寿险精算习题及答案0001

1、习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了 1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率 为3%。I、 如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。解：I表4 -死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3) =1000* (2)(4)(5) =(3)*(4)1110001.03 J970.872220001.03 工1885.193330001.032745.434440001.03 虫3553.955550001.03，4313.04合计-15000-1346

2、8.48根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：1000 （1 1.032 1.033 1.034 1.035 1.03 冷=13468.48 （元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。解：II表4乞死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值(1)(2)(3) =1000* (2)(4)(5) =(3)*(4)11000* q40 =1.65016501.03，1601.9421000* 1|q40 =1.80918091.03，1705.1631000* 240 =1.98619861.031817.4741000*q40 =

3、2.18121811.03-1937.7951000* 4q40 =2.39123911.03-2062.50合计-10017-9124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：2J_2J3_4_51000 （q4<1.03 +1|q4<1.03 +2|q4<1.03 +341.03 +4|q41.03 ）=912486（元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。【例4.2】某人在40岁时投保了 10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；

4、III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，2Ai0：3| 二"V kq40 =(vq40 v 1|q40 v 2040)=(vq40 v P40q41v 2 P40q42)k =00.00165 丄(1 0.00165)x0.001812 丄(1 0.00165)x(1 0.001812)x 0.001993 "1.051.0521.053= 0.00492793 (元)。II、单位赔付现值期望的方差为，2A40:3| - (A40：3|)v ")k|q40 - (A40：3|)= (v q40 v 1|q40v 2|q40)(Al0：3)=°

5、.00444265k=0III 、趸缴纯保费为，10000 a4°3 =49.28 （元）【例4.3】某人在50岁时投保了 100000元30年期定期寿险，利率为 8%假设xlx =1000（1），计算趸缴纯保费。10529解：趸缴纯保费为,100000 A50：30|= 100000' 1.08" 1) kP50 q50 kk =0其中，50七55 k，q50 * 5550，k -丨 51 *l 50 k155 k2955 _ k故，100000 a50:30| =100000、1.08 «k 1-心5555 - k= 20468.70 (元)10000

6、0 1 1 (1/1.08)30xx551.081 -(1/1.08)二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了 10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为 5%根据 93男女混合表计算：I、 单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，64k -12365A40 =為 V山40 =V q40 v 1040 v 240 V 6440 = 0.18853 （元）。k=0II、单位赔付现值期望的方差为，642A40 -(A40)2 八 v2(k ° 40 -(人。)2 =0.00191979k =0III、趸缴纯保费为，10

7、000 At0 =1885.29 （元）三、n年定期生存寿险【例4.5】某人在40岁时投保了 10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、 单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，a40：20广V20 20 p40 =0.342332 （元）II、 单位赔付现值期望的方差为，v2 20 20 p40 20q40 = 0.0313891III、 趸缴纯保费为，10000江氐為=342332 （元）纯保费 + 风险附加费用=100 （E（z） R） =100（0.34233170.021318

8、3） = 36.365 （元）四、n年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了 10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为 5% 根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解: I、单位趸缴纯保费为，俭远严人:词+人如晶= 0.391722 （元）II、 单位赔付现值期望的方差为，Var（z）二Var（z） Var（z2）-2E（zJE（Z2）= 0.004261III、 趸缴纯保费为，10000 At0:20| =391722 （元）六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在 4

9、0-60岁死亡，赔付 7550000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、 利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。解、这份保单可以分解为一份 50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期 寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，50000(M40 -M65)100000(M65 -M75)30000 M 7550000(M4° M65)-70000ME(z)=D40D40D40D40_ 50000(13451.43 + 7800.72) -70000汉 4432.38 8QQ

10、8 487 一-9394295-元这份保单还可以分解为一份 30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000 元延期25年的10年定期寿险的组合，即，E(z)二30000MD404020000(M40 M75)D4050000(M 65 - M 75)D4050000( M 40 M65) -70000M 75D40七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率 6%参照生命表(U,93,1000000):I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V

