复变函数：第一章复数与复变函数

1、1复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数复变函数 第一章第一章第五章第五章积分变换积分变换 Fourier变换变换 Laplace变换变换后继课：线性系统，信号分析，自动控制等后继课：线性系统，信号分析，自动控制等2第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数及其代数运算复数及其代数运算第二节第二节 复数的几何表示复数的几何表示第三节第三节 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根第四节第四节 区域区域第五节第五节 复变函数复变函数第六节第六节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性3一、复数的概念一、复数的概念1. 虚数单位虚数单位:.,称称为为虚虚数数单单位位引引入入一

2、一个个新新数数为为了了解解方方程程的的需需要要i.1 :2在在实实数数集集中中无无解解方方程程实实例例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(样样的的法法则则进进行行四四则则运运算算可可以以与与实实数数在在一一起起按按同同i第一节第一节 复数及其代数运算复数及其代数运算;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 42.复数复数:. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iyxzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称

3、为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 例例1 1 )43(2mm复复数数取取何何值值时时实实数数,m.)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65(2 解解. 16)1( mm或或. 4)2( m5两复数两复数相等相等它们的实部和虚部分别相等它们的实部和虚部分别相等. .z 等于等于0 它的实部和虚部同时等于它的实部和虚部同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小, 如果不全是实

4、数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小. 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.6二、复数的代数运算二、复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的和两复数的和:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积:).()(2

5、112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 例例2 2 . 0,0,212121中中至至少少有有一一个个为为的的充充分分必必要要条条件件是是是是复复数数，证证明明设设zzzzzz . 01 0, .,22122112 zzzzzzzz则则假假设设只只证证必必要要性性证证明明：充充分分性性显显然然75. 共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz .,的

6、的积积是是一一个个实实数数两两个个共共轭轭复复数数zz结论：4. 共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若izzzzzz2)Im(,2)Re( 222121,1zzzzzzzzzz 8例例4 4 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(

7、22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 例例3 3 .0)(22化化为为复复数数形形式式的的方方程程将将 dcybxyxa . 0)Im()Re( dzczbzaz解解：9例例5 5.112 iiii计算计算解解iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 10例例6 ,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求解解iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 11例

8、例7 ,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求解解iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 12例例8 , 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明证证 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzz

9、zzzz 或或13例例9 .)2(;125)1( iii 化简化简解解 ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii ,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx14例例10 .0001110的的零零点点成成对对出出现现也也是是，即即实实系系数数多多项项式式的的根根，则则是是实实系系数数方方程程证证明明：若若zazazazaznnnn .0, 00000011010001101000110100011010也也是是方方程程的的根根即即由由于于系系数数是是实实数数，得

10、得即即，从从而而，证证明明：由由条条件件知知zazazazaazazazaazazazaazazazannnnnnnnnnnnnnnn 15一、复平面一、复平面1. 复平面的定义复平面的定义. . , , , . ),( 面面面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点可以用复平可以用复平复数复数yxiyxz ),(yx

11、 xyxyoiyxz 第二节第二节 复数的几何表示复数的几何表示162. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立显然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 222| )Im(| )Re(| , )Im()Re(|,| )Im(| |,| )Re(|zzzzzzzzzz 更常用的形式：更常用的形式：2221212|,|1zzzzzzzzzzz 173. 复数的辐角复数的辐角 .

12、Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z规定辐角不确定规定辐角不确定.18辐角主值辐角主值的定义的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)

13、2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,194. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .205. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z. 实轴对

14、称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 21利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示22例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iz

15、iz.)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz指数表示式为指数表示式为.465iez 235cos5sin)2( iz, 1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez .)3sin3(cos)5sin5(cos)3(32 iiz ,5sin5cos 5 iei

16、因为因为)3sin()3(cos3sin3cos ii,3 ie 32)3sin3(cos)5sin5(cos ii所以所以3325)()(iiee ,19 ie 故三角表示式故三角表示式,19sin19cos iz 指数表示式指数表示式.19 iez 24例例2 2. , 0 ,sincos1 的的辐辐角角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式与与指指数数表表示示化化为为把把复复数数ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指数式指数式).2arg z25例例

17、3 3解解. , 1cos1cos iez 其中其中的实部和虚部的实部和虚部求复数求复数1cos1cos z cossin1coscoscossin1coscosii 2222)cos(sin)1cos(coscossin2)cos(sin1)cos(cos i.)(cos1coscos2cossin2)(cos1coscos2)(sin222i zRe zIm 26例例4 4.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 证证明明为为两两个个任任意意复复数数设设证证21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221

