初一数学压轴题

1、一.解答题(共19小题)1. (2013雨州)如果10b=n,那么b为n的劳格数,记为b=d (n),由定义可知：10b=门与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义，填空：d (10)=, d (10_2) =;(2)劳格数有如下运算性质：若 mi n为正数，则d (mn) =d (mi) +d (n), d(-)=d (mi) - d (n). n根据运算性质，填空：d(二)二(a为正数)，若d (2) =0.3010,d CaJ贝Ud (4) =, d (5) =, d (0.08) =;(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出

2、错误的劳格数，说明理由并改正.x1.5356891227d (x)3a- b+c2a - ba+c1+a b c3 3a 3c4a- 2b3 - b - 2c6a- 3b2. (2012残庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若an=b (a0且a乎1, b0),则n叫做以a为底b的对数，记为log ab (即logab=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log 381(即log 381=4). (1)计算以下各对数的值：log 24=, log 216=,log 264=.(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、l

3、og 264之间又满足怎样的关系式；(3)猜想一般性的结论：log aM+logaN=(20且2手1, M0, N0),并根据募的运算法则：a。a=am+n以及对数的含义证明你的猜想.3. (2012双阳模拟)认真阅读材料，然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式, 如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+b2, （a+b） 3= （a+b） 2（a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3,下面我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细

4、观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和.（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.4. （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：（x1） 2+3、（x2） 2+2x、（x 2） 2+2x2是 x2 2x+4 的三种不同形式的 24

5、配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项-见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出 x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2 - ab - 3b-2c+4=0,求 a+b+c 的值.5. （2007?东营）根据以下10个乘积，回答问题：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25; 16X24; 17X23; 18X22; 19X21;20X20.（1）试将以上各乘积分别写成一个“口 2-?2 （两数平方差）的形式，并写 出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从

6、小到大的顺序排列起来；（3）若用 albl, a2b2,，anbn 表示 n 个乘积，其中 al, a2, a3,，an, bi, b2, b3,，bn为正数.试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明） 6. （2006珊江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20 都 是“神秘数”（1） 28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续

7、奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？8. （2015汗洪区一模）如图 1,在 ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上 一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC / BAC=90 ,当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CE BD所在直线的位 置关系为,线段CF、BD的数量关系为 ;当点D在线段BC的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然成立，并说明 理由；（2）如果AA AG /BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ ACB满足什么条件时， CFBC C、F不重合），并说明理由.9. （2015硝泽）如图，已知/ ABC=90 ,

8、D是直线 AB上的点，AD=BC（1）如图1,过点A作AF，AR并截取 AF=BD连接DC DF、CF,判断 CDF的形状并证明；（2）如图2, E是直线BC上一点，且 CE=BD直线AB CD相交于点P, / APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.10. （2015武岭一模）已知：4ABC中,BD CE分别是AG AB边上的高，BQ=AC 点F在CE的延长线上，CF=AB求证：AFAQ11. （2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形4 ABD AACE拼在一起（图1）. 4ABD不动，（1）若将4ACE绕点A逆时针旋转，连接 DE, M是D

9、E的中点，连接 MB MC（图2）,证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，/ CAE不变，连接DE, M是DE的中点，连接MB MC（图3）,判断并直接写出 MB MC勺数量关系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB MC勺数量关系还成立吗？说明理由.12. （2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形 ABC前,AB=AD / B=/ D=90 ,E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF/BAD2求证：EF=BE+FD（2）如图，在四边形 ABCB, AB=AD /B+/ D=180 , E、F 分别是边 BG CD 上的点，且/ E

10、AF=JZ BAD （1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCB, AB=AD /B+/ ADC=180 , E、F 分别是边 BCCD延长线上的点，且/ EAF=）/BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.13. （2011藻安）已知：在 ABC中，AC=BC / ACB=90，点 D是AB的中点,点 E 是 AB 边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG（2）直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M （如图2）,找 出图中与BE相等的线段，并证明.14. （

11、2005?扬州）（本题有 3 小题，第（ 1）小题为必答题，满分5 分；第（2） 、（ 3 ）小题为选答题，其中，第（2 ）小题满分3 分，第（3 ）小题满分6 分，请从中任选 1 小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分）在 4ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC 直线 MN 经过点 C,且 ACL MW D, BE! MN 于 E（1）当直线MN点C旋转到图1的位置时，求证：4AD孥ACEIB DE=AD+BE（2）当直线 MN点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AH BE;（3）当直线MN点C旋转到图3的位置时，试问DE AD BE具有怎样的等量 关系？请写出这个等量关系，并加以

