万有引力与航天复习题型整理

1、题型一：求中心天体的质量和密度【提分秘籍】1自力更生法利用天体表面的重力加速度,Mm,口 ，e(1)由= mg得天体质量g和天体半径R。M= gR。3gM M(2) 天体密度 =V = 43 = 4 nGR。3泯(3)Gm= gR2称为黄金代换公式。2.借助外援法(万有引力提供向心力)GM m mv 5测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。=ma2 r=rr) 丁二叱，八._Mm 4訂/十十j丰曰4 nr3(1) 由Gr = m右得天体的质量 M = gt2。若已知天体的半径r,则天体的密度p=M=严=GTo3肩n(3) 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径 R,则天体

2、密度p=苛，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。例题1、若宇航员在月球表面附近自高 h处以初速度vo水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为 R,万有引力常量为 G。则下列说法正确的是()hv2A .月球表面的重力加速度g月=音2 2 hR vo B .月球的质量m月=gl?C.月球的第一宇宙速度 v= V面2d .月球的平均密度p=2J【解析】根is平抛运动规律，a叽 q苏&联立解得二警选项人错误；由帼“曲、选项B错误;由mg尸除解得,选项C错误；月球的平均密度卩=尹 选项D正确。【答案】D【易错提醒】(1)利用万有引力提供天体做圆周

3、运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质 量，并非环绕天体的质量。区别天体半径 R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r计算天体密度时，V= 3n3中的R只能是中心天体的半径。【举一反三】某宇航员驾驶航天飞机到某一星球，他使航天飞机贴近该星球附近飞行一周，测出飞行时 间为4.5 103s,则该星球的平均密度是多少？解析：航天飞机绕星球飞行，万有引力提供向心力，所以贴地飞行时，r该星球的平均密度为V 4：r!3联立上面三式得:GT 2代入数值6.98 103kg/m3题型二：利用万有引力单独提供天体匀速圆周运动的向心力j GW m=丹-恋叮广咖A和B,它们的轨道半径分别为rA

4、G孕訓廿已血鈿SM,盼巴"r2r Tr2GMJtGM 丁7rT=F卸轨道GM题型三：卫星运行参量的分析与比较 两个卫星（行星）围绕行星（恒星）做匀速圆周运动1现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星 和rB.如果rA 田.则（）A .卫星他运动周期比卫星B的运动周期犬B .卫星A的綾速度比卫星B的钱速度大C .卫星A的角速度比卫星B的甫速度大D卫星A的加速度比卫星B的加速度大大,我連度越小r角速度越小，向心如速度越小周購越大故A正礎，B. C、D筋.【提分秘籍】1四个分析四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。GM 1越慢越咼ma a= t a*

5、孑GMm2 r注意，这个定性结论只适用卫星都是由万有引力来提供向心力。【举一反三】据报道，嫦娥一号和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分 别为200 km和100 km-运行速率分别为旳和巾那么v】和巾的比值为（月球半径 取i 700 km）（）A 13D'19题型四：同步卫星，近地卫星，赤道上物体的比较（与题型三的区别，属于易 错题）如图所示，地球赤道上的山丘 e,近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤 道平面上绕地心做匀速圆周运动.设 e、p、q运动速率分别为v1、v2、v3，向 心加速度大小分别为al、a2、a3,则下列说法正确的是（）A , V2 > V3 &g

6、t; ViB » Vi < V2 < V3C , 51 >d2 >3D . ! < 3 <球向心加速度的大小，33表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是错解：直接应用题型三的定性结论：四个分析来解题，是错误的，题型三的 四个分析定性结论是在万有引力提供向心力， 而此题中赤道上的山丘的向心力是 由万有引力和地面给山丘的支持力的合力来提供的，所以不能盲目套用定性结 论。解题思路：近地资源卫星p和同步通信卫星q都是由万有引力来提供向心力, 所以定性结论适用，两者可以进行比较。地球赤道上的山丘e和同步通信卫星q的周期、角速度相同。这样三者就可以

7、进行比较。A*氐 山丘电与同步卫工口转动圖期梧等根r由于山丘直的辎半径小于同步迺偵卫星q的 轨直半径.故Vi v V；根据卫星的建速度公式” | 到 r由于近地资淳卫星的轨直半径小于甸步喔IB卫 蛊q的執11半径,故近地蛍再卫旻的线速度大于同步通信卫昱的注速度，即Vg w V2 ；故九<V3<v2 t故盘正确r IB筋；J 氏 山丘芒与同歩通信卫星q转动周期相等.根由于山丘览的Shil半径小于同涉通信 T2卫屋q的轨11半径.故山丘e的轨道加速度大于同劣通信卫星q的加速度,即曲£旳；根据卫星的周期公式T= =2n .田于近地资源卫呈的軌道半径小于同步通信卫星q的轨道半径r

