数列递推与通项(学生答案)

1、数列递推与通项一.观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。1.根据给出数列的前n项，写出下列的一个通项公式。(1) 11,103,1005,10007.(2) 7,77,777,7777(3) 2,-6,12,-20,30,-42,.(4) 1,3,3,5,5,7,7,9,9,.(5) 1,0,3,0，5,0.二.公式法（1）当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。（2） 已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。2.已知下列数列的前n项和求通项公式。3.已知数列an中，a1=

2、1，Sn=，求an的通项公式解：是以1为首项，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1=an=三.由递推式求数列通项(迭加法、迭乘法)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。4.根据的首项和递推公式，写出数列的前5项及通项公式5.（迭加法）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3×（）n1（n3），且S1=1，S2=，求an的通项公式解：先考虑偶数项有：S2nS2n2=3·S2n2S2n4=3·S4S2=3·将以上各式叠加

3、得S2nS2=3×，所以S2n=2+再考虑奇数项有：S2n1S2n1=3·S2n1S2n3=3·S3S1=3·将以上各式叠加得S2n1=2所以a2n+1=S2n+1S2n=43×，a2n=S2nS2n1=4+3×综上所述an=，即an=（1）n1·6.（an+1=pan+r类型数列）在数列an中，an+1=2an3，a1=5，求an的通项公式解：an+13=2（an3）an3是以2为首项，公比为2的等比数列an3=2nan=2n+37.在数列an中，a1=2，且an+1=，求an的通项公式解：an+12=an2+an+121

4、=（an21）an+121是以3为首项，公比为的等差数列an+121=3×，即an=8.（an+1=pan+f（n）类型）已知数列an中，a1=1，且an=an1+3n1，求an的通项公式解：（待定系数法）设an+p·3n=an1+p·3n1则an=an12p·3n1，与an=an1+3n1比较可知p=所以是常数列，且a1=所以=，即an=四、转化为常见类型求解：（1）倒数变换法：形如 （为常数，且）的递推公式，可令。则可转化为型；（2）对数变换法： 9. 已知数列an中，a1=，an+1=，求an的通项公式解：是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n1）=an=10.已知数列满足，求。11.（求和法，利用公式an=SnSn1，n2）已知正数数列an的前n项和Sn=，求an的通项公式解：S1=a1=，所以a1=1an=SnSn1 2Sn=SnSn1+Sn+Sn1=，即Sn2Sn12=1是以1为首项，公差为1的等差数列Sn2=n，即Sn=an=SnSn1=（n2）an=12.数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）