12、证明注意：第（ 2） 、 （ 3 ）小题你选答的是第2 小题15. （ 2012?淮安）阅读理解如图1,ABC中，沿/B AC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B AC 的平分线AE2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B nAC的平分线AR+1折 叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是4ABC 的好角小丽展示了确定/ BAC是 ABC的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿 /BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B iAC的平分线AB折 叠，此时点Bi与点

13、C重合.探究发现（1） ABC中，/ B=2Z C,经过两次折叠，/ BAC是不是 ABC的好角？ （填“是”或“不是”）.（2）小丽经过三次折叠发现了/ BAC是4ABC的好角，请探究/B与/C （不妨 设/B/C）之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC是4ABC 的好角，则/B与/C （不妨设/ B/C）之间的等量关系为 . 应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105 ,发现60和105 的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.16. （2011?房山区

14、一模）已知：等边三角形 ABC（1）如图1, P为等边 ABC外一点，且/ BPC=120 .试猜想线段 BP、PC AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2, P为等边 ABC内一点，且/ APD=120 .求证：PA+PD+PCBD.17. （2010明东）如图，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边AR AC, BC的中点，M为直线BC上一动点， DMN等边三角形（点 M的位置改变时， DMNfe随之整体移动）（1）如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2,当点M在BC

15、上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明 或说明理由18. （2006?西岗区）如图，以 ABC的边AB AC为直角边向外作等腰直角4A BE 和ACD M是BC的中点，请你探究线段 DE与AM之间的关系.说明： （ 1 ）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步） ；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取

16、一个补充或更换已知条件，完成你的证明画出将 ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；/BAC=90 （如图）附加题：如图，若以4ABC的边AR AC为直角边，向内作等腰直角 ABE和4ACD 其它条件不变，试探究线段 DE与AM之间的关系.19. （2006状连）如图1, RtABC中AB=AC点D、E是线段AC上两动点，且 AD=EC AM垂直BD,垂足为 M, AM的延长线交 BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断 DEF的形状，并加以证明.说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；(2)在你经历说明(1)的过程之

17、后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将 BAD沿BA方向平移BAK,然后顺时针旋转 90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形 AKN等腰梯形(AC/1 KNN如图2).附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断 DEF的形状，并说明理由.参考答案与试题解析一.解答题(共19小题)1. (2013雨州)如果10b=n,那么b为n的劳格数,记为b=d (n),由定义可知：10b=门与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义，填空： d (10) = 1, d (10-2) = -2 ;(2)劳格数有如下运算

18、性质：若 mi n 为正数，则 d (mr) =d (mj) +d (n), d (-) =d (mj) d (n). n根据运算性质，填空：j f , 3= 3 (a 为正数)，若 d (2) =0.3010 ,贝U d (4) = 0.6020 , d (5)=0.6990, d (0.08 ) = - 1.0970(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x1.5356891227d (x)3a b+c2a - ba+c1+a b c3 3a 3c4a- 2b3 b 2c6a- 3b【考点】整式的混合运算；反证法.【专题】压轴题.【

19、分析】(1)根据定义可知，d (10)和d (10 2)就是指10的指数，据此即可求解；j / 3 x(2)根据 d(a3)=d(a?a?a)=d(a)+d(a)+d (a)即可求得 的值;d CaJ(3)通过9=32, 27=33,可以判断d (3)是否正确，同理以依据 5=10+ 2,假设d (5)正确，可以求得d (2)的值，即可通过d (8), d (12)作出判断.【解答】解：(1) d (10) =1, d (10 2) =-2;故答案为：1, -2;d (33)_3d (a) q.=3，因为 d (2) =0.3010故 d (4) =d (2) +d (2) =0.6020 ,

20、d (5) =d (10) - d (2) =1 - 0.3010=0.6990 ,d (0.08) =d (8X10 2) =3d (2) +d ( 10 2) = - 1.0970 ;(3)若 d (3)才2a b,贝U d (9) =2d (3)才4a 2b,d (27) =3d (3)才6a- 3b,从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，.d (3) =2a- b,若 d (5)乎a+c,贝U d (2) =1 - d (5)才 1 a c,.d (8) =3d (2)才3- 3a - 3c,d (6) =d (3) +d (2)乎 1+a b- c,表中也有三个劳格数是错误的，与