11、、 延期10年的20年定期寿险；VI、延期10年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险：Aso =M50'D50 =11729.0451090.53 =0.229574DA50 二 DM 50/DD50 -M50/d50 =225.6235/2 773.6211 -(11729.0451090.53)2 = 0.028642II、20年定期寿险：AL20| =(M50 -M70)/D50 =(11729.04-6149.05)/51090.53 = 0.109218DA10:20| = (DM50 -DM70)/ DD50 -(M50 -M70)2/D；02二(225.6235 - 6

12、0.4193)/2 773.6211 -(11729.04 - 6149.05)/51090.53)二 0.047634III、20年定期两全保险：A50:20| =(M50 -M70 D70)/D50 =(11729.04-6149.05 12374.69)/51090.53=0.35142922DA50：20| = (DM 50 - DM 70 DD70) / DD5 _ ( M 5 _ M 70 D70 ) / D5020.011583= (225.6235-60.4193209.471)/2 773.6211 - (11729.04 -6149.0512374.69)/51090.53

13、)2 二IV、延期10年终身寿险：10|As0 =M60/D50 =9301.66/51090.53 =0.1820622 2 2el DA50 = DM60/DD50 -M6o/D50 =130.1094/2773.6211-(9301.66/51090.53) =0.013763V、延期10年的20年定期寿险：10|A50:20| = (M 60 -M 80)/D50 =(9301.66-2802.27)/51090.53=0.12721312210| DA50：20| = (DM 60 - DM 80 ) / DD50 _ ( M 60 _ M 80)/ D502(130.1094-18

14、.522)/2773.6211 - (9301.66 -2802.27)/5 1090.53)2 = 0.024048VI、延期10年的20年定期两全保险：10|人0:20| 訥60 的。D80)/D50 =(9301.66-2802.27 4312.51)/51090.53=0.211622=10| DA50：20| = ( DM 60 一 DM 80 DD80)/ DD50 - ( M 60 1 M 80 ' D80) / D502=(130.1094-18.522 40.7625)/2773.6211-(9301.66-2802.27 4312.51)/51090.53) =0.

15、010144第三节 连续型(死亡即刻赔付)寿险趸缴纯保费【例4.9】已知被保险人的寿命分布函数xF(x)市，。*100，假设“°5，分别要使保费有95%的概率足够支付死亡赔偿，计算Ro求 A40 和 DA40 。解、S(x)-F(x)=Jxt =S'(x t)S(x t)11 -(x t)tPxS(x t) 100 -(x t)S(x) 一 100-xfx(t)=tPxt1100 - x当 x =40， fx(t)二丄，0 Et 100-40=60。60A476一怙亠e)60心%"dt1 e60 0 2 60 、-0.05：t e 60 0.0500 = 0.316

16、74，2 60 0.05e4>0.05沁 600 =0.1662544，DA40 =2A40 -(A40) 0.06593 ；【例4.10】(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布，亠-0.06，利息力 6 =0.03。计算，I、Ax、DAx ； II、Pr(w 兰 J.9)=0.9，求 J.9 ； III、假设有 100个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为(V R)Ax。在正态分布条件下23'Xftt二二，则,解、在常数死亡力下，t Px =exp(f Ads) =e，4X*2” eyp2Ax显(叫卫网乜二2 2DAx = Ax -

17、(Ax)118 ；II、Pr(Zt 乞 0.9)=尺2 乞 0.9)= P (t 一 导)=P (t 一 一 = 0.9，In vot (余命)的密度函数 fx(t)=tPx =U em，则,Pr(t _ ln 0.9).9rln 0.90-92 In .e 0.9= 0.9 ,10解得，09 0.9 ；Zagg 二 100_E(z)100 R E(z)III、Zagg 二 z Z2 . Z100 > N100E(z),100Var(z)，根据题意,Przagg =100(1R)E(Z)和亏00Var(z)_100Vag "95张-100 E.n(0,1)*100 Var(z)

18、100 R E(z)"96R J100 Var(z)丿DAxrJ.96 7=19=0.06929646520/310 Ax二、延期定额寿险【例4.11】(x)投保延期10年的终身寿险,保额为1单位元，保险金在死亡时即刻给付。已知利息力为、：=0.06，生存函数S(x)=e°04x，(x_0)。求赔付现值zt趸缴净保费、方差和中位数-0.05。解, fx(t)二S(x t)0.04(x t)-0.04eS(x) 0.04 x e0.04t二 0.04e，趸缴净保费:10| Ac'，_x -0.06te 0.04 e-0.04tx -0.110.1t xdt = 0.0

