矩阵论矩阵分析

1、第三章 矩阵分析 在此之前我们只研究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算本章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用3.1 矩阵序列 定义3.1 设有中的矩阵序列，其中若，则称矩阵序列收敛于，或称A为矩阵序列的极限，记为或 不收敛的矩阵序列称为发散 由定义可见，中一个矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时收敛因此，可以用初等分析的方法来研究它但同时研究mn个数列的极限未免繁琐与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限 定理3.1 设，则的

2、充分必要条件是，其中是上的任一矩阵范数 证 先取上矩阵的G-范数由于 所以的充分必要条件是 又由范数的等价性知，对上任一矩阵范数，存在正常数，使得 故的充分必要条件是证毕 推论 设，则其中是上任一矩阵范数 证 由即知结论成立证毕 需要指出的是，上述推论的相反结果不成立如矩阵序列不收敛但 收敛的矩阵序列的性质，有许多与收敛数列的性质相类似 定理3.2 设，其中，A，B为适当阶的矩阵，C则 (1)； (2) ； (3)当与A均可逆时， 证 取矩阵范数，有 由定理3.1和推论知(1)和(2)成立 因为，存在，所以，又有于是 证毕 定理3.2(3)中条件与A都可逆是不可少的，因为即使所有的可逆也不能保

3、证A一定可逆例如对每一个都有逆矩阵，但而A是不可逆的 在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理 定义3.2 设，若，则称A为收敛矩阵 定理3.3 设，则A为收敛矩阵的充分必要条件是(A)1 证 必要性已知A为收敛矩阵，则由谱半径的性质，有其中是上任一矩阵范数，即有，故(A)1 充分性由于(A)1，则存在正数，使得(A)+1根据定理2.14，存在上的矩阵范数，使得从而由得故 证毕 推论 设若对上的某一矩阵范数有，则A为收敛矩阵 例3.1 判断下列矩阵是否为收敛矩阵： (1)； (2) 解 (1)可求得A的特征值为，于是，故A是收敛矩阵； (2)因为

4、，所以A是收敛矩阵3.2 矩阵级数 定义3.3 由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数，记为对任一正整数N，称为矩阵级数的部分和如果由部分和构成的矩阵序列收敛，且有极限S，即，则称矩阵级数收敛，而且有和S，记为不收敛的矩阵级数称为发散的 如果记，显然相当于即mn个数项级数都收敛 例3.2 已知研究矩阵级数的敛散性 解 因为所以故所给矩阵级数收敛，且其和为S 定义3.4 设如果mn个数项级数都绝对收敛，即都收敛，则称矩阵级数绝对收敛 利用矩阵范数，可以将判定矩阵级数是否绝对收敛转化为判定一个正项级数是否收敛的问题 定理3.4 设则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中是上任一矩阵范数

5、 证 先取矩阵的-范数若收敛，由于从而由正项级数的比较判别法知都收敛，故绝对收敛 反之，若绝对收敛，则都收敛，从而其部分和有界，即记，则有故收敛这表明绝对收敛的充分必要条件是收敛由矩阵范数的等价性和正项级数的比较判别法知，收敛的充分必要条件是收敛，其中是上任一矩阵范数 证毕 利用矩阵级数收敛和绝对收敛的定义，以及数学分析中的相应结果，可以得到以下一些结论 定理3.5 设，其中，A，B是适当阶的矩阵，则 (1)； (2)对任意C，有； (3)绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变； (4)若矩阵级数收敛(或绝对收敛)，则矩阵级数也收敛(或绝对收敛)，并且

6、有 (5)若与均绝对收敛，则它们按项相乘所得的矩阵级数 也绝对收敛，且其和为AB 证 只证(4)和(5)若收敛，记，则从而可见收敛，且式(3.1)成立 若绝对收敛，则由定理34知收敛，但其中是与k是无关的正数，从而收敛，即绝对收敛 当和绝对收敛时，由定理3.4知和收敛，设其和分别为与，从而它们按项相乘所得的正项级数也收敛，其和为因为所以矩阵级数(3.2)绝对收敛记，则又记，显然故由和，得证毕 下面讨论一类特殊的矩阵级数矩阵幂级数 定义3.5 设，称矩阵级数为矩阵A的幂级数 利用定义来判定矩阵幂级数的敛散性，需要判别个数项级数的敛散性，当矩阵阶数n较大时，这是很不方便的，且在许多情况下也无此必要