21、题设矛盾.d (5) =a+c.二表中只有d (1.5)和d (12)的值是错误的，应纠正为：d (1.5 ) =d (3) +d (5) 1=3a b+c 1,d (12) =d (3) +2d =2- b-2c.【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键.2. (2012校庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若an=b (a0且a乎1, b0),则n叫做以a为底b的对数，记为log ab (即logab=n).如34=81,贝4叫做以3为底81的对数,记为log 381(即log 381=4). (1)计算以下各对数的值：log 24= 2 , log 21

22、6= 4 , log 264= 6 .(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264 之间又满足怎样的关系式；(3)猜想一般性的结论：logaM+logaN= log a (MN (a0 且 a手 1, M0, N0),并根据募的运算法则：am?an=am+n以及对数的含义证明你的猜想.【考点】同底数募的乘法.【专题】压轴题；新定义.【分析】(1)根据材料叙述，结合 22=4, 24=16, 26=64即可得出答案；(2)根据(1)的答案可得出10g 24、10g 216、10g 264之间满足的关系式；(3)设 log aM=b, lo

23、g aN=b,则 ab1=M, ab2=N,分别表示出 MNM b1+b2的值，即可 得出猜想.【解答】 解：(1) 10g 24=2, log 216=4, log 264=6;(2) log 24+log 216=log 264；(3)猜想 log aM + logaN = loga (MN.证明：设 log aM=b, logaN=b,贝U ab1=M ab2=N,故可得MN=ab1?ab2=ab1+b2， b1+b2=log a（ MN） ，即 log aM+logaN=log a （MN） 【点评】 本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们

24、仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息3 （ 2012?沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b） 1=a+b, （a+b） 2=a2+2ab+b2, （a+b） 3= （a+b） 2（a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3,下面我们依次对（a+b） n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（ 1 ）多项式（a+b） n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式

25、（a+b） n展开式的各项系数之和.（ 3 ）结合上述材料，推断出多项式（a+b） n（ n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S， （结果用含字母n的代数式表示）【考点】完全平方公式【专题】压轴题；阅读型；规律型【分析】（1）由题意可求得当n=1, 2, 3, 4,时，多项式（a+b） n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；（2）首先求得当n=1, 2, 3, 4时，多项式（a+b） n展开式的各项系数之和,即可求得答案；（3）结合（2）,即可推断出多项式（a+b） n （n取正整数）的展开式的各项系数之和.【解答】解：（1）二.当n=1时，多项式（a+b

26、） 1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=3,2当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：131,2当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=亭, 当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=9封,多项式（a+b） n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：门 ”1）；（2）预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和为：2n;（3） 当n=1时，多项式（a+b） 1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21,当n=2时，多项式（a+b） 2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=

27、22,当n=3时，多项式（a+b） 3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2,当n=4时，多项式（a+b） 4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2,多项式（a+b） n展开式的各项系数之和：S=2n.【点评】此题属于规律性、阅读性题目.此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键.4. （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a22ab+b2= （ab） 2.例如：(x1) 2+3、(x2) 2+2x、(x - 2) 2+x2是 x2 2x+4 的三

28、种不同形式的 24配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项-见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出 x2-4x+2三种不同形式的配方；(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式)；(3)已知 a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.【考点】完全平方公式.【专题】压轴题；阅读型.【分析】(1) (2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2 4x+2和a2+ab+b2的配方也可分另I常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3)通过配方后，求得 a, b, c的值，再代入代数式求值.【解答】解：(1

29、) x2- 4x+2的三种配方分别为：x2- 4x+2= (x-2) 2-2,x2 - 4x+2= (x+&) 2 - ( 2/2+4) x,x2 - 4x+2= (V2x- V2) 2-x2;(2) a2+ab+b2= (a+b) 2-ab,a2+ab+b2= (a+b) 2+-b2;24，(3) a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4,=(a2-ab,b2) + (*2- 3b+3) + (c2-2c+1),=(a2-ab+b2) + (b2- 4b+4) + (c2-2c+1),=(a- gb) + (b-2) + (c - 1) =0,24从而有 a - lb=0, b-

30、2=0, c-1=0, 2即 a=1, b=2, c=1, a+b+c=4.【点评】本题考查了根据完全平方公式：a22ab+b2= （ab） 2进行配方的能力.5. （2007?东营）根据以下10个乘积，回答问题：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25;16X24; 17X23; 18X22; 19X21; 20X20.（1）试将以上各乘积分别写成一个“口 2- ?2 （两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用 ab, a2b2,，anbn表示 n 个乘积，其中 ab a2, a3,，an, bb b