18、(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因为因为两边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 27例例5 5. , :133221232221321zzzzzzzzzzzz 点的充要条件是点的充要条件是成为等边三角形顶成为等边三角形顶三个复数三个复数证明证明证证 :321件为件为是等边三角形的充要条是等边三角形的充要条zzz , 3 3 31121zzzzz

19、即得向量即得向量或或旋转旋转绕绕向量向量 1z2z3z,)( 31213iezzzz 即即,2321 1213izzzz 或或,2321 1213izzzz 两边平方两边平方, 并化简得并化简得.133221232221zzzzzzzzz 28很多平面图形能用复形式的方程或不等式来表示很多平面图形能用复形式的方程或不等式来表示; 也可由也可由给定的复形式的方程或不等式确定它所表示的平面图形给定的复形式的方程或不等式确定它所表示的平面图形.例例6 6. 222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直

20、线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t参数参数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),( t参数参数 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中点坐标为的中点坐标为得线段得线段zz.221zzz 29例例7 7求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2

21、 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程2; 20; 2; 2 iziziziz思思考考：3022)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为31例例8

22、8.1,1 . , , ) , 10( 2212221002121kzzkkzkzzzzzzkkzzzz 且且半径为半径为其圆心为其圆心为平面上的一个圆周平面上的一个圆周表示表示证明方程证明方程证证 , 0 zz圆周圆周 , 0代入代入和和将将 z 22211)(kzzkzz2211kzzk ,)(21221zzkzzkzz 32 , 2zz 两边同除以两边同除以,121221 zzzzkkzzzz , 21zzzzw 令令,12 wkkw两边同时平方两边同时平方,12222 wkkw, 22kw 于是于是,kw . 21kzzzz 故故33二、复球面二、复球面1. 南极、北极的定义南极、北极

23、的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SNxyPNOS 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.2. 复球面的定义复球面的定义34球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的

24、这样的球面称为球面称为复球面复球面.3. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, , 简称复平面简称复平面. .复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面与复平面上的无穷远点相对应上的无穷远点相对应, 记作记作 . 因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就就是复数无穷大是复数无穷大 的几何表示的几何表示.

25、对于复数对于复数 来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义, 它的它的模规定为正无穷大模规定为正无穷大. 35 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应, 所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的（辐角无意义）的唯

26、一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈思考：是否任意复数都有辐角思考：是否任意复数都有辐角?任何一个半平面没有无穷远点任何一个半平面没有无穷远点.36一、一、乘积与商乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.的三角形式分别为的三角形式分别为和和设复数设复数21zz,sin(cos1111） irz ,sin(cos2222） irz )sin(cos)sin(cos22211121 irirzz 则则)sincoscos(s

27、in)sinsincos(cos2121212121 irr证证第三节第三节 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根)sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 证毕证毕37两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋转一个角旋转一个角按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z的指数形式分别为的指

28、数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(212121 ierrzz则则,222 ierz 推广推广:nzzz 21), 2 , 1(,)sin(cos nkerirzkikkkkk 设设)sin()cos(212121nnnirrr .)(2121ninerrr 38说明说明由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.例如，例如，, 1 21izz 设设, 21izz 则则), 2, 1, 0(,2

29、Arg1 nnz), 2, 1, 0(,22Arg2 mmz), 2, 1, 0(,22)Arg(21 kkzz. 1,22)(223 nmkknm只须只须故故, 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或则则39 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.定理二定理二证证按照商的定义按照商的定义, , 0 1时时当当 z,1122zzzz ,1122zzzz ,ArgArgArg1122zzzz , 1212zzzz 于是于是.ArgArgArg1212zzzz 的指数形

30、式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz 证毕证毕40例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因为因为,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以, i 63sin63cos 21izz.2123i . 2121zzzz和和求求 复数乘积与商的运算，在各种形式中复数乘积与商的运算，在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便以三角形式、指数形式最为方便41例例2 2解解. ,2 1 21求它的另一个顶点求它的另一个顶点和和点为点为已知

31、正三角形的两个顶已知正三角形的两个顶izz ). ( ,)3(3 33112zzzzz 或或它的终点即为所求顶点它的终点即为所求顶点到另一个向量到另一个向量就得就得或或旋转旋转绕绕的向量的向量将表示将表示如图所示如图所示, oxy11 ziz 223z3z 3 ,3 1, 3 转角为转角为的模为的模为因为复数因为复数ie)(12313zzezzi )1(2321ii i 23212321,231233 3iz 所以所以.231233 3iz 42二、幂与根二、幂与根1. n次幂次幂:, , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )si

