概率论：7-2 估计量的评选标准

1、数理统计数理统计 第二节第二节 估计量的评选标准估计量的评选标准无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性小结小结 布置作业布置作业数理统计数理统计 样本均值是否是样本均值是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好好”？样本方差是否是样本方差是否是 的一个好的估计量？的一个好的估计量？2 这就需要讨论以下几个问题这就需要讨论以下几个问题: :(1) 我们希望一个我们希望一个“好的好的”估计量具有什么特性？估计量具有什么特性？(3) 如何求得合理的估计量？如何求得合理的估计量？XN( )2, 数理统计数理统计 估计

2、量的评选标准估计量的评选标准 在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强在介绍估计量的评选标准之前，我们必须强调指出：调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数这是因为估计量是样本的函数, 是随机变量是随机变量 . 因因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性性 .数理统计数理统计 常用的几条标准是：常用的几

3、条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3相合性相合性这里我们重点介绍前面两个标准这里我们重点介绍前面两个标准 .数理统计数理统计 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就这就导致无偏性这个标准导致无偏性这个标准 . 一、无偏性一、无偏性 )(E则称则称 为为 的的无偏估计无偏估计 . ),(1nXX 设设是未知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若 数理统计数理统计 例如，用样本均

4、值作为总体均值的估计时，例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差用不会产生系统偏差 .无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .数理统计数理统计 例例1 设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布 , 其其概概率密度率密度为为 1,0,0 ,x exfx 其其它它, ,0 其其

5、中中为未知为未知,X1,X2,Xn是取自总体的一个样本是取自总体的一个样本 ,试证试证 和和 都是参数都是参数 的的无偏估计无偏估计量量 .1min(,)nXZXX 数理统计数理统计 证证 ,E X E X 所以所以 是参数是参数 的的无偏估计量无偏估计量 .X而而1min(,)nZXX 具有概率密度具有概率密度 min,0,;0 ,nx nexfx 其其它它, ,故知故知 ,E Zn E nZ 即即 也是参数也是参数 的的无偏估计量无偏估计量 .nZ数理统计数理统计 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了这就引进了有效性有效性这一概念这一概念 .的大小来决定二者谁

6、更优的大小来决定二者谁更优 .21)( E和和2 1 一个参数往往有不止一个无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计, 若若 和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，我们可以比较我们可以比较22)( E211)()( ED由于由于222)()( ED数理统计数理统计 二、有效性二、有效性D( ) D( )2 1 则称则称 较较 有效有效 .2 1 都是参数都是参数 的无偏估计量，若对的无偏估计量，若对任意任意 ，),(11nXX ),(122nXX 1 设设和和 且至少对于且至少对于某个某个 上式中的不等号成立，上式中的不等号成立，数理统计数理统计 例例2 (续例续例1) 试证试证 当

7、当 n 1 时时 的无偏估计量的无偏估计量 较较 有效有效 .1min(,)nXZXX 证证 2,D X 221111()()nniiiiD XDXD Xnnn故有故有 22,D Zn 而而故有故有 2.D nZ 当当 n 1 时时 , (),D nZD X XnZ故故 较较 有效有效 .数理统计数理统计 三、相合性三、相合性任意任意 ，当，当 时时 依概率收敛依概率收敛于于 , 则称则称 为为 的的相合估计量相合估计量.设设n 是参数是参数 的估计量，若对于的估计量，若对于1(,)n XX1(,)n XX为为 的的相合估计量相合估计量0 对于任意对于任意 , 有有lim|1,nP数理统计数理

8、统计 由辛钦定理由辛钦定理 若总体若总体 的数学期望的数学期望 有限有限, E X X则有则有11nkkiiAXn ()(1,2,)PkkE Xk 12(,)kg A AA12(,)Pkg 其中其中 为连续函数为连续函数 .g数理统计数理统计 故故11nkkiiAXn ()(1,2,)kkE Xk为为 的的相合相合估计量估计量 . 若若 为连续函数为连续函数, g12(,)kg A AA12(,)kg 为为 的的相合估计量相合估计量 . 则有则有数理统计数理统计 四、小结四、小结 对于一个未知参数可以提出不同的估计量对于一个未知参数可以提出不同的估计量 , 因此自然提出比较估计量的好坏的问题因此自然提出比较估计量的好坏的问题 ，这就，这就需要给出评定估计量好坏的标准需要给出评定估计量