柯西不等式的证明和应用

1、柯西不等式的证明和应用淮阴师范学院毕业论文（设计）摘要:柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着 不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式 灵活多样.虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联 系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美.本文归纳总结了它 的儿种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的 一些形式，证明方法和应用，所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗 透性和统一性.关键词：柯西不等式，证明，联系，应用1淮阴师范学院毕业论文（设计）Abstract: Cauchy

2、Inequality in mathematics is a very important inequality, which indifferent fields has different forms Cauchy Inequality has an extremely wide range ofapplications in every branch of mathematics and proving It has many branches of differentforms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows

3、 the harmony and beauty ofmathematics This article summarizes its several types, proofs and applications in theElementary Algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variablesand probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fullyembody the math

4、ematical connection of between fields, penetration and uniformity Key words:Cauchy Inequality, Proving, Contaction, Application淮阴师范学院毕业论文（设计）目录1引言2（柯西不等式的形式和证明2. 1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明2. 2柯西不等式在数学分析中 的形式和证明2. 3柯西不等式在高等代数中的形式和证明2. 4柯西不等式在复变 中的形式和证明2. 5柯西不等式在概率论中的形式和证明3.柯西不等式每种形式 间关系4.柯西不等式的应用总结参考文献感谢3淮

5、阴师范学院毕业论文（设讣）1.引言柯西不等式是大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中“留数”问题时得到 的，因而被命名为柯西不等式柯西（Cauchy,1789,1857）,法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易？弗朗索瓦?柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的 政治漩涡中一直担任公职.Ill于家庭的原因， 柯西本人属于拥护波旁王朝的正统 派， 是一位虔诚的天主教徒.他在纯数学和应用数学的功底是相当深用的，很多数学的定理、公式都以他的 名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅 次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和儿本书，以分析教程（1821年）

6、 和关于定积分理论的报告（1827年）最为著名.他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究，并 获得了许多重要成果，著名的柯西不等式就是其中之一，但从历史的角度看，该不 等式应当命名为Cauch - Buniakowsky - Schwarz不等式.因为这一不等式是山后 两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，并应用到近乎完善的地步.2.柯西不等式的形式和证明1, 21,柯西不等式在初等代数研究中的形式,abRi, 1, 2 ii222222222 , , , , , , , a, a, ? , ab, b, ? , bab, ab, ?, abll22nnl2nl2n当

7、且仅当存在不全为零的常数k使时，等号成立()i,l,2? nb, kaii 证 这定理在或时明显成立，所以在该证明中不妨设aa,0bb, 01212 中至少有一个不为零，中也至少有一个不为零。aaa, bbb, 12nln2构造实变量二次函数x222, , , , , , f (x),ax, b, ax, b, ? , ax, bnnll22222222222, , , , , , ,a, a, ? , ax, 2ab, ab, ? , abx, b, b, ?, bnnnnl21112因为22n a, a, ? , a, 012n所以fx, 0,恒成立因为2222222, , , , , ,

8、 4ab, ab, ? ab,4a, a, ? , ab, b, ?,b,0nnnnll2212124淮阴师范学院毕业论文（设讣）即2222222，ab, ab, ? ab, a, a, ? , ab, b, ? , bll22nnl2nl2n当且仅当（）时等号成立i,l,2? nb,kaii2. 2数学分析中柯西不等式的形式，有fxgxcab,2bbb22 fxgxdxfxdxgxdx,bbb222 = tfxdxtfxgxdxgxdx, , 2,0所以判别式,0即2bbb , 2224. Ofxgxdxfxdxgxdx,aaa所以2bbb22 fxgxdxfxdxgxdx,，aaa2. 3

9、高等代数中柯西不等式的形式对于任意的向量，有,当且仅当存在不全为零的常数，使时，等式成立.k,kk,k, ,01212当且仅当存在不全为零的常数，使时，等式成立.kkkfx, kgx, 011222b证设uttfxgxdx,，证当-0时，显然成立以下设令是一个实变数，作向量t淮阴师范学院毕业论文（设计）,由可知，不论取何值，一定有t, cos, ,0, , , tt,艮卩2.,贝I判别式,0即2. 4, 4, 0, 从而222, ,所以当,线性相关时，等号显然成立.反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者，或者，0,0,也就是说，线性相关，2. 4复变中柯西不等式的形式zzzzzzz

10、zc, ,. , , 12121212证在复平面上取向量所对应的复数为，拒向量的加法法则，zzozoz,ll,22我们有,.ozozoz, zzozoz, 122112设，zoz,则从余弦定理有12222zzzz, ,1212.cos,2zzl2因为0淮阴师范学院毕业论文(设计),cosl,所以.(1) zzzzzz, 121212当且仅当或时，即三点共线时，等号成立.ozz,0,12在中，同理可推得，ZOZ, , , OZZ, , 11.(2) zzzzzz, , , 121212所以公式4得证.不等式(1) (2)的本质反映了空间三个点两两形成的距离之间的关系.2. 5概率论中柯西不等式的