7、显然，矩阵幂级数是复变量z的幂级数的推广如果幂级数的收敛半径为r，则对收敛圆内的所有z，都是绝对收敛的因此，讨论的收敛性问题自然联系到的收敛半径 定理3.6 设幂级数的收敛半径为r，则 (1)当(A)r时，矩阵幂级数发散 证 (1)因为(A)r时，设A的，n个特征值为，则有某个满足由Jordan定理，存在n阶可逆矩阵P，使得而的对角线元素为由于发散，从而发散故由定理3.5(4)知，也发散 证毕 推论 设幂级数的收敛半径为r，若存在上的某一矩阵范数使得，则矩阵幂级数绝对收敛 例3.3 判断矩阵幂级数的敛散性 解 令例3.1中已求得由于幂级数的收敛半径为r1，故由(A)1知矩阵幂级数绝对收敛 最后

8、，考虑一个特殊的矩阵幂级数 定理3.7 设矩阵幂级数(称为Neumann级数)收敛的充分必要条件是(A)1，并且在收敛时，其和为 证 当(A)1时，由于幂级数的收敛半径r1，故由定理3.6知矩阵幂级数收敛反之，若收敛，记，则由于故由定理3.3知(A)1 当收敛时，(A)1，因此I-A可逆，又因为所以故 证毕 例3.4 已知，判断矩阵幂级数的敛散性若收敛，试求其和 解 因为，所以收敛，且3.3 矩阵函数 矩阵函数是以矩阵为变量且取值为矩阵的一类函数本节介绍矩阵函数的定义和计算方法，并讨论常用矩阵函数的性质 一、矩阵函数的定义 定义3.5 设幂级数的收敛半径为r，且当时，幂级数收敛于函数f(z)，

9、即如果满足(A)r，则称收敛的矩阵幂级数的和为矩阵函数，记为f(A)，即 根据这个定义，可以得到在形式上和数学分析中的一些函数类似的矩阵函数例如，对于如下函数的幂级数展开式相应地有矩阵函数 () () () (A)1) (A)1)称为矩阵指数函数，sinA为矩阵正弦函数，cosA为矩阵余弦函数 如果把矩阵函数f(A)的变元A换成At，其中t为参数，则相应得到在实际应用中，经常需要求含参数的矩阵函数 二、矩阵函数值的计算 以上利用收敛的矩阵幂级数的和定义了矩阵函数f(A)，在具体应用中，要求将f(A)所代表的具体的矩阵求出来，即求出矩阵函数的值这里介绍几种求矩阵函数值的方法以下均假设式(3.3)

10、或式(3.4)中的矩阵幂级数收敛 方法一 利用Hamilton-Cayley定理 利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数求出矩阵函数的值举例说明如下 例3.5 已知，求 解 可求得由Hamilton-Cayley定理知，从而，即，故 例3.6 已知4阶方阵A的特征值为，0，0，求sinA，cosA 解 因为，所以于是，即，故 方法二 利用相似对角化 设是可对角化的，即存在，使得则有同理可得 例3.7 已知，求，cosA 解 可求得，即A的特征值为，对应的特征向量为，对应的两个线性无关的特征向量为，于是 使得故 方法三 利用Jordan标准形 设，且，使

11、得其中由定理1.12得从而 例3.8 已知，求，sinAt 解 例1.9已求得，于是 根据Jordan标准形理论可得 定理3.8 设，是A的n个特征值，则矩阵函数f(A)的特征值为， 方法四 待定系数法 设，且A的特征多项式为其中，是A的全部互异特征值，为计算矩阵函数，记将f(t)改写为其中q(，t)是含参数t的的幂级数，r(，t)是含参数t且次数不超过n1的的多项式，即由Hamilton-Cayley定理知(A)O，于是由式(3.6)得可见，只要求出即可得到f(At)注意到将式(3.6)两边对求导，并利用上式，得即由式(3.7)即得到以，为未知量的线性方程组 综上分析，用待定系数法求矩阵函数

12、f(At)或f(A)的步骤如下： 第一步：求矩阵A的特征多项式(3.5)； 第二步：设根据或列方程组求解，； 第三步：计算 例3.9 已知，求，cosA 解 可求得设则由 解得于是而由 解得从而如果求得矩阵A的最小多项式，且其次数低于A的特征多项式的次数，则计算矩阵函数就要容易一些例3.10 已知，求，sinA 解 例1.9已求得A的Jordan标准形为于是A的最小多项式为设由 解得于是又由 解得从而 三、常用矩阵函数的性质 常用的矩阵函数有，sinA，cosA，它们有些性质与普通的指数函数和三角函数相同，但由于矩阵乘法不满足交换律，从而有些性质与一般指数函数和三角函数不相同 定理3.9 对任

13、意，总有 (1)sin(A)=sinA，cos(A)=cosA； (2)， 证 (1)由sinA与cosA的矩阵幂级数形式直接得到； (2)又有从而， 定理3.10 设A，且AB=BA，则 (1)； (2)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB； (3)cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB 证 (1) (2) 同理可证(3) 证毕 在定理3.10中，取AB，即得 推论 对任意，有 ，sin2A2sinAcosA 值得注意的是，当ABBA时，或不成立如取，则，且，可见， 定理3.11 设，则有 (1)； (2) 证 (1)设A的特征值为，则由定理3.8知，的特征值为，