32、n(cos , ninrznnn 有有对于任何正整数对于任何正整数. , ,1 上上式式仍仍成成立立为为负负整整数数时时那那么么当当如如果果我我们们定定义义nzznn ,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当.sincos)sin(cos ninin 2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式43 . , . 3为已知复数为已知复数其中其中的根的根方程方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk从几何上看从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nzn . 1个个顶顶点点边边形形的的为为半半径径的的圆圆的的内内接接正正nnrn44例

33、例3 3解解.)1()1( nnii 化简化简 ii212121 4sin4cos2i ii212121 4sin4cos2inni 4sin4cos)2(nni 4sin4cos)2( 4sin4cos4sin4cos)2(ninninn.4cos222 nn原式原式= =45例例4 4 . 1 3的值的值计算计算i 解解 ii212121 4sin4cos2i31i 324sin324cos26kik).2 , 1 , 0( k,12sin12cos260 iw,127sin127cos261 iw.45sin45cos262 iw即即46例例5 5 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4

34、sin4cos21ii 424sin424cos2184kiki).3 , 2 , 1 , 0( k,16sin16cos280 iw即即,169sin169cos281 iw,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8正方形的四个顶点正方形的四个顶点的圆的的圆的在原点半径为在原点半径为这四个根是内接于中心这四个根是内接于中心oxy1w2w3w0w47例例6 6解解.)1()1( 55zz 解方程解方程 , 1 z直接验证可知方程的根直接验证可知方程的根故原方程可写成故原方程可写成, 1115 zz ,11 zzw 令令 , 1 5 w则则.

35、4 , 3 , 2 , 1 , 0,52 kewik , 1 0 w故故,521iew ,542iew ,563iew .584iew 11 wwz因为因为11 iiee1sincos1sincos ii,2tan i 故原方程的根为故原方程的根为, 00 z,5tan1 iz,52tan2 iz,53tan3 iz.54tan4 iz48例例7 7. 34 : ,)31( , 111 nnnnnnnnyxyxiiyxn求证求证且且为自然数为自然数若若证证nnniiyx)31( nni 3sin3cos2 3sin3cos2ninn利用复数相等可知利用复数相等可知:,3cos2 nxnn,3s

36、in2 nynn49 11nnnnyxyx3)1(sin23cos23sin23)1(cos211 nnnnnnnn 3)1(3sin212nnn23212 n. 341 n等式得证等式得证.50一、区域的概念一、区域的概念1. 邻域邻域:. : )( , 000的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz 说明说明. , 0 , 称为无穷远点的邻域称为无穷远点的邻域其中实数其中实数的集合的集合的所有点的所有点且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMz第四节第四节 区区 域域2.去心邻域去心邻域:

37、. 0 00的去心邻域的去心邻域集合为集合为所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式zzz 说明说明. . , , zMMz可以表示为可以表示为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的集合的集合的所有点的所有点仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在513.内点内点:. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设GzGzGzG4.开集开集:如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为开集称为开集.

38、.5.区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它为一则称它为一个区域个区域. . (1) D是一个是一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都中任何两点都可以用完全属于可以用完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.6.边界点、边界边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不属于不属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的 P P 点我们称点我们称为为D的的边界点边界点. D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边

39、界. .52说明说明 (1) 区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成. (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3C以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:. , , 0, ,否则称为无界的否则称为无界的称为有界的称为有界的那末那末足足使区域的每一个点都满使区域的每一个点都满即存在即存在里面里面点为中心的圆点为中心的圆可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzM

40、D 53(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo54二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域1. 连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线代代那末方程组那末方程组是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的

41、复数表示:)().()()(btatiytxtzz 2. 光滑曲线光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线按段光滑曲线. .xyoxyo553. 简单曲线简单曲线:. )( )( , )()( :的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121

42、的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔当曲线或若尔当曲线).). , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 56简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 将复平面将复平面唯一地分成三个互不相交的点集唯一地分成三个互不相交的点集.xyo内部内部外部外部边界边界课堂练习课堂练习 判

43、断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 574. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域58例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列

44、不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).3arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).59411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之和的距离之和是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.3

45、1)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域. 为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹, ) 1 4 3:(22 yx椭圆椭圆60111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边界边界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.61例例2 2解解

46、满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域.62, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以

47、以不是区域不是区域.63,4arg0)5( iziz , 时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx64, 0)1( 22 yx因为因为 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于是于是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22集集部且属于左半平面的点部且属于左半平面的点的外的外表示在圆表示在圆 yx单连通域单连通域.65一、复变函数的定义一、复变函数的定义).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 记作记作简称复变函数简

