矩阵的等价标准性的应用

1、第3讲 矩阵的等价标准形的应用设矩阵Amn的秩rankA=r，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q，使EPAQ= r0我们把0， 0Er00称为A的等价标准形熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们0具有相同的等价标准形矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题例1 每个方阵A均可写成A=BC，其中B是可逆阵，C是幂等阵（即C=C） 证 设A的秩rankA=r，则存在可逆阵P和Q，使A=P2Er00Q记B=PQ， 0ErC=Q0-102Q，显然B是个可逆阵，C=C是个幂等阵，并且A=BC 0-1例2 设n阶方阵A的秩rankA=r，证明存在可逆阵P，使PAP的后n-r行全是零证 存在可逆

2、阵P和Q，使P-1AQ=Er00Er-1，从而PAP= 000-1QP的后n-r行全是0零例3 设n阶矩阵A的秩rankA=r<n，证明存在非零n阶矩阵B，使BA=AB=0B0，且证 由例1知存在可逆阵A1和幂等阵A2，使A=A1A2记B=(E-A2)A1，显然-1BA=(E-A2)A1-1A1A2=0=A1A2(E-A2)A1-1=AB例4 设n阶矩阵A，B满足AB=E，证明BA=E 证 存在n阶矩阵P，Q，使得PAQ= 从AB=E易知Er00，这里r=rank A，我们断言r=n事实上，00-1QB， 0ErPAQQB=P=0-1EE= r0由此显然得到r=n，此时PAQ=QBP-1

3、-10-1-1QBP， 0-1-1-1从而E=QBPPAQ=QBAQ，进而BA=E =E，2例5 设n阶幂等阵A（即A=A）的秩rankA=r，证明存在可逆阵P，使EP-1AP= r0证 存在可逆阵R和T，使R-1AT=0 0R1，其中T1为r阶方阵，则 T2Er00T1-1TR=，记 0R2ER-1AR=R-1ATT-1R= r0-1从A=A即知RAR0T1R1T1 RT= 0220R1， 0()=R-1AR，从而T1 0因此T12=T1，且T1(T1R1必须T1=Er，随之得到R1T1ç00R1T12T1R1T1= =0000R1， 0T1)=(R1注意到(T1)，知r阶方阵T1

4、的秩rankT1=r，R1)的秩等于r，ER-1AR= r0Er现令可逆阵P=R0-R1，可验证 En-rR1 0R1-1EEr-R1P-1AP= rRAR 0E0En-rn-rR1ErR1Er-R1ErE= r = 0En-r000En-r0例6 设n阶幂等阵A的秩等于r，证明 （i） rankA+rank(E-A)=n；（ii） trA=rank A； （iii） 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积证 由例5知存在可逆阵P（当A为实阵时，P亦可取为实阵），使得0 .0ErPAP=0-10 0（i）此时P-1(E-A)P=00，这样0-En-rrankA+rank(E-A)=r+(n

5、-r)=n-1（ii）trA=trPAP=r=rank(A)()（iii）易知A=P Er00-1ErP=P 000Er-1-1''PPP=P() 000-1''，显然PPP()0ErP 00-1'''PPPP和都是实对称阵，从而也是实对称阵 P()0rankA+rank(E-A)=n， 例7 若n阶阵A满足则A是个幂等阵证 由例2知存在可逆阵P和Q= Q1Q2，其中Q1是r阶方阵，r=rank A，使得 Q3Q4EP-1AP= r00Q1Q2Q1Q2 QQ= , 03004Er-Q10-Q2的秩也等于n-r，必须En-r又从条件知E-A

6、的秩rank(E-A)=n-r，E-P-1AP=Er-Q1=0，即Q1=Er，这时(P-1AP)2E= r0Q2Er= 002Q2-1=PAP 02是个幂等阵，进而A是个幂等阵 例8 1设A是个n阶对合阵（即A=E），rank(E+A)=r，证明（i） 存在可逆阵P，使ErPAP= -1 -En-r（ii） rank(E+A)+rank(E-A)=n（iii） 每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积2若n阶阵A满足rank(E+A)+rank(E-A)=n，则A是对合阵证 注意到A是对合阵当且仅当1(E+A)是幂等阵，利用例57的结论即得 22例9 （i）设n阶阵A的秩等于r，满足A=aA，此

