抛物线及其标准方程师3

1、第12讲抛物线及其标准方程（师）-3第12讲抛物线及其标准方程2学习目标掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.心学习过程一、课前准备复习：函数y2x26x1的图象是,它的顶点坐标是(),对称轴是.二、新课导学X学习探究探究1：若一个动点P(x，y)到一个定点f和一条定直线1的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线1的距离的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的；直线1叫做抛物线的.新知2:抛物线的标准方程定点F到定直线1的距离为P(P0).先让学生思考，独立建立直角坐标系，从学生中归纳出以下几种解法,y2=2pxp2(p>0)y2=2px+p

2、2(p>0)2J(x畀y2lx9y=2px(p>0)22选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。将方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：图形标准方程隹百八、八、坐标准线方程i7132cy2px宁,0x22讣卜说明：1.方程形式与图形之间的关系：2.p的几何意义：试试：抛物线y220x的焦点坐标是()，准线方程是;抛物线x21y的焦点坐标是()，准线方程是.派典型例题例1(1)已知抛物线的标准方程是y26x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，2、求它的标准方程.

3、变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程:焦点坐标是(0,4);准线方程是x4；焦点到准线的距离是2.例2：已知抛物线的标准方程是(1)y212x(2)y12x2o求它的焦点坐标和准线方程.例4已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.【分析】根据抛物线的定义，当涉及到抛物线上的点到其焦点距离时，一定要转化到准线的距离.然后利用点到直线的距离可得最小值.【解析】将x=3代入抛物线方程y2=2x,得丫=班.加2,点A在抛物线内部.1，设抛物线上点P到准线l:x=1的距离为d,由定义，知|PA|+|PF|=|P

4、A|+d,当PAL时，|PA|十d最小，最小值为7,即|PA|+|PF|的最小值为2,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2).【评析】重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式迁移已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()1 /1八A.4，-1B.4,1C.(1,2)D.(1,-2)例5(2001年全国卷)设抛物线y22Px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、

5、B两点点抛物线的准线上，且BC/X轴.证明直线AC经过原点O.【分析】证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.【解析】证明1:因为抛物线y22Px(p0)的焦点为f。0,所以经过点F的直线AB的方程可设为xmy3代人抛物线方程得22y2pmyp0.若记a%,%,Bx2,y2,则力芈是该方程的两个根，所以2V1V2P.因为BC/X轴，且点C在准线x上，所以点C的坐标为卜2,故直线CO的斜率为k'为*卫yixi2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.证明2:如图，记X轴与抛物线准线L的交

6、点为E,过A作ADLL,D是垂足,则ADIIFEIIBC.连结AC,与EF相交于点N,|EN|CN|BF|NF|AF|,.|AD|AC|AB|BC|AB|EN | AD | | BF | AB| AF | | BC | AB| NF |,根据抛物线的几何性质，|AF|二|AD|,|BF|=|BC|即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.【评析】本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到Va,P2这个重要结论.例6(2011福建文)已知直线l:y=x+m,mGR。(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴

7、上，求该圆的方程；(II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y是否相切？说明理由。【解析】解法依题意，点P的坐标为(。，m)因为MPl,所以宁11、巨，一20解得m=2,即点P的坐标为(0,2)从而圆的半径r|MP|.(20)2(02)222,故所求圆的方程为(x2)2y28.解法二：设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(X2)2yr2.依题意，所求圆与直线l：xym。相切于点P(0,m),4m2r2,则|20m|解得m2厂所以所求圆的方程为(x2)2y28.1 1r,r2,2.2(II)因为直线l的方程为yxm,所以直线的方程为yxm.y'xm,/曰22田2得x

8、4x4m0,444m16(1m)x4y(1)当m1,即0时，直线l,与抛物线C相切(2)当m1,那0时，直线I,与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线I,与抛物线C相切；当m1时，直线I,与抛物线C不相切。【评析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。【评析】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点，则必须使用一般弦长公式.国二学习妊伦X当堂检测).1 .对抛物线y4x2,下列描述正确的

9、是(A.开口向上，焦点为(0.1)B.开口向上，焦点为(0,116)C.开口向右，焦点为(1,0)D,开口向右，焦点为(0,116)2 .抛物线x28y0的准线方程式是().A.x2Bx2C.y2D.y23 .抛物线y210X的焦点到准线的距离是().A.5B.5C.1D.104 .抛物线y212X上与焦点的距离等于9的点的坐标是.5 .抛物线x24y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为.课后作业1 .点M到F(0，8)的距离比它到直线y7的距离大1,求M点的轨迹方程.2 .抛物线y22Px(p0)上一点M到焦点F的距离|MF2p)求点M的坐标.3 .已知顶点在原点，焦点在x轴上的

10、抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为而，求抛物线方程.3.解设直线和抛物线交于点A(xi,y1),B(x2,y2),(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2pxy2=2px(p>0),则，消去y得，y=2x+14x2(2p4)x+1=0,p21c.xi+x2=2)xix2=4)(4分)，|AB|=y1+k2|x1一x2|=a/5x1+x22-4x1X2=加24X4=Vl5,（7分）则J9p=Bp2-4p-12=0,解得p=6（p=2舍去），抛物线方程为y2=12x.（9分）（2）当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2=-2px（p>0）,仿不难求出p=2,此时抛物线方程为y

11、2=4x.（11分）综上可得，所求的抛物线方程为y2=-4x或y2=12x.（12分）4 .（12分）（2011韶关,莫拟）已知抛物线C:x2=8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F（0,2）,分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q,证明：AQXBQ.5 .证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+2,A（xi,yi）,B（x2,y2）.y=kx+2）由12可得x28kx16=0,xi+x2=8k,xix2=16.（4分）抛物线方程为y=gx2,求导得y'=；x.（7分）一，一1所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=4xb.1.11k2=4x2）卜水

12、2=4乂14x21=16xiX2=1.(10分)所以AQLBQ.(12分)5.(14分)(2011济南*I1拟)已知定点F(0,1)和直线li:y=-1过定点F与直线11相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线12交轨迹C于两点P、Q,交直线11于点R,求RPRQ的最小值.5.解(1)由题设点C到点F的距离等于它到11的距离,所以点C的轨迹是以F为焦点，11为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x2=4y.(5分)(2)由题意直线12的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立消去y得x24kx4=0.记P(x1)y)Q(x2)y2),则x+x2=4k)x1x2=4.(8分)因为直线PQ的斜率kw0