19、4 e dt = -0.4e110K0 =0.4e =0.147152方差:k2 A<10音12t 0.04严恥0.04/%0.25严宀K0 二 0.25e*.6 二 0.0504742 2ioi DA< =doAx -(io|Ax)0.028820484中位数005 : 当事件乙=0时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率，也称为重点概率。在本例中延期范围m =10，则，10P（Zt =0） =R（t ：10） = ° O.O4ed04tdt =0.32968也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.32968<0.5，

20、说明中位数不在重点概率上。则,r10O.O4e4.04tdt =0.5 0.32968 =0.17032 二 土。4" 10= 0.17032弋 r = 17.32867721 中位数=17.33。第五章生存年金第一节离散型年金1、终身生存年金【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%根据93U生命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。解、a45N46D451610605.746106465.32= 15.128Da45DM45DD45-(45 ) 2(1i)2DM45DD-(45D4545 ) 21.052 r 922

21、.7917“ 24700.0312 各2 () =10.60760.0511849.2184106465.3200每年可领取金额 =10000/a45 =10000/15.128 =661.026 (元)2、定期生存年金【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000元的给付，利率6%,根据93U生命表计算精算现值。解、N - N1000 a40:20| =1000 4 亠D40= 10001422016.8929-305710.381793942.9488= 11882.8(元)3、延期终身生存年金【例5.3】对于（30）从60岁起每年年初6000元

22、的终身生存年金，利率为 6%试用93U生命表求趸缴净保费。解、6000 30E30 氏。=6000 D60 血D30D60= 6000 凹D306000 305710.3817170037.78674、延期定期生存年金【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。如果年金每年 年初支付一次，每次支付 6000元，利率6%根据93U生命表计算趸缴净保费。解、趸缴净保费=6000（希V3030P30 40030）=6000（帝 30E30 40©30）= 6000 （归d）型

23、匚 J06 （1"06。）170037.78670.0626606.0247 109986.2647=11205.4510或者，趸缴净保费1 _ V = 6000（a和10|360）30 E30 = 6000 （d D60三、年付一次变额生存年金1、一般变额生存年金【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：被保险人60-69岁每年付给6000 元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。在预定利率6%条件下，根据93U表计 算趸缴净保费。解、保费二 6000 30 E30 a60:10|7000 40 E30 a7010|8000 50 E30

24、 a8010|二 6000D0D30N60 - N70D607000 D0D30N70 - N80D70_8000皿血皿D30D80-(6000 N60 1000 N70 1000 N80 -8000 N90)“ D30 =11455.98 (元)2、等额递增生存年金【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。计算这笔年金的精算现值。解、可以理解为一个每年支付 4500元的3年期等额生存年金加上一个每年递增500元的3年期等额递增生存年金，贝精算现值=4500a50 500(la)50 =(4500N

25、51 500S51)/D50 =75416.67 (元)五、年付多次生存年金1、年付r次终身生存年金【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求趸缴净保费。解、净保费简算法:6000汉30a302)茫6000汉(30点30 汉30E30) =6000汉 24"60 一11。60 =1035708 (元)2x1224D30净保费简算法:(12)600030030i(r)-iAx(r)=60001 / rr (1 i) -1 -i M x/Dx21771/Tr (1 i) -1 1 一(1 i)= 94035.82 (元)6000过 12 斛.叫12-1)06"4730.1

26、10037.7912 x(1.06; 1)x(11.06)【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死 亡年年末获赔10000元。如果利率6%根据93U表计算精算现值。解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，10000 心30| 6000 30冃302) =10000 凹20 阪 6000 竺昱 11D6 = 10676.33 (元):|D3024D30第六章均衡净保费第一节离散型均衡净保费一、全期缴纳的均衡净保费【例6.1】某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。已知 利率6%按93U表计算死亡年

27、年末赔付的年缴均衡净保费。解、1000 P60=1000 皿9301.663530.4264 （元）N60305710.38172、定期寿险:1 1Px：nax：n 一 Ax:n| ，P1 - Ax:n|x:n| ax:n|M x - M x nNx-Nxn【例6.2】某人40岁购买了 3年期1000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付，保险费每年初缴付保费，已知利率6%按93U表分别计算2和3年内的缴均衡净保费。解、1000= 1000M 40 - M 43N40 - N43= 100013451.4266 -12997.28861422016.89 29 -1156275.06 66= 1.

