411圆的标准方程

1、yP0 (x0,y0)0y0:0l Ax By Coyx形形数数解析几何的基本思想Oyx 圆在坐标系下有什么样的方程？ 解析几何的基本思想 2、确定圆有需要几个要素？、确定圆有需要几个要素？圆心圆心确定圆的位置确定圆的位置(定位定位)半径半径确定圆的大小确定圆的大小(定形定形)平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.1、什么是圆？、什么是圆？Oxy C(a,b)二、探究新知，合作交流二、探究新知，合作交流 已知圆的圆心已知圆的圆心c(a,b)及圆的及圆的半径半径R,如何确定圆的方程？如何确定圆的方程？M探究一探究一RP=M|MC|=R一一.

2、圆的标准方程圆的标准方程xy|MC|= R则则P = M | |MC| = R 圆上所有点的集合圆上所有点的集合22()()x ay bR222()()x ay bR OCM( (x, ,y) ) 如图，在直角坐标系中，圆心如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标的位置用坐标 (a,b) 表示，半径表示，半径 r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x, y)与与圆心圆心C (a,b) 的距离的距离xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx圆的标准方圆的标准方

3、程程 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ， 是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方的圆的标准方程是：程是：)3, 2(A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7, 5(1M25)3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，

4、点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上25)3()2(22yx练习：求以C(1,3)为圆心并和直线3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。XC(1、3)3x-4y-6=0Y0222)3()1(:ryx设所求圆的方程为的距离到直线圆心0643) 3 , 1 ( yxC, 343|63413|22r解解:9)3() 1( :22yx故所求圆的方程为怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？圆上？还是在圆外呢？内呢？圆上？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyaxCxyoM1M2M3判断一个点在不在某个圆上，判断一个点在不在某个圆上，只需

5、将这个点的坐标带入这个圆的方程，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上反之如果不成立则不在这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢内呢？还是在圆外呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3点在圆上点在圆上 点到圆心的距离等于半径点到圆心的距离等于半径 r ；22020)()(rbyax 点在圆外点在圆外 点到圆心的距离大于半径点到圆心的距离大于半径 r ；22020)()(rbyax 点在圆内点在圆内 点到圆心的距离小于半径点到圆心的距离小于半径 r ；

6、22020)()(rbyax ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆求它的外接圆的标准方程的标准方程.讨论例例2 2： 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 (1)222)()(rbyax 因为因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（它们的坐标都满足方程（1）于是）于是22

7、2222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba待定系数法待定系数法235abr 所求圆的方程为所求圆的方程为22(2)(3)25xy A(5,1)EDOC(2,-8)B(7,-3)yxR哈哈！我会了哈哈！我会了! !几何方法几何方法L1L2解法二：12108642-2-4-6-8-10-12-14-16-15-10-55101520OEDCBAl2l1因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线AB的斜率1 3257ABk 因此线段AB的垂直平分线 l1 的方程是：1162yx 即：280 xy2225315rOA 所以，圆心为C的圆的

8、标准方程是：222325xy因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率38172BCk 因此线段BC的垂直平分线 l2 的方程是：5.514.5yx 即：10 xy ABC的外接圆的圆心O的坐标是方程组 的解28010 xyxy 解得：23xy 即 O(2,-3)圆O的半径长：圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(

9、2, 2)，且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y +1=0上上，求圆心为，求圆心为C的圆的的圆的标准方程标准方程D 例例3 .已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且，且圆心圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的的圆的标准方程标准方程 解解：因为因为A(1, 1)和和B(2, 2)，所以线段所以线段AB的中点的中点D的坐标的坐标),21,23(直线直线AB的斜率的斜率:31212ABkAyLBOXC因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033yx圆心圆心C的坐标是方程组的坐标是方程组 的解的解01033yxyx所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2, 3(解得解得. 2, 3yx圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5) 21 () 31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2()3(22yxO222)()(rbyax圆心C(a,b),半径r特别的特别的若圆心为若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为则圆的标准方程为：222ryx小结小结：一、二二、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：三三、求圆的标