7、处a0证明存在可逆阵P，使得aEP-1AP= r0（ii）设A，B是如下的n阶矩阵： 0 01 1A= 1证明存在可逆阵P，使PAP=B -11 1n 1 10，B= 1 100 00 0， 0 0证 （i）我们仿照例5的思路来进行存在可逆阵R，使A1RAR= 0-1A2， 02其中A1是r阶方阵从A=aA知RAR(-1)2=aR-1AR，即A1A2A1=a 00A2， 0A1 0A2A12= 0022a0，A1的秩rankA1=r，因此A1=aEr， 于是A1=aA1，且A1(A1,A2)=a(A1,A2)注意到aER-1AR= r0Er 记P=R 0EP-1AP= r0-1A2，P显然是可

8、逆的，并且 aEn-r-A2 01A2-1ERAR ra 0En-r1A2aEra= 0En-r20 0（ii）显然A的秩rankA=1，又容易验证A=nA，故据（i）即知结论例10 设A是个mn矩阵，B是个nm矩阵，证明Em±AB=m-nEn±BA证 设A的秩rankA=r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使A=P Er00Q，记分块阵0BQBP= 1B3B2，其中B1为r阶方阵，则有 B4Em-AB=Em-P Er00ErQB=E-Pm 000-1QBPP 0Er=Em-0 =同理可得0ErQBP=Em- 000B1 0B3B2B4Er-B1-B2=m-rEr-B1 ，

9、Em-rEn-BA=n-rEr-B1，因此证明了Em-AB=m-nEn-BA进一步地，Em+AB=Em-(-A)B=m-nEn-B(-A)=m-nEn+BA例11 设mn矩阵A的秩等于r，证明对任意nm矩阵B，0是AB的至少m-r重特征值，0是BA的至少n-r重特征值证 从例10的证明直接推出例12 计算行列式+x1y1x2y1 xny1解 根据例10可知x1y2 xny2x1ynx2yn1+x2y21+xnyn+x1y1x1y2 x1ynx1x2y11+x2y2 x2ynx=E+ 2(y1,y2, ,yn)xny1xny2 1+xnynxnx1x2 =E+(y1,y2, ,yn) xn=1+

10、x1y1+x2y2+ +xnyn .例13 设A是个n阶可逆阵，和是两个n维列向量证明rank(A+')=n当且仅当'A-1-1-1-1-1证 由例10得A+'=AEn+A'=AE1+'A=1+'AA，注意到()A0，A+'的秩rank(A+')=n当且仅当A+'0当且仅当1+'A-10，即'A-1-1例14 设a1,a2, ,an均不为0，计算行列式+a123 n12+a23 n12 n1233+a3n+ana2是可逆的，由例13可得 ana1解 因a1,a2, ,an均不为0，故对角阵A=1+a123

11、n12+a23 n123+a3na13=n+an21a21 + 2(1,1, ,1) ann1 -1 2 =1+(1,1, ,1)AA nnin= 1+ai .i=1aii=1例15 设A是个mn矩阵，B是个nl矩阵，证明下面的Sylvester秩不等式rank AB rankA+rankB-n证 设A的秩等于r，B的秩等于s，存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q和R，l阶可逆阵S，使得EA=P r0记T=QR=0Es，QB=R 000S， 0T1T2，其中T1是rs矩阵，则TT34EAB=P r00EsQR 000T10S=P S， 000注意到P、T、S都是可逆阵，rankT=n，故rankAB

12、=rankT10=rankT1， 00而T1是T中去掉后n-r行、后n-s列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列），矩阵的秩最多减少1，因此rankAB=rankT1 n-(n-r)-(n-s)=r+s-n例16 设A、B、C是任意三个矩阵，乘积ABC有意义，证明下面的Frobenius秩不等式：rank ABC rankAB+rankBC-rank B证 设A是lm矩阵，B是mn矩阵，C是np矩阵，且设rankB=r，则存在m阶可逆阵ErP和n阶可逆阵Q，使B=P 0是rn矩阵，则 0Q1Q=现作分块阵P=(P ，P1是mr矩阵，Q1Q1,P2)，0Q2EB=P r001Q=(P0EP2) r

13、00Q111， Q=PQ02于是根据例15得到rankABC=rank(AP1+rankQC1-r 1QC1) rankAP rankAPQ11+rankPQC11-r rankAB+rankBC-rank B 例17 设mn矩阵A的秩等于r，证明存在可逆阵Pmm、Qnn使PA的后m-r行全为零，AQ的后n-r列为零证 存在可逆阵P和Q，使得PAQ= Er00Er，显然PA= 000-1Q的后m-r行为零，而0Er且AQ=P 0-10的后n-r列为零 0例18 设A、B是两个等秩的mn矩阵，若存在n阶矩阵U，使A=BU，则存在可逆阵V，使A=BV证 设A、B的秩等于r，从例17知存在可逆阵P和

