模糊数学论文

1、模糊数学论文Prepared on 22 November 2020模糊数学论文姓名：张益群学号学院：经济管理学院专业：应用经济学摘要：自从有了模糊数学，人们总习惯于追求精确性和清晰性。随着科学技术的发展， 人们对客观世界存在的大量模糊现象产生了越来越浓厚的兴趣，希望也能用数学的方法 清楚地表述和处理模糊现象。以下简要介绍模糊数学是怎样产生的，模糊数学的发展以 及模糊数学的应用，并以模糊数学在土地资源评价中的应用为例介绍模糊数学的实际应 用。关键字:模糊数学；起源；实际应用1模糊数学的起源和发展传统数学的局限性我们都知道，利用传统数学的精确性，人们可以设计远程炮弹,甚至洲际导弹,将 误差压缩在

2、很小的范围内；电子计算机能在几个小时内将圆周率计算到小数点后十万位； 电子计算机能在几小时内将圆周率计算到小数点后十万位，能在几分钟内解出含有1000 个未知数的方程组，其速度之快令人惊叹一句话，传统数学的精确性有目共睹，它 的广泛应用举不胜举。但是，客观世界还存在着另一个普遍现象模糊现象。例如从 倾盆大雨到绵绵细雨，这一自然现象的变化是逐渐的，什么叫大雨什么叫中雨什么叫 小雨没有明确的界限。又比如老师们常常用“优”、“良”、“差.诸等级来评定学生的学习成 绩，但什么是优什么是良什么是差呢彼此的界限又在哪里呢如果90分以上（含90分） 为优，那么89分就是良。90分与89分仅有一分之差，而概念

3、“优”与“良”却差别很大， 这样的评分显然不科学。模糊现象反映到人们的思维中，便形成了没有明确的内涵和外延的模糊概念，如 “一堆”、“老年人”、“中等”“附近”、“高”与“矮”、“很大”与“很小”、“浓”与“淡”，“好看”与“难 看”等等。这些都是模糊的概念。科学的发展，伴随着数学的全面渗透等等，一些过去 与数学关系不大的学科，如教育学，语言学，管理学等人文学科，都迫切需要定量化和 数学化。但是，当人们应用传统数学的思想方法去处理客观现实中的模糊现象时却遇到 了实质性的困难，比如讲，一个拥有2000人的师范学校的门卫员，能够根据一些模糊 印象判断进出门的人是否是本校的教职工或学生，可是，如果让

4、计算机来识别进出门的 是谁，那它就得按照精确的数学方法，测量来人的身高，体重，胖瘦，手臂摆动的角 度，走路的速度及声音频率等一大堆数据，而且还要精确到小数点后几十位才行。如果 有人一时长胖了一些，与计算机原来存储信息不一致，那它就“六亲不认了，可见，传 统数学思想方法对模糊事物是无能为力的。诸如上述问题，使人们意识到，有必要寻找 一种描述，处理模糊事物的方法。模糊数学的产生认识到研究模糊性的重要性和积极意义，是科学史上的一件大事。这个功绩属于美 国着名的科学家查德教授。长期以来，查德围绕决策控制与其有关的一系列重要问题的 研究，逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出:“如果深入研究人类的认识过

5、程，我 们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱，这一点是理解人类智能和 机器智能之间深奥区别的关键。”1965年，他发表了一篇模糊集合的论文，这标志 着模糊数学的诞生。查德第一次把模糊性和数学统一在一起，他的观点不是让数学放弃 严格性去迁就模糊性，而是要把数学方法打入具有模糊现象的“禁区'，也就是说要把数 学吸收人脑处理模糊现象的优点，以精确对模糊,用精确的数量关系来表达模糊概念及 其关系。因此，模糊数学决不是模模糊糊的学科，而是以数学的手段分析与处理模糊事 物的学科。模糊数学的发展模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。理论研究主要是经 典数学概念的模糊

6、化。由于模糊集自身的层次结构，使得这种理论研究更加复杂，当然也 因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算 机等模糊数学分支。应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨，对模糊逻辑及模糊信 息处理技术的研究。模糊数学的应用范围已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领 域。特别是在模糊控制、模式识别、聚类分析、系统评价、数据库、系统决策、人工智 能及信息处理等方面取得了显着的成就。从1965年算起，模糊集与系统理论（或简单地说成模糊理论）已走过了 32年的风雨 路程，如今已发展成一门独立的学科。参与这个学科研究的国度遍布全球，研究人员与 曰俱增，模糊新产品不断问世，模

7、糊技术不断被应用到高精尖领域。因此，可以毫不夸 张地说，全球性的“模糊热”已经形成。目前，模糊理论方面的专业学术杂有:Fuzzy Setsand Systems（模糊集与系统，国际模糊系统协会会刊，德国承办），模糊系统与数学中国模糊系统协会会刊，国防科技大学承办），（模糊数学杂志，美国），BUSEFAL（模糊集及其应用研究快报，法国)，IEEE Transactions on Fuzzy System(IEEE模糊系统，美国电 气和电子工程师学会主办)。2模糊数学的主要内容模糊数学的基本概念1. 模糊集(Fuzzy set)定义1设X是论域，称映射A ： X-0,1为X上的模糊集合(Fuzzy