11、形式22,随机变量，若存在，则有p, E, E,222 . EEE,当且仅当存在不全为零的常数使时，等式成立.k, kk, , k, 01212证设事件X的方差用表示，Varx,因为2, , , , , , , Var, EX, EX, 0所以222. , E, Var, , E, E, 0同理可得22. , , E, E, 0因此有222222,. E, E, E, E, E, E, E,所以222EEE,3.柯西不等式每种形式间的关系柯西不等式的各种表示不仅形式优美对称，而且各种形式相互渗透着内在联系，它们间的相互转化更显示出数学内部结构的和谐美和统一美.7淮阴师范学院毕业论文（设讣）我们

12、取,aaa, bbb, , , , , 12nl2n定义内积.,ab, ab, ? , abll22nn在空间中，定义内积，,Ca, b, fx, gxb. , fxgxdx, a这样就由2. 3的形式可推得2. 1的形式和2. 2的形式了.另一方面，对离散型随机变量，bbbaa ? a ,12nl2n, ,f, , , ,111111, ? ? , nnnnnn,则nnnl 112222, , . E, aE, bE, ab, iiiinnn, 1, 1, liii由2. 5的形式得到,2nnn, 11122. ab, a, b, iiiinnn, 1, 1, 1, iii即2nnn, ,2

13、2. ab, a, b, iiii, 1, 1, 1, iii则由2. 5的形式得到2. 1的形式.设连续型，贝9 ,bfxgx, Ca, bbl22, , , , , Ef, fxdx, a, babl22, , , , , Eg, gxdx, a, babl, Ef, g, fxgxdx, a, ba由2. 5的形式得，2bbb22. fxgxdxfxdxgxdx, aaa则由2. 5的形式得到2. 2的形式.设，,z, a, bi,z, a, bia, a, b, b, R11122212128淮阴师范学院毕业论文（设计）代入2. 4形式的（1）中化简得到22222.,a, ba, b,

14、aa, bbll221212即山2. 4的形式得到2. 1的形式（当时）n, 2由上讨论可知， 形式2.1、 形式2. 2只不过是形式2. 3在不同向量空间中的具体 表述，也只不过是形式2. 5在不同测度空间中的具体表述.而形式2.3和形式2.5却 更具有一般性和抽象性.它体现了代数与分析、概率与分析，高等数学与初等数学之 间相互渗透,相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一有机整体,它的生 命力依赖于各部分的联系”它是我们进行“数学探究”的极好材料.对于培养学生 的思维品质，领悟数学思想方法，认识知识间的联系，促进学生的创造性思维是非常 难得可贵的.4.柯西不等式的应用柯西不等式是一

15、个重要的不等式，灵活巧妙地应用这个不等式可使一些十分困 难的问题迎刃而解,这个定理不仅能解决很多国内外数学竞赛试题及IMO试题中有 关不等式问题，而且对于解决某些常规问题都能起到意想不到的效果.例1已知都是正数，求证aaa, ? 12n,1112. aaan, nl2aaanl2,证明 构造两个数组:aaa,？12n111. , , ? , aaal2n利用柯西不等式有22, , nnn, ,2,11, , aa, , 1, 9 9即2nnn,a,liilll, 1所以,1112 aaan, nl2aaanl2,例2（第22届IMO试题）PP已知为内一点，点到的三边，ABCBCd, ACb,

16、ABc,ABCBCCAAB的距离分别为d, d, d,求证1239淮阴师范学院毕业论文（设讣）2abc, , , , abc. , , , 2dddS, ABC123证111题设可知,2Sadbdcd, , , ,ABC123要证结论成立，只要证,abc2. , adbdcdabc, , , , , 123dddl23,山柯西不等式知，上式显然成立.所以2abc, , , , abc. , , , 2dddS, ABC123柯西不等式的灵活运用，使得问题山繁化简，将高等数学与初等数学紧密联系 起来.3（高中联赛,1997）例试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数使得xxxn,2? , yy

17、y, ?OlnOln2222 zzzz, , , ? , 012n成立，其中，i为虚数单位，证明你的结论.zxiy, , kn, ? 0, 1,. kkk2222解将转化到实数范围内，即zzzz, , , ? , 012nn, 222xyX, 00k, kl （1） , n, XYxy, kkOO, kl,若存在实数使（1）式成立，则yyy, ? Oln2n, 22. xyXY, OOkk, kl由柯西不等式有2nn, 222 （2） xyXy, OOkk, kkll,n22如果xX,由可得,Ok, kln22y, y, , Ok, lk10淮阴师范学院毕业论文(设计)从而nn, 2222.