31、, b3,，bn为正数.试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明）【考点】平方差公式.【专题】压轴题.【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差.如11X29;可想几加几等于29,几减几等于11,可得20+9和20-9,可得11 X29=202 - 92, 同理思考其它的.【解答】 解：（1） 11 X29=202- 92; 12X28=202- 82; 13X27=202- 72;14X26=202- 62; 15X 25=202 - 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202 - 22; 19X21=202- 12;20X2

32、0=202- 02. （4 分） 例如，11X29;假设 11X29=0 2-02 因为口2 。2= （D+O） （D-O）;所以，可以令。=11, D+O=29.解得，口=20, 0=9.故 11 X29=202- 92. （5 分）（或 11X29= （ 20 9） （20+9） =202- 92. 5 分）（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X2912X2813X2714X2615X2516X24 17X2318X2219X21 20X20.（7 分）（3）若 a+b=40, a、b 是自然数，贝ab202=400. （8 分）若 a+b=40,贝U ab202=400. （

33、8 分）若a+b=m a、b是自然数，则ab （巴） （9分） 2若 a+b=m 则 ab|a 2 b?|）|a 3 b3|）|a n bn| ,则 ab W a 2b2 W a 3b3 W W a nbn. （10 分）若 a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m 且|a 1 一 b1|a 2 b?|）|a 3 b3|）4 |a n - bn| ,则 abWa2b2 0a3b30nbn. （10 分）说明：给出结论或之一的得（1分）；给出结论或之一的得（2分）;给出结论或之一的得（3分）.【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这

34、个公式就叫做乘法的平方差公式.6 （ 2006?浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22- 02, 12=42- 22, 20=62- 42,因此 4, 12, 20 都是“神秘数”（ 1 ） 28 和 2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4 的倍数吗？为什么？（ 3 ）两个连续奇数的平方差（k 取正数）是神秘数吗？为什么？【考点】平方差公式【专题】压轴题；新定义【分析】（ 1 ）试着把28、 2012 写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数

35、；（ 2 ）化简两个连续偶数为2k+2 和 2k 的差，再判断；（3）设两个连续奇数为 2k+1 和 2k1,贝（2k+1） 2 （2k1） 2=8k=4X2k,即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x-2两数的平方差得到，则 x2 （x-2） 2=28,解得：x=8, x- 2=6,即 28=82 62,设2012是y和y - 2两数的平方差得到，则 y2- （y-2） 2=2012,解得：y=504，y 2=502,即 2012=5042- 5022,所以 28， 2012 都是神秘数(2) (2k+2) 2 (2k) 2= (

36、2k+22k) (2k+2+2k) =4 (2k+1),由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍.(3)设两个连续奇数为 2k+1和2k- 1,则(2k+1) 2- (2k-1) 2=8k=4X2k,即：两个连续奇数的平方差是4 的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为 4 的奇数倍这一条件两个连续奇数的平方差不是神秘数.【点评】 此题首先考查了阅读能力、探究推理能力对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用7 ( 2007?淄博)根据以下10 个乘积，回答问题：11X29;12X28;13X27;14X26;15X25;16X24;17X23;18X22;19X21;20X20.

37、(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2- 02 (两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；( 2 )将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；( 3 )试由( 1 ) 、 ( 2)猜测一个一般性的结论 (不要求证明)【考点】整式的混合运算；绝对值【专题】压轴题；规律型【分析】( 1)根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可(2)减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可.(3)根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小.【解答】 解：(1) 11X29=202-92; 12X28=202- 82; 13X27=202-72;14X26=202- 62; 15X25=202 -

38、 52; 16X24=202- 42;17X23=202- 32; 18X22=202-22; 19X21=202- 12;20X20=202- 02(4 分)例如，11X29;假设 11X29=D 2-O2,因为口2 。2= (D+O) (D-O);所以，可以令。=11, D+O=29.解得，口=20, 0=9.故 11X29=202- 92.(或 11X29= ( 20- 9) (20+9) =202- 92(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X2912X2813X2714X2615X2516X2417X2318X2219X2K20X20(3)若 a+b=40, a, b是自然