8、故近地资粽卫星的加 v J GM速岌小于同步通信卫星的力匚速度r即 < 32 ；故曲< a3< a2 ,战C错误D正碓;【举一反三】【2015 山东15】6.如图，拉格朗日点 Li位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉ai、a2分别表示该空间站和月格朗日点Li建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以Li月球地球A. a2 匸 a.- aiB. a2ai a3D. a3 匸 a2 匸 ai4*厂可知,【答案】D【解析】因空间站建在拉格朗日点，故周期等于月球周期，根据a2> ai ；对空间

9、站和地球的同步卫星而言,因同步卫星周期小于空间站的周期,同步卫星的_ GM.轨道半径较小，根据可知a3> a2,选项D正确。题型五：双星问题1. 宇宙双星模型 两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀 速圆周运动的向心力大小相等。(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等 的。两颗行星做匀速圆周运动的半径ri和2与两行星间距L的大小关系：ri+辽=L。宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起设二者质量分别为mi和m2，二者相距L,万有引力

10、常数为 G,(1) 试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都与它们的质量成反比;(2) 试写岀它们的角速度的表达式.(1)唯皓万有引力提供向心力得： Gmimj寸L2GmimrV2 miGmim-j Gmm二C 2 ) 由=1111尺13止和=1712险3上L2L2且电*尺2=1_3吾：(1)它彳门的轨直半径乏比” 歯回套之比eth&f门的岛呈磁辰匕匕r证明女上；G(m-i -fi-mo)(2 )凸们的用迪康的表达式是3=二 w如图1所示，有A、B两个行星绕同一恒星 0做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为T1,B行星的周期为T2,在某一时刻两行星第一次相遇(即两行星相距最近)，则()

11、题型六：卫星的追及和相遇问题A 经过时间t = T1+T2两行星将第二次相遇B.经过时间3ZLT -T21两行星将第二将相遇C.经过时间W十為:两行星第一次相距较远A, 匕 多转动一圈时f芻二次追上r有2n 2叽卫ft-一t =2nT1 T2解得T1T2t=T2-T1故A错误r B：E罐；C. D、参转动半圈时f第一次弔距蛊远r有2n r 2n rt -一t =nT1 T2T讥 2(721)故C错误，D正确；SSdSBD *(注意，如果这道题没问至少，而是问什么时候相距最近，最远，要考虑周期性问题)相距最近；| t ” t=2n n (n=0,1,23；)相距最远WjtWJt=n n(n=0,

12、1,2,3；)【举一反三】如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内， 离地面高度为h, 已知地球半径为 R,地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为 g, O为地球中心。(1) 求卫星B的运行周期；(2) 如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(0、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？4解；（1）设地球质量为M r卫星质量九m,垠掲万有引力和牛顿运动走律，有； Mm 4tF .GT =+ h）注地球表面有：G=mg起得:為=2屮二？（2 ）它们苒一次相距最近时，一比A多转了一圈有： 3准=2打其中叫r = $，得：2t

13、f题型七：卫星变轨问题分析例7、（多选）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为Vi、V3和ai、a3,在2轨道经过P点时的速度和加速度为 v2和a2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常 运行时周期分别为 Ti、T2、T3,以下说法正确的是（）A . V1> V2> V3B . Vi>V3 > V2C. ai> a2> a3D . Ti< T2< t3【解析】卫星在1轨道运彳逑

14、度大于卫星在3轨道运行速度，在2轨道经过P点时的速度汙环邈页 A错谋B正确,卫星在1轨道 3轨道正常运行加速度如殆，在2轨道经过卩点时的扣速度血二趣,选 项C错误。根据开普勒定律,卫星在I、2. 3轨道上正常运行时周期/!兀心 选项D正确。【答案】BD【方法规律】卫星变轨的实质2卫星将做近心当卫星的速度突然增加时， GMrm v m：,即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运 动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由知其运行速度比原轨道时减小。当卫星的速度突然减小时， GMJm m* 即万有引力大于所需要的向心力,(1) 为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫

15、星到圆轨道I上。(2) 在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道n。在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道川。2. 三个运行物理量的大小比较(1) 速度：设卫星在圆轨道I和川上运行时的速率分别为VI、V3,在轨道n上过 A点和B点速率分别为vA、vBo在A点加速，则vA> v1，在B点加速，贝y v3> vB,又因v1> v3,故有vA> v1 > v3> vB o(2) 加速度：因为在 A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是轨道n上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。周期：设卫星在I、n、川轨道上运行周期分别为T1、丁2、T3,轨道半径分别为1、2(半3r长轴卜3,由开普勒第三定律 p= k可知T1V T2< T30【举一反三】如图4-5-4所示，地球卫星a、b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切，则()运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由知其运行速度比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。【提分秘籍】1变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图4-5-2所示。A .卫星a的运行周期比卫星