8、 set)简称F 集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A(.)为F集A的隶属函数。(1)模糊集合的表示：U = uU2，,un), A(u)称为元素u属于模糊集A的隶属度;则模糊集可以表示为：A = N& +皿+. +竺史，或人=5)6(1】2)，,A(un),54UpA = (u1,A(u1),(u2,A(u2)，,(un,A(un) o(2)模糊集合的运算：A = A(u ), A(u 2)A(un), B = B(u ), B(u 2),., B(un),并集：Ak>B = A(u1)vB(ul),A(u2)vB(u2),. A(un)vB(un),交集：A

9、nB = A(u1)AB(u1), A(u2) aB(u2),. A(un)AB(un),补集：Ac=1-A(U1),1-A(u2)，,1-A(un),包含：若VueU,有A(u)<B(u),则有AuB。2. 鬲集定义2称论域X上的F集的全体集合F(X) = A I A : X f 0,1为X上的F-帚集。3. 模糊集的九一截集定义3 已知U上模糊子集A : U f 0,1,u - A(u)(Vu e U)对九田0川，则称A；. = u|u G U, A(u)之初为模糊集A的"截集；称A入=曲e U, A(u) >入为模糊集A的 *九一强截集；九称为A,.、A入的置信水平

10、或阈值。*4. 三角范数、反三角范数定义4 称二元函数T： 0,1*0,10,口为三角模或三角范数，简称范数，满 足以下条件：若a, b, c, dE0, 1,有：交换律：T (a, b)=T(b, a)结合律：T(T(a, b), c)=T(a, T(b, c)单调性：aWc, bWd 时，T(a, b) WT(c, d)边界条件：T(a, l)=a, T(0, a)=0定义5称二元函数S ：为反三角范数，简称S-范数，满足以下条件：若，b, c. dEO, 1,有：交换律：S(a, b)=S(b, a)结合律：S(S(a, b), c)=S(a, S(b, c)单调性：aWc, bWd 时

11、，S(a, b)WS(c, d)边界条件：S(a, 1)=1, S(0, a)二a模糊数学的基本定理1 .模糊截积定义6已知U上模糊子集A:Uf OJ,uf A(u)(VuwU),对入日0吐 九A也是U上模糊集，其隶属函数为：(ZA)(u) = XaA(U),(VuU)；称为九A为九与A的模糊截 积。2 .分解定理1 已知模糊子集AwF(U),则A =，v AAA 0.1 推论 1 ：对 VueU, A(u) = vX|Xg0,1,ugA. )o3 .分解定理2 已知模糊子集A$F(U),则人=u XA. o入ao."e推论 2 :对 Vu eU, A(u) = vXXg0J,u e

12、 A 入。3模糊数学的实际应用模糊技术所谓模糊技术就是利用模糊数学的基本理论在具体实现模糊控制、模糊识别、模糊 诊断、模糊预测及模糊推理等的过程中、积累起来的经验、知识和技巧。模糊技术已渗透 到自然科学、社会科学及工程技术的几乎全部领域，像电力、电子、核物理、石油、化 工、机械、冶金、能源、材料、交通、医疗、卫生、林业、农业、地质、地理、地震、 建筑、水文、气象、环保、管理、法律、教育、心理、体育、军事和历史等领域，都有 其成功应用的范例。近几年来，模糊技术已被列入我国的多种攻关计划.1988年,国家 自然科学基金委员会组织全国35所高校及研究机构开展了“模糊信息处理与机器智能，重 大联合攻关

13、项目的研究，并拨专款135万元予以支持；1994年，国家经济贸易委员会拨 资上亿元开发模糊技术产品；国家技术监督局专门成立了模糊技术标准化工作组，制定 各种模糊产品的国家标准；1991年9月，中国微机学会单片机公共实验室曾组织召开全 国家电模糊控制会议，在会上，由全国21个家用电器厂联合倡议成立了“中国家用电器 模糊控制促进会”；据中国青年报1997年12月16日报道,春兰集团正组织数名博士 后联合攻关，投巨资开发21世纪的高新技术模糊控制电动车。中国模糊系统协会理 事长、中国科学院院士刘应明教授已在全国性的学术会议上表示，中国要下大气力开发 模糊技术、并首先在模糊家电上取得突破。因此，不久将

14、会看到国产的模糊控制家用电器 陆续上市。在国外，各种模糊技术成果和模糊产品已逐渐由实验室走向社会，并取得了 明显的社会效益和巨大的经济效益。模糊数学在数据挖掘中的应用(-)模糊聚类分析的在数据挖掘的应用实例例：设某地区设置有11个雨量站，其分布图见图5-1, 10年来各雨量站所测得的年降 雨量列入表5-1中。现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会 太多的减少降雨信息图3-1表3-1年降雨量列入年序号12763241594132922583113031752433202251287349344310454285451402307470319243329056347950222