28、7091000 2P爲A；0：3|=1000a40:2|M 40 1 M 43N40 1 N42= 100013451.4266-12997.28861422016.8929 -1239594.7526= 2.4895【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从 60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6%如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93U表分别计算年均衡净保费。解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果 30内均衡缴付，则有,30|a30P( 30|a30)= 6000 aa30:30|6000 N60N30 _ N606000 305710.3817=752.34

29、592743767.51 18-305710.3817如果10内均衡缴付，则有,10 P(30冃30)=600030030a30:10|6000 N606000 305710.381 71387.7522N30 - N402743767.51 18-1422016.8929【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后多存活一年后死亡，保险金减少500元，保险金额减少到零时，合同终止。若保险金额在死亡年末付，保费5年内缴清。利率为4%根据03M表计算年缴净保费。解、该人购买的是定期16年递减寿险，每年递减额为 500元。均衡方程式为，5P a45:5|

30、=50° (。人冶词，500 (DA)；5：16|= 50016M 45 - R46' Re2N45- N50= 50016* 47940.6403-1333419.0383 629432.2938= 41.3041784.5773- 2281977.2295第二节连续型均衡净保费【例6.5】设生存函数 J 1 -丄(x _0)，- =0.05，试求40岁的人投保终身寿险的连续100型均衡净保费。解、t Px 二lxt100 x tlx100-x '1，当"40时，fxf60则有，A =*0fx(t)dt 二丄6060. t0 e dt"3167所

31、以，陽二A40a40A40 = 0.02321 - A40第四节一年多次缴的均衡净保费【例6.6】(25)投保35年期的定期寿险，保险金额为 10000元，保费在每月月初缴纳，保险金在死亡年末付给，利率4%根据93U表计算I、全期缴纳月保费；II、10年限期缴纳的月保费。 解、I、年缴12次的年净保费：1(12) , " 1、A25:35|M 25 - M 60p()(A25:35|)L 10000a25:35iN _N 12 T (D _D )54683.2936-39801.6626n25 n602 12 ( D25D60)10000石21658138148.1240-11343

32、83.2491(367688.9906-83431.7875)月保费为，P(12) (a25:35 )/12 = 1.8042【例6.7】对于(40)的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付100000元外，还退还过去已缴净保费的累积。假设利率5%保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付一次、20年付清，根据93U表计算以下几种情况的年缴均衡净保费。I、退换保费部分不计利息；II、退换保费部分按3%十复利；解、设年缴均衡净保费为 P,则，I、不计利息；已缴净保费的累积虽然不计息，但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这就构成定期递增的寿险，其收支平衡式为，P汉a40页| =100000

33、汉A；0页| +卩汇(IA)；0：勿，解得，1P = 100000 江 A40勿=100000 5 40-M 60)= 746 29a40：20| (IA)40：20|( N40 - N60)(民0 - R60 + 20 汇 M 60 )如果不退还还过去已缴净保费,100000 A340:20|140:20|100000(M 40 M 60)_ 386 65 (N40-N60)=II、按3%十复利：如果退还保费以利息率 j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死 亡时间变动的年金终值，即， b心=Ps刊j,其现值变量为， W=vk*汇,n 二令 S 二 J 1Sj|j k|qxk -0(0

34、_k _ n)n -1精算现值为,E(W)二 P ' vk1 5口仃 k|qx,k=0收支平衡式为，P a40:20| =100000 A：0:羽 P S，解得,二 409.29651100000 40画 P 二a _ _S40:20|100000 0.049390512.773834-0.706665第二章责任准备金第一节离散型责任准备金一、将来法全期缴费责任准备金【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在 5年内均衡缴付。当利 率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。解、每人年缴净保费为，1000 P4o,5| =1000 A40 =1000 M 4 M 45 = 100013451.43 -12667.171.8760621-“1422016.88-10