等差数列的概念教学设计

1、等差数列的概念教学设计6.2.1等差数列的概念【教学目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念.2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想.【教学重点】等差数列的概念及其通项公式.【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用.【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得 出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.【教学过程】环节教学

2、内容师生互动设计意图问题某工厂的仓库里堆放一批钢教师出示引例，并提出问希望学生能通过管（参见教材图 6-1）,共堆放了 7层，题.对日常生活中的实际导入试从上到下列出每层钢管的数量.学生探究、解答.问题的分析对比，建 立等差数列模型，进 行探究、解答问题， 体验数学发现和创造 的过程.从上例中，我们得到一个数列，每师：请同学们仔细观察，由特殊到一般，层钢管数为看看这个数列有什么特点？发挥学生的自主性，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.学生观察、回答.培养学生的归纳能教师总结特征：力.从第二项起，每一项与它新前面一项的差等于冋一个常数课（即等差）.1.等差数列的定义我们给具有这种特征的数

3、在学生自主探一般地，如果一个数列从第二项万II个名字等差数列究的基础上得出定列丨名字等差数列.起，每一项与它前一项的差等于冋一个教师板书定义.义和公式，更有利于常数，这个数列就叫做等差数列，这个师：等差数列的例子，在学生理解和运用.常数就叫做等差数列的公差（常用字母生活中有很多，谁能再举几“ d”表示）.个？练习一抢答：下列数列是否为等差数列？教师出示题目.1, 2，4, 6, 8, 10，12，；学生思考、抢答.0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6,；师：你能说出练习一中，3, 3, 3, 3, 3, 3 , 3,；各等差数列的公差吗？2 , 4 , 7 , 11 , 16 ,；学生说出

4、各题的公差 d.8, 6, 4 , 0 , 2 , 4,；教师订正并强调求公差应3 , 0, 3, 6 , 9,.注意的问题.注意：求公差 d 一定要用后项减前项，而不能用前项减后项.2 常数列特别地，数列3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3,也是等差数列，它的公差为0 .公差为0的数列叫做常数列.新课3 等差数列的通项公式师：已知一个等差数列引导学生观察、首项疋a1 ,公差是d的等差数列anan的首项是a1 ,公差是d ,归纳、猜想，培养学的通项公式可以表示为如何求出它的任意项 an呢？生合理的推理能力.an= a1 + (n 1)d.学生分组探究，填空，归学生在分组合纳总结通

5、项公式作探究过程中，可能a2= a1 + d ,会找到多种不同的a3=+ d =+ d解决办法，教师要逐=a1 +d ,一点评，并及时肯a4=+ d =+ d定、赞扬学生善于动=a1 +_ d ,脑、勇于创新的品质，激发学生的创造an = a1 + d.意识.师：一个等差数列的各项，4 .通项公式的应用已知_和_就可以确定下来？根据这个通项公式，只要已知首项师：等差数列的通项公式a1和公差d,便可求得等差数列的任意项中共有几个变量？an.事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出新课第四个.例1求等差数列8, 5, 2,的通 项公式和第20项.解 因为 ai= 8, d

6、= 5-8= 3,所以这个数列的通项公式是an = 8+( n-1) x (- 3),即 an = 3n + 11 .所以a20= 3X 20 + 11 = - 49.例2 等差数列5, 9, 13, 的第多少项是一401 ?解因为a1= 5,而且d = 9 ( 5)= 4,an = 401,所以401= 5+ (n 1) x ( 4).解得n =100.即这个数列的第100项是一401 .练习二(1) 求等差数列3, 7, 11,的第4, 7, 10 项.(2) 求等差数列10, 8, 6，的第20项.练习三在等差数列an中：1(1) d = - , a7= 8，求 a1;3(2) a1=

7、12 , a6= 27,求 d.例3在3与7之间插入一个数A, 使3, A, 7成等差数列，求A.解 因为3, A, 7成等差数列，所 以A 3 = 7 A, 2A = 3 + 7 .教师引导学生分析本题， 已知什么？求什么？怎么求？学生思考、说出已知、所 求，代入通项公式.强调：通项公式是用含有n 的式子表示 an .学生尝试解答后，师生共 同板书解题过程.仿照例1,教师引导、点 拨.学生解答.多媒体出示解题过程.学生核对、订正.教师强调解题过程要规范、严谨.学生练习.请学生在黑板上做题.教师巡视指导.师生共同订正.教师出示例题.学生同桌之间合作探究. 学生分析解题思路.教师出示答案，订正.