15、12203204112324246232243281267310273315285327352L 0291311502388330410352267603290292646615822417816420350232024027835072583274324013613813014134021994218453365357452384420482228360316252915827141030828341020117943034218510324406235520442520358343251282371应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。我们仅考虑尽可能地减

16、少降雨信息问题。一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得 的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”(所获降雨信息十分相 似)的雨量站中“多余”的站。问题求解假设为使问题简化，特作如下假设(1)每个观测站具有同等规模及仪器设备；(2)每个观测站的经费开支均等；具有相同的被裁可能性。分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原 始数据如上。求解步骤1.利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵其中l(xik-x,)ll(xjk-xJ)lk=lk-l_1其中看 二i =1, 2, k-l1 口Xj 二一Z*上一 j =1, 2,，Uo n k-i用c#语言编程

17、计算出模糊相似关系矩阵（”卬，得到模糊相似矩阵R oR=1.0000.8390.5280.8440.8280.7020.9950.6710.4310.5730.7120.8391.0000.5420.9960.9890.8990.8550.5100.4750.6170.5720.5280.5421.0000.5620.5850.6970.5710.5510.9620.6420.5680.8440.9960.5621.0000.9920.9080.8610.5420.4990.6390.6070.8280.9890.5850.9921.0000.9220.8430.5260.5120.6860.

18、5840.7020.8990.6970.9080.9221.0000.7260.4550.6670.5960.5110.9950.8550.5710.8610.8430.7261.0000.6760.4890.5870.7190.6710.5100.5510.5420.5260.4550.6761.0000.4670.6780.9940.4310.4750.9620.4990.5120.6670.4890.4671.0000.4870.4850.5730.6170.6420.6390.6860.5960.5870.6780.4871.0000.6880.7120.5720.5680.6070.

19、5840.5110.7190.9940.4850.6881.000对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求R:R 即t (R)R=R。注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵。故X”X4同属一类，所以此时可以将观故第二行（列）,取“二，则1ooooooooooo1o11oooooooo1ooooooooo1o1oooooooo1oo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1ooooooooooo1第四行（列）完全一致,R 0.996测站分为 9 类X2，X«, Xs,X X3, X6,X7,X8, X

20、9, X10,X“这表明，若只裁减一个观测站，可以裁X?，X4中的一个。若要裁掉更多的观测站,则要降低置信水平匕 对不同的九作同样分析，得到九二时，可分为 8 类，即X2，X,，* 可 X6,X X3,X/,X8, Xg, 广叫，X“；九二时，可分为 7 类X2，X,X，*6, X： X7,X3 , X8,X9,XU；九二时，可分为 6 类X2，x«, x5>x6>X1>x7b x3f x9) >xstX叫，X"；九二时，可分为 5 类卜2亦4, X5,X6,X1,X7, X3, X9 , X& , X” , X1。； 图3-2聚类谱系图再具

21、体分析图3-1,我们可以看到X6虽然和X2，X4, X5分为一类，但X6和X2，X4, X，观测点相距较远，撤去*6是不太合适的，保留而撤去X2，X,，X5就更不合适了。 因此还是将其分为 6 类,即此 2，X4,X 箕，X6,XX», -3, X9 , X8( XI1>Xlo) 依据每类最少保留一个站的原则，最多可撤去5个站。实际应该撤去哪几个站就应该依 据其他条件来确定了。(-)模糊综合评价法评价某河流水质例：待测河流取样所得数据SS含量79, DO, CDOMN,NH3-N,单位均为 mg/J试确定该河流的水质情况属于哪一个等级根据有关规定，水质分级标准如下表所示：水质分

22、级标准表(mg/L)InmNVSS50150250350350DO6532CODmn246810NH3-N 1、建立评价对象因素数集U =（%,%/344，5，），水质等级评价集合 v =（%,匕，匕，匕,，），通过比较实测数据与等级划分标准，只取前四个等级来判别，得 到的矩阵： 评价对象 B = (797.04,4.92,0.51)72、对数据进行标准化。这里采用单个只占总体的比值来进行标准化，评价集合A进行0.0625标准化：a.j=l得到标准化矩阵。=0.16000.10.0476190.18750.20.20.15873020.31250.240.30.31746030.43750.4

23、0.40.4761905按照这种方法对B进行标准化得。=（0.09875 .0.1705,0.246.0,1619 ）7 3、贴近度的计算。矩阵D与矩阵C某列的贴近度显示了该样本与某种等级的接近程度，程度高的可近似归为该等级。这里采用相对距离贴近度：% =maxi；二S " 34 j = 3,4）,由此可以得到贴近度矩阵：0.903333 0.76333330.95625 0.8770833R =0.513333 0.84666670.733344 0.99260370.430.71041670.820.63702590.09666670.043750.48666670.26665564、权向量的计算。在水环境评价中，污染因子的数量越来越多，单个因子对水环境的重要性各不相同，确定单个因子的权值对最终的评价结果影响较大。考虑到不同的污染 因子对河流污染程度的贡献率不同，在不同等级下，相同污染因子对污染程度的贡