39、数，贝ab202=400.若 a+b=40,贝U ab202=400.(8 分)若a+b=m a, b是自然数，则ab (?2.若 a+b=m 贝U ab|a 2 b?|)|a 3 b3|)4 |a n - bn| ,则 a b & a 2b2& a 3b3 0& a nbn .(10 分) 若 a1+b=a2+b2=a3+b3= =an+bn=m.且|ai - bi|）|a2 b2|）|a 3 b?|a n bn| ,则 aiblH2b2H3b3 -a nbn.若a+b=mqa, b差的绝对值越大，则它们的积就越小.说明：给出结论或之一的得（1分）；给出结论、或之一的得（2分）;给出结论、或

40、之一的得（3分）.【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键.8. （2015汗洪区一模）如图 1,在 ABC中，/ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC / BAC=90 ,当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CE BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为 相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3,中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AA AG /BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ ACB满足什么条件时，CFBC C、F不重合），并说明理由.【考点】全等三角形

41、的判定与性质.【专题】压轴题；开放型.【分析】（1）当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形ADEFm生质可推出 DA军 AFACC 所以 CF=BD / ACFh ABD 结合/ BAC=90 , AB=AC得至U/BCFh ACB它 ACF=90 .即 CF BD（2）当/ ACB=45时，过点 A作AGLAC交CB的延长线于点 G,则/ GAC=90 ,可推出/ACBNAGC所以 AC=AG由（1）可知CF，BD【解答】证明：（1）正方形ADEM, AD=AF /BACN DAF=90 , / BADN CAF又AB=AC.DA军 AFAC，CF=BD / B=/ ACF/ACB

42、ACF=90 ,即 CF BD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立.由正方形ADEF导AD=AF /DAF=90度. . /BAC=90 , / DAFh BAC / DABN FAC又AB=AC.DA军 AFAC，CF=BD / ACFh ABD . /BAC=90 , AB=AC，/ABC=45 ,，/ACF=45 ,./ BCFCB”CF=90 度.即 CF BD(2)当/ACB=45 时，CF，BD(如图) 理由：过点A作AGLAC交CB的延长线于点 G,则/GAC=9 0 ,/ ACB=45 , / AGC=90 - / ACB ./AGC=90 -45 =45 , /ACBN AG

43、C=45 ,，AC=AG /DAG=FAC(同角的余角相等),AD=AF.GA国 ACAF.二/ACFg AGC=45 ,/BCFh ACB ACF=45 +45 =90 ,即 CF BC【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL.判定两个三角形全等，先根据已 知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什 么条件，再去证什么条件.9. (2015硝泽)如图，已知/ ABC=90 , D是直线 AB上的点，AD=BC(1)如图1,过点A作AFLAR并截取 AF=BD连接DC DF、CF,判断 C

44、DF 的形状并证明；(2)如图2, E是直线BC上一点，且 CE=BD直线AB CD相交于点P, / APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】(1)利用SAS证明4AFD和4BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC即可判断三角形的形状；(2)作 AF，AB于 A,使 AF=BD 连结 DF, CF,利用 SAS证明AAFDABDC等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC /FDC=90 ,即可得出/FCD4 APD=45 .【解答】解：(1) 4CDF是等腰直角三角形，理由如下：/AFIAR /A

45、BC=90 ,丁 / FADh DBC在4FAD与4DBC中，rAD=BC，ZFAD=ZDBC , tAF=BD.FA乎DBC( SA ,，FD=DC.CDF是等腰三角形，FA乎 ADBC丁 / FDAh DCB. / BDC+DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形；(2)作 AFAB于 A,使 AF=BD 连结 DF, CF,如图，/AFIAR /ABC=90 ,丁 / FADh DBC在4FAD与ADBC中，AD 二 BC，NFAD:NDBC ,laf=bd.FA乎DBC（ SA ,，FD=DC.CDF是等腰三角形，FA乎 ADBC，/ FDAh DCB.