14、Q ，使AP=(A1,0)，BQ=(B1,0)，Q1-1Q=其中A ，则有 1，B1都是秩为r的mn矩阵现作适当的分块P=(P1,P2)，Q2AP=(AP1,AP2)=(A1,0)，Q1B=(B1,0) =B1Q1，Q2从而A1=AP1，并且进一步可得A1=AP1=BUP1=B1QUP11，注意到A：=QUP1的秩等于r，故r阶方阵V111的秩也等于r，即V1是可逆的，于是有-1-1B=(B1,0)Q-1=(AV,0Q)11V1-1 =(A1,0) 0V1-10-1Q=AP En-r00-1 Q ,En-rV1-1显然P 00-1Q是可逆的，我们把它的逆记为V，则A=BV En-r例19 试从

15、等价标准形的角度给出齐次线性方程组AmnX=0的一种解法Er解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使PAQ= 0组AX=0可化为 0，于是线性方程0EP-1 r0y1 y-1=QX= 2，则原方程组等价于 记Y： ynEr 00-1QX=0， 0y1 0 y2=0， 0 yn容易验证qr+1,qr+2, ,qn都是AX=0的)，即y1=y2= =yr=0令Q=qq,q,r,r1,+q n(q1,2,解，从而它们构成AX=0的一基础解系 下面是具体的操作过程首先构造矩阵AB= ， En(m+n)n然后对矩阵B作如下的初等变换：（i） 对A（即B的前m行）作初等的行变换，（ii） 对

16、B作初等的列变换，则经过有限次上述的初等变换后，B可变为Er0A 00 ， B= E n Q此时Q的后n-r个列向量构成AX=0的一基础解系例20 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组AmnX=b的一种解法解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到首先构造矩阵AB= En然后对矩阵B作如下形式的初等变换：（i） 对B的前m行(A,b)作行的初等变换， b， 0(m+n)(n+1)A（ii） 对B的前n列 作列的初等变换， En则经过有限次上述变换后，B可变为 AB=EnEr0b b'00， 0Q0b1 br记b'= ，Q=(q1,q2, ,qr,qr+1,

17、 ,qn)，此时可得如下的结论：AX=b有解当且仅当b r+1 bmbr+1=br+2= =bm=0；当br+1=br+2= =bm=0时，b1q1+b2q2+ +brqr是AX=b的一个特解，qr+1,qr+2, ,qn是AX=b所对应的齐次线性方程组AX=0的一基础解系例21 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法解 设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使PAQ=E，A=PQ，进而A=QP这给出了求逆矩阵的一种方法首先构造矩阵 -1-1-1AE， B= E02n2n然后对B进行如下形式的初等变换：（i） 对B的前n行(A,E)进行初等的行变换，（ii） 对B的前

18、n列A进行初等的列变换， EAEEPB= ，E0Q0则经过有限次上述变换后，B可变为由此求得A-1=QPA的所有解X 例22 设A是给定的mn矩阵，X是mn矩阵，求矩阵方程A'X=X'解 设A的秩rankA=r，取定m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得EA=P r0A，得到 代入A'X=X'0Q， 00Q， 00， 00， 0EQ' r0Er 0Er 0X1-1'现记PXQ=X30Er''PX=XP 000Er-1-1'''PXQ=QXP() 000-1-1'Er''PXQ=PXQ ()

19、00X2，其中X1是r阶方阵，代入上式得到 X4mnX1 0X2Er= 000X1 X03X3'Er 0X4'X2X40X1'= 0 X'2X'= 1X'20 ，0由此得到X1=X1'，X2=0，因此我们解得了-1XX=(P') 1X30Q， X4其中X1是r阶对称矩阵，(X3,X4)是个任意的(m-r)n矩阵反过来，对任意mn矩阵X=(P')-1X1X30Q，其中X1是对称矩阵，我们容易验证X4A'X=X'A这样我们就求出了A'X=X'A的全部解 例23 设AMmn( ),BMpq( ),XMnq( ),YMmp( )，则矩阵方程AX-YB=C有解当且仅当A0AC和 等价 0B0B证 若X，Y满足方程AX-YB=C，则Em0因此-YA0