学夏令营试题)证明：假设有三个不同的整数Xi、X2、X3，满足ax2 +bx+c兰50，则由抽屉原则Xi、X2、X3中必有两个同时大于-卫(或同时小于A)2a2a不妨设x2x1 b ,2aX1、X2均为整数，a( x1 +x2)+2ax1 +a+a从而(ax/ +bx2 +c)

5、 (ax +bx1 +c) = B(x1 + x2) +b(x2 -xj a100I i 、 / - 2 2另一方面： (ax2 +bx2 +c) (a/ +bxc)22 ax2 +bx2 +c + ax1 +bxr +q 50+50=100矛盾。满足条件的整数最多只有二个。6、构造的策略该策略通过构造某些函数、数列、复数等辅助量，然后利用辅助量的某些性质达到求解的目的。例 7、设 a,b,x,y e R,且 x2 + y2 =1,试证 Ja2x2 +b2y2 +*a2 y2 +b2x2 斗a + b(数学通报1985年征解题)证明：构造复数，设 z1 =ax+byi, z2=bx+ayi贝U

6、、；a2x2 +b2y2 + Ja2y2 +b2x2 = z1 + z2| 启 乙 +z2 = (a+b)x + (a+ b)yi= a+b x + yi=a+b 原不等式成立。注：本题构造复数，将根号转换为模，巧妙求解。例&已知f(x)= CZn GZn4亠亠CnjZ Cn是一个n次复系数多项式，求证：一定存在一个 复数Z0，|zj 1并且满足f(Z0)|到c|+|cn|。(1994年中国数学冬令营试题)证明：对于给定的多项式f(z)，常数Cn的辐角是确定的(当cn =0时，辐角可任意选取)，所 以可取一个与Cn有相同辐角的复数卩，使|円=|C0 + Cn构造多项式 f(z)-J =C0zn

7、 C1zn 4 Cn1矛盾,Co因此必有Zo为f(Z)- k=0的模不大于1的根，即却兰1，使得f(Z0)| =罔=|c0| +|c结论成立。7 、数学归纳的策略该策略通过抓住题设中与n有关的要点，然后应用数学归纳法加以证明。 例9、设n是正整数，证明：对所有实数x,有 cosx + cos2x + cos4x + + cos2nx 兰 2 证明：用数学归纳法证明：当n=0时，结论显然成立。当n= k k +1c x+|c2xo八+c o2k*xy c(x( c2xocs4xk八+sco2k血)启-即 n=k+1 时，结论成立，对任意正整数n,题论结论成立。例10.设函数f(x)对所有的有理数

8、m,n都有f(m + n) - f(m)兰凹时，如果冷那么结论成立。女口果cosx1 2 1 2m，那么 2cosx?,即 2cosx+0从而 cosx + cos2x =1 + cosx(1 _2cosx )31，结论亦成立。假设n=k-1,k k _1时结论成立，则当n=k+1时如果cosx+ cos2x 卡* cos2kdtx =|cosx +(cos2x + cos4x1c oxs，由归纳假设有2+ cos2k 2x- +- =-_1 女口果 c o x 1及假设证明：对所有正整数kk,有送 |f(2k)-i mf(2i) 2,存在n个不全为零的整数a i, |a i | k-1(i=1、| 81X182X2 37anXn |_ (k n n (第 28 届 IMO试题)kn -1证：由柯西不等式：把区间0, (k -1b. n等分成kn -1份，每个小区间之长为 坐 亠卫,k -1由于 ai =0,1,2, ,k -1 (i =1,2