48、称复变函数的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数与之对应与之对应或几个复数或几个复数就有一个就有一个中的每一个复数中的每一个复数对于集合对于集合按这个法则按这个法则存在存在如果有一个确定的法则如果有一个确定的法则的集合的集合是一个复数是一个复数设设1.复变函数的定义复变函数的定义:第五节第五节 复变函数复变函数2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:. )( , 是单值的是单值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( , 是是多多值值的的那那末末我我们们称称函函数数的的值值两两个个以以上上的的一一个个值值对对应应着着两两

49、个个或或如如果果zfwz663.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )( 定义域定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG. , * 称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG4. 复变函数与自变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系: )( 相当于两个关系式相当于两个关系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx例如例如, , , 2zw 函数函数, ivuwiyxz 令令2)(

50、 iyxivu 则则,222xyiyx : 2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于是函数zw ,22yxu .2xyv 67二、映射的概念二、映射的概念1. 引入引入:. , , , ,系系上的点集之间的对应关上的点集之间的对应关必须看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内对应关系对应关系之间的之间的和和由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数yxvu2.映射的定义映射的定义:).()( * )( )( , , 或变换或变换的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一

51、个点集变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集就可以看作是把就可以看作是把在几何上在几何上那末函数那末函数的值的值平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面的值的值平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量如果用如果用GwGzzfwwwzz .)( 所所构构成成的的映映射射函函数数这这个个映映射射通通常常简简称称为为由由zfw . ),( , * )( 的原象的原象称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点映射成映射成被映射被映射中的点中的点如果如果wzzwwGzfwzG 68 . )1(构成的映射构成的映射函数函数zw xyouvoiz321

52、 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射两个特殊的映射:. ibawwibazz 的点的点平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将69xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同图形且是全同图形.70 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,

53、21, 321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z3. 两个特殊的映射两个特殊的映射:71 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知, . 2的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz72 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw : 2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数

54、函数zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲线曲线标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把(如下页图如下页图)., 21cvcuw 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成73 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形同一个长方形.xyoxyo74 . )2(2构成的映射构成的映射函数函数zw : 的象的参数方程为的象的参数方程为直线直线 x ) (.2,22为参数为参数yyvyu : 得得消去参数

55、消去参数 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口相左的抛物线开口相左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线) : 的象为的象为同理直线同理直线 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口相右的开口相右的抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线)754. 反函数的定义反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或几个或几个中的一个中的一个必将对应着必将对应着每一个点每一个点中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函数值集合为函数值集合为平面上的集合平面上的集合的定义集合为的定义集合为设设GwGGwGzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映射的逆映射为映

56、射为映射也称也称的反函数的反函数它称为函数它称为函数函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在zfwzfwwzG 76根据反函数的定义根据反函数的定义,*,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一对应的是一一对应的合合与集与集也可称集合也可称集合是一一对应的是一一对应的射射映映那末称函数那末称函数都是单值的都是单值的逆映射逆映射与它的反函数与它的反函数映射映射如果函数如果函数GGzfwwzzfw 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映射.77解解例例1 1: 2上的

57、象上的象平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ;4 , 20 )1( r线段线段, , iiewrez 设设,2, 2 r则则,2 , 40 4 , 20 映射为映射为故线段故线段r还是线段还是线段.xyouvo 2zw78例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 )2(22 yx双曲线双曲线, ivuwiyxz 令令ivu 则则,222xyiyx ,22yxu 解解, 4422 uyx . 轴的直线轴的直线平行于平行于 vxyo 2zwuvo22 479例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面点集在下

58、求下列平面点集在在映射在映射wzw 解解. 20 ,40 )3( r 扇形域扇形域, , iiewrez 设设,2, 2 r则则, 40,20 映射为映射为故扇形域故扇形域20 ,40 r 2zw仍是扇形域仍是扇形域.80例例2 2解解 . 2 ,1 的象的象求圆周求圆周对于映射对于映射 zzzw, ivuwiyxz 令令zzw1 映射映射,22yxiyxiyxivu , 22yxxxu 于是于是,22yxyyv : 2 的参数方程为的参数方程为圆周圆周 z20,sin2cos2 yx8120,sin23cos25 vu所以象的参数方程为所以象的参数方程为 : 平面上的椭圆平面上的椭圆表示表示

59、 w. 123252222 vu82一、一、函数的极限函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当地必有一正数地必有一正数相应相应对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或记作记作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 第六节第六节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同相同, 但在实质上有很大的差异但在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多它较之后者的要求苛刻得多.832. 极限计算的定理极限计算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()