8、师：在a与b之间插入一鼓励学生自主 解答，培养学生运算 能力.通过例题，强化 学生对等差数列通 项公式的理解，强化 学生学以致用的意 识.由特殊到一般， 发挥学生的自主性， 培养学生的归纳能 力.解得A=5.5 .等差中项的定义一般地，如果a, A, b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项.6 .等差中项公式如果A是a与b的等差中项，则这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数.个数A,使a, A, b成等差数 列.你能用a,b来表示A吗？ 学生探究、回答.教师订正学生的回答，给 出等差中项的定义和公式.师：你能用文字描述一下 这个式子的含义吗？师：在等差数列1, 3, 5,7, 9,

9、 11, 13,中，每相邻 的三项，满足等差中项的关系 吗？学生分组合作探究，得出 结论.在学生自主探 究的基础上得出定 义和公式，更有利于 学生理解和运用.引导学生观察、 归纳、猜想，培养学 生合理的推理能力.7 .一个结论在等差数列 ai, a2, a3,，an,中,a2 =a3 =ai + a32a2 + a42师：能将这个结论推广到 一般的等差数列中吗？学生继续分组合作探究.教师总结学生的回答，给 出结论.an =an1 + an+1这就是说，在一个等差数列中，从 第2项起，每一项（有穷等差数列的末 项除外）都是它的前一项与后一项的等 差中项.练习四求下列各组数的等差中项:（1）732

10、 与136;（2）49 与 42.学生做练习.学生回答各题结果，统订正答案.通过两道直接 套用公式的练习题， 强化学生对中项公 式的掌握.教师出示例题. 学生分组合作探究.学生在分组合 作探究过程中，可能例4已知一个等差数列的第 3项是 5，第8项是20,求它的第25项.解 因为a 3 = 5, a8 = 20 ,根据通项会找到多种不同的公式得教师点拨、引导：解决办法，教师要逐a什(3 - 1)d=5(i)例题给出了哪些量？一点评，并及时肯如何用数列付号表示？定、赞扬学生善于动ai+(8 - 1)d=20(2)例题中的所求量是什脑、勇于创新的品整理，得么？需要知道哪些条件？质，激发学生的创造a

11、i+2d = 5意识.ai+7d = 20教师总结学生思路，给出解此方程组，得ai=-i, d = 3.解题过程.所以a25= 1+(25 1) X 3 = 71.强调：已知首项 ai和公差d，便可求得等差数列的任意项an.练习五学生自主练习.鼓励学生自主(i)已知等差数列an 中，ai = 3,教师巡视指导.解答，培养学生运算新an = 2i , d = 2，求 n.请个别学生在黑板上做题能力.课(2)已知等差数列an 中，a4= io,后，师生共同订正.a5= 6，求 a8 和 d.例5梯子的最咼一级是 33 cm,教师出示例题.通过例题，强化最低一级是89 cm ,中间还有7级，各级引导

12、学生将题中的已知和学生对等差数列通的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.未知转化为用数列付号表示.项公式的理解，强化解 用an 表示题中的等差数学生学以致用的意列.已知 ai= 33, an = 89 , n = 9,识.则 a9= 33+(9 i)d，即89 = 33 + 8d,解得d = 7.学生解答.于是教师巡视指导.a2 = 33 + 7 =40 ,a3 = 40 + 7 =47 ,a4 = 47 + 7 =54 ,a5 = 54 + 7 =6i ,a6 = 6i + 7 =68 ,教师出示解题过程，强调a7 = 68 + 7 =75,解题步骤要规范、严谨，叙述a8 = 75 + 7 =

13、82 .要简明、完整.即梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm， 82 cm .例6 已知一个直角三角形的三条教师出示例题，提示点拨：在例题的教学边的长度成等差数列.求证：它们的比当已知三个数成等差数列时，中，教师要注重引导新是 3 : 4 : 5.可将这三个数表示为学生分析题意，教会课证明 设这个直角三角形的三边长ad, a, a+d,学生思考问题、解决分别为其中d是公差.由于这样具有问题的思路与方法；a d, a, a+d.对称性，运算时往往容易化简.在解决问题中，将新根据勾股定理，得学生根据教师的提示，分的知识内化到学生(a d)2 + a2 =(a+d)2.组探究.原有的认知结构中解得a = 4d .请学生在黑板上做题.去.于是这个直角三角形的三边长是教师引导学生订正解题过3d, 4d, 5d，