14、从而 (2)由于，所以总是可逆的又由定理3.10，得故 证毕 需要指出的是，对任何n阶方阵A，总是可逆的，但sinA与cosA却不一定可逆如取，则，可见sinA与cosA都不可逆3.4 矩阵的微分和积分 在研究微分方程组时，为了简化对问题的表述及求解过程，需要考虑以函数为元素的矩阵的微分和积分在研究优化等问题时，则要碰到数量函数对向量变量或矩阵变量的导数，以及向量值或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数本节简单地介绍这些内容 一、函数矩阵的微分和积分 定义3.6 以变量t的函数为元素的矩阵称为函数矩阵，其中都是变量t的函数若ta，b，则称A(t)是定义在a，b)上的；又若每个在a，b上连续、可

15、微、可积，则称A(t)在a，b上是连续、可微、可积的当A(t)可微时，规定其导数为或而当A(t)在a，b上可积时，规定A(t)在a，b上的积分为 例3.11 求函数矩阵的导数 解 关于函数矩阵，有下面的求导法则 定理3.12 设A(t)与B(t)是适当阶的可微矩阵，则 (1) (2)当(t)为可微函数时，有 (3)； (4)当u=f(t)关于t可微时，有 (5)当是可微矩阵时，有 证 只证(2)和(5)设，则由于，两边对t求导，得从而 证毕 定理3.13 设，则有 (1)； (2)； (3) 证 这里只证(1)(2)和(3)的证明与(1)类似 由，并利用绝对收敛级数可以逐项求导，得同样 证毕

16、根据定义和积分的有关性质，可得 定理3.14 设A(t)，B(t)是区间a，b上适当阶的可积矩阵，A，B是适当阶的常数矩阵，C，则 (1)； (2)； (3)，； (4)当A(t)在a，b上连续时，对任意t(a，b)，有 (5)当A(t)在a，b上连续可微时，有 以上介绍了函数矩阵的微积分概念及一些运算法则由于仍是函数矩阵，如果它仍是可导矩阵，即可定义其二阶导数不难给出函数矩阵的高阶导数 二、数量函数对矩阵变量的导数 定义3.7 设f(X)是以矩阵为自变量的mn元函数，且都存在，规定f对矩阵变量X的导数为 特别地，以为自变量的函数f(x)的导数称为数量函数对向量变量的导数，即为在数学分析中学过

17、的函数f的梯度向量，记为gradf 例3.12 设是给定的向量，是向量变量，且求 解 因为而所以 例3.13 设是给定的矩阵，是矩阵变量，且求 解 因为所以而故 例3.14 设是给定的矩阵，是向量变量，且求 解 因为而所以特别地，当A是对称矩阵时，有 例3.15 设是矩阵变量，且detX0证明 证 设的代数余子式为把detX按等i行展开，得于是故 三、矩阵值函数对矩阵变量的导数 定义3.8 设矩阵的元素都是矩阵变量的函数，则称F(X)为矩阵值函数，规定F(X)对矩阵变量X的导数为，其中即其结果为(ms)(nt)矩阵 作为特殊情形，这一定义包括了向量值函数对于向量变量的导数，向量值函数对于矩阵变

18、量的导数，矩阵值函数对于向量变量的导数等 例3.16 设是向量变量，求 解 由定义，得同理可得 例3.17 设是给定向量，是矩阵变量，求， 解 因为，所以而3.5 矩阵分析应用举例 本节介绍矩阵函数及矩阵微积分的一些应用 一、求解一阶线性常系数微分方程组 在数学或工程技术中，经常要研究一阶常系数微分方程组 满足初始条件 的解如果记，则上述微分方程组可写为因为将上式两边在，t上积分，得即于是微分方程组的解为 例3.18 求解微分方程组初值问题 解 记 则微分方程组可以写成式(3.8)的矩阵形式例3.9已求得依次计算下列各量，故微分方程组的解为 二、求解矩阵方程 在控制论与系统理论中，要遇到形如AX+XB=F的矩阵方程求解问题，这个矩阵方程也称为Lyapunov方程关于这个矩阵方程的解有如下结果 定理3.15 给定矩阵方程 AX+XB=F (3.9)其中，如果A和B的所有特征值具有负实部(这种矩阵称为稳定矩阵)，则该矩阵方程有惟一解证 记则有Y(0)F，且 设是A的m个特征值，是B的n个特征值根据利用Jordan标准形求矩阵函数的方法(见3.3)知，的元素是形如的项的线性组合因为A的所有特征值的实部是负的，所以同理于是又由于的元素是形如的项的线性组合，且积分都存在，故积分存在 对式(3.10)两边从0到