46、 / BDC+DCB=90 ,丁. / BDC+FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形，/FCD=45 ,. AF/ CE 且 AF=CE二四边形AFC提平行四边形，AE/ CF,丁./APD4 FCD=45 .【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用.解答时证明三角形全等是关 键.10. （2015武岭一模）已知：4ABC中,BD CE分别是AG AB边上的高，BQ=AC点F在CE的延长线上，CF=AB求证：AFAQ 【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题；压轴题.【分析】 首先证明出/ ABDM ACE再有条件

47、BQ=AC CF=AB得4AB笔AACF进而得到/ F=/BAQ然后再根据/ F+/FAE=90 ,可得/ BAQ+FAI90 ,进而证出AF AQ【解答】证明：: BD CE分别是AC AB边上的高，/ADB=90 , /AEC=90 ,丁. / ABQ+BAD=90 , / BACV ACE=90 ,丁./ABD4ACErAB=CF在AABQ和 AACF 中，ZABD=ZACE , BQ 二 AC.AB笔ACIZ（ SA , / F=/ BAQ/F+/ FAE=90 ,/BAQ+FAI90 ,/.AFI AQ【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及

48、全等三角形的性质定理.11. （2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形4ABD AACE拼在一起（图1）. 4ABD不动，（1）若将4ACE绕点A逆时针旋转，连接 DE, M是DE的中点，连接 MB MC（图 2),证明：MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，/ CAE不变，连接DE, M是DE的中点，连接 MB MC（图3）,判断并直接写出 MB MC勺数量关系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB MC勺数量关系还成立吗？说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质【专题】证明题；几何综合题；压轴题【分析】（1）连接AM根据全等三

49、角形的对应边相等可得AD=AE AB=AC全等三角形对应角相等可得/ BADN CAE再根据等腰三角形三线合一的性质得到 /MAD = MAE然后利用“边角边”证明 ABM和4AC淞等，根据全等三角形 对应边相等即可得证；（2）延长DR AE相交于E,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的 性质得到BD=BE ,然后求出MB/ AE ,再根据两直线平行，内错角相等求出 /MBC =CAE同理求出MCZAQ根据两直线平行，同位角相等求出/ BCM = BAD 然后求出/ MBC =BCM再根据等角对等边即可得证；（3）延长Bg CE于F,根据两直线平行，内错角相等可得/ MDB = MEF

50、 /MBD =MFE然后利用“角角边”证明 MDB和4MEF全等，根据全等三角形 对应边相等可得MB=M F然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 即可【解答】证明：（1）如图2,连接AM由已知得 ABDAACE，AD=AE AB=AC /BADN CAE. MD=M E ，/ MAD = MAE，/ MAD / BAD4 MAE / CAE即/ BAM=CAMrAB=AC在 ABM?口 ACM, ,NBAM=NCAM, 2二端.AB阵AACIVI( SA ,，MB=M; C MB=MC理由如下：如图3,延长DR AE相交于E,延长EC交AD于F,，BD=BE, CE=CFM是ED的

51、中点，B是DE的中点，.MB/ AE,丁. / MBC = CAE同理：MC/ AR丁. / BCM = BAD/ BAD4 CAE，/MBC= BCM.MB=M; C(3) MB=MCE成立.如图4,延长BMX CE于F,V CE/ BR丁./MDB =MEF /MBD = MFE又是DE的中点,，MD=M ErZMDB=ZMEF在MDBfflAMEF中，ZMBD=ZMFE ,lkd=me.MD冬AMEF( AAS ,，MB=M F. /ACE=90 ,./BCF=90 ,，MB=M C【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质， 等角对等边的性质，直角三角形斜边上的

52、中线等于斜边的一半的性质，以及三 角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或 全等三角形是解题的关键.12. (2012?昌平区模拟)(1)如图，在四边形 ABC前,AB=AD / B=/ D=90 ,E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF=1 Z BAD2求证：EF=BE+FD(2)如图，在四边形 ABCB, AB=AD /B+/ D=180 , E、F 分别是边 BG CD 上的点，且/ EAF=Z BAD (1)中的结论是否仍然成立？(3)如图，在四边形 ABCB, AB=AD /B+/ ADC=180 , E、F 分别是边 BC CD延长线上的点，且/

53、EAF=2/BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请 证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题；压轴题；探究型.【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BG=DF连接AG目的就是要证明三角形 AG丽三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EF=BE+DFT,于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角， BG=DF AB=AD因此两三角形全等，那么 AG=AF /1=/ 2,那么/ 1+/ 3=/ 2+/ 3=/ EAF=/BAD由此就构成了三角形 ABE和AEF 2全等的所有条件（SA9,那么就能得出EF=GET.（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形 AB邰口 ADF全等中，证明/ ABG=ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样.因此与（1）的结果完全一样.（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG使BG=DF连接AG根据（1）的证法，我们可得出DF=BGGE=EF那么EF=GE=BE BG=BE DF.所以（1）的结论在（3）的条件下是不成 立的.【解答】证明：（1）延长EB到G,使BG=