18、xyxy, OOkOk, lk, 1,与(2)矛盾，于是有n22. (3) x, x, Ok, lk反之若(3)成立，有两种情况:n221.,则取，显然(1)式成立.x, xy, xkn, ? 0, 1,., Okkk, lknn222222.,记，则不全为0. a, x, x, Ox, xx, x? x, 012nk0k, lklk不妨设,取，有x, 0y, 0y, 0,1, 2, ? n, 2nkax, ax, nnly, y, . ,nln2222x, xx, x, nlnnln易知(1)式成立.综上所述，所求的条件为n22. x, x, Ok, lk,3例利用柯西不等式推导空间一点到平

19、面:距离公式4Pxyz, Ax+By+Cz+D二0, , , 000Ax+By+Cz+D000. d二222A+B+C解 设是平面:上任一点，则Pxyz, Ax+By+Cz+D二0, , 1111.Ax+By+Cz+D二0111那么222PP二x-x+y-y+z-z, , , , , , , 1010101的最小值就是到平面的距离.p,由柯西不等式，得222222A+B+C x-x+y-y+z-z, , , , , , 010101,A(x- x)+B(y- y)+C(z- z) 010101二Ax+By+Cz+D00011淮阴师范学院毕业论文(设计)即Ax+By+Cz+DOOO. pp ,

20、1222A+B+C当且仅当？平面a时取等号.ppi即点 到平面：的距离公式是Pxyz,Ax+By+Cz+D二0, , , 000 Ax+By+Cz+DOOO. d二222A+B+C有些问题，从表面上看不能应用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常 数的b各项,就可以运用柯西不等式来解.当一些不等式中含有的形式时，可以巧fxgxdx, , , , ,a妙地应用柯西不等式，使问题迎刃而解.111., 422,例函数在上一阶可导，.证明.fxO,IffOlO, 5fxdxfxdx,，004因为证x, , fxftdtf, , 0,01, , fxftdtf,八()(1), , , x及，ff(O

21、) (1)0,则有22xxxl, 1, , 222,fxftdtdtftdt, lxfxdxx, 0, , 00002,八21111., 1, , 2222,fx, ftdt, ldtft, 1, xfxdxx, 1, xxx02,，从而0., fxdxxdxfxdx, fxdx, , , , , , ,000080.,fxdx, 1, xdxfxdx, fxdx,11,00822将上两式相加即证得11122, fxdxfxdx, , , , ,00412淮阴师范学院毕业论文（设讣）三角形的证明方法多种多样，然而利用柯西不 等式证明会使证明会更加简洁.厂5例证明三角形不等式6因为证2,， ，

22、, ，2, ，,22, , , 2,2,所以有了三角形不等式，一些难以入手的不等式证明可以轻松攻破.22例7已知，求证：.xxxx, , , , , 23232xR,证因为222, (1) xxx, , , , , 2312,222 , (2) xxx, , , 2312,(1)和(2)分别表示点与点及点的距离，Px,0P, 1,2P1,2, , , , , , 12在中，PPP12PPPPPP, 2, 1212所以.例8已知求证abc, 0, 0, 0,22abacaaabac, , 111. ,XYX,证构造独立的随机变量，其分布律为,，Y,则Bea, bBea, c22EXVarXEX,

23、，2ab ,、abab , ，1aa, L , , abab, , , 1,13淮阴师范学院毕业论文(设计)22EYVarYEY,2aca, f 2ac, ,ELCSLC,，1aa, 1, , , acac, , , 1,，由于，相互独立，根据柯西不等式知XY222222, , EX, EY, EX, EY, EX, EY, EXY所以9 11, , 9 9 Q.3. , ，ababacacabac11,展开整理有22. abacaaabac,注意:在函数中利用柯西不等式解题的前提是abc, 0, 0, 0, Be有的问题本身不具有运用柯西不等式的条件，我们只要改变一下多项式形态结认清其内在的

24、结构特征，就可达到利用柯西不等式解题的U的.,6例用柯西不等式解释样本线性相关系数9在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数()xxyy, , , ii, li, r二nn22()xxyy, , , , ii, llii并指出且越接近于1,相关程度越大，越接近于0,则相关程度越小现在可用r, lrr柯西不等式解释样本线性相关系数.证 现记，贝9， axx, byy, iiiinab,iii,1, r=nn22ab, iiii, 11由柯西不等式有，r,l.当r,l时，14淮阴师范学院毕业论文（设计）nnn222. abab, , ,iiii,iiilllyy, , , bii此时，为常数.k, kxxa, , , ii点均在直线上，xy, i, 1, 2? nyykxx, iirmn222当时，.abab, r, 1, , , iiii, iiilll即nnn222. abab, 0, , ,iiii,llliii而nnn2222, abababab, , , , , ,iiiiijji, iiiijnllll2, abab, 0, abab, 0, , , i