周道祥弹性力学 第二章(8,9,10)

1、28 28 按位移求解平面问题按位移求解平面问题( (位移法位移法) ) 一、平面应力问题一、平面应力问题： 1. 由物理方程 （2-12）解出2、把几何方程（2-3）代入(2-12a）（aEEExyxyxyyyxx)1(2)(1)(122)162()()1(2)(1)(122byuxvExuyvEyvxuExyyx-以位移分量作为基本未知量以位移分量作为基本未知量把（216a）代入平衡微分方程（22）： 式（217）即为用位移表示的平衡微分方程，为按位移求解平面应力问题的基本微分方程。（表示按位移求解平面应力问题时，解出的应力必须满足平衡微分方程）)172(0)2121(10)2121(12

2、22222222222yxfxvyxuyvEfyuyxvxuE3、 应力边界条件： 把 （216a） 代入应力边界条件 （215）结结论论：按按位位移移求求解解平平面面应应力力问问题题,可可归归纳纳为为根根据据(217) 式式确确定定位位移移分分量量，并并且且要要求求满满足足边边界界条条件件（218）或或 （214） ，再再用用（28）式式求求出出应应变变分分量量，用用（216） 确确定定应应力力分分量量。 4、位移边界条件：仍为（214）式 (218)式即为用位移表示的应力边界条件，为按位移求解平面应力问题时的应力边界条件。)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuy

3、vmEfyuxvmyvxulE二、平面应变问题：对平面应力方程的E、作如下变换后即可得到平面应变问题的相应方程和边界条件：1,112EE1、为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个二阶偏微分方程，因此比较麻烦，但在有限元法中较方便。2、按位移求解，原则上可适用于任何平面问题，无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。三、讨论： 2.9 2.9 按应力求解平面问题相容方程按应力求解平面问题相容方程2 2、变形相容（协调）方程（同一平面内、变形相容（协调）方程（同一平面内 间的关系）间的关系）基本未知量基本未知量yxyxyxxyyx,);,(;,基本方程：用应力分量表示基本方程：用应力分量表示1.

4、1.平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）由几何方程：由几何方程：）（32yuxvyvxuxyyx将将xyvyxuyx对对求两阶导数求两阶导数yxxvyuyxxyxyyx222222yxvxxyuyyx23222322相加相加)192(22222yxxyxyyx注：（注：（2-92-9）用应变表示的相容方程。表示同一平面内）用应变表示的相容方程。表示同一平面内一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是x x，y y的连续函数。的

5、连续函数。开裂嵌入连续用应力分量表示相容方程：用应力分量表示相容方程：由物理方程由物理方程）（12111xyxyxyyyxxGEE代入（代入（2-92-9）式得到）式得到yxxyxyxyyx2222212(2-20)由平衡方程由平衡方程0 xyxxfyx0yyxyfyxxfxyxxxyx222yfyyxyyxy222两式相加两式相加yfyxfxyxyyxxxy222222yxxyxyxyyx2222212代入（2-20）式：化简（2-2）和（2-20）式化简（2-2）和（2-20）式（2-21a2-21a）应力表示的相容方程）应力表示的相容方程结论：结论：整理、化简整理、化简：注：对于平面应变

6、问题用注：对于平面应变问题用1代换yfxfxyyxyx112222（221b）1 1、按应力求解平面应力（应变）问题，可归、按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（结为根据（2-22-2）平平及（及（2-212-21）容容）求出应力分）求出应力分量量 ，并要求在边界上满足应力边界条件，并要求在边界上满足应力边界条件（2-152-15）边边，及位移单值条件，及位移单值条件。yfxfxyyxyx12222(2-21a) 2-10 2-10 应力函数应力函数常体积力常体积力一一. 简化相容方程简化相容方程当体力为常量时，当体力为常量时，f fx x=C,f=C,fy y=C=C（2-212-2

7、1）容容简化为简化为：02222yxxy22222yx若令拉普拉斯算子拉普拉斯算子02yx（222）二二. .应力函数应力函数为非齐次偏微分方程组为非齐次偏微分方程组结论结论 1.1.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容求出求出应力分量应力分量 , ,并要求在边界上满足应力边界条件并要求在边界上满足应力边界条件（2-152-15）边边及位移单值条件。及位移单值条件。研究（研究（2-2）平平及（及（2-22）容容的求解的求解由（由（2 22 2）平平式式0 xy

8、xxfyx0yyxyfyx1.1.对应的齐次偏微分方程的通解对应的齐次偏微分方程的通解所以存在一个具有全微分的函数所以存在一个具有全微分的函数A A（x x，y y）根据微分方程解的理论，根据微分方程解的理论， （2 22 2）平平的解由两部分的解由两部分组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。0yxyxx0yxyxy由第一式有由第一式有xyxyx全微分的充要条件全微分的充要条件QdyPdxdFFxQyP有则存在若,同理：将第二式写为yxyxy根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数B（x，y）xyxAPxy),(1（a）yyxAQx,1（b）y

9、yxBQxy,2(d)xyxBPy,2（c）比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理yyxBxyxA,xBPyAQ齐次偏微分方程的通解yxxyxyyx22222;平面应力函数（Airy应力函数）同理可以找到一个函数 （x，y），有yxxy0;*xyxyyyxxyfxf3.平衡方程的通解yxyfxxfyxyyyxx22222（223）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyxxx*2.2.平衡方程特解平衡方程特解3.3.平衡方程平衡方程的通解的通解0;*xyxyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx22222（2-23）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyx

10、xx*将将（2-23）代入（2-22）容容022222222xyxy02222yxxy（2-22）容容可记为可记为：02204或这里这里（x x，y y）为双调和函数）为双调和函数注：满足注：满足02的的函数称函数称 调和函数调和函数展开后展开后：024422444yyxx（224）结论：结论：1.1.当当应力函数应力函数为满足双调和方程的双调和函数时为满足双调和方程的双调和函数时（2 22323）可以同时满足）可以同时满足（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容，故，故（2 22323）为）为（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容的解。的解。（2 22424）为用应力函

11、数表示的相容方程）为用应力函数表示的相容方程2.2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（问题，可归结为根据（2-242-24）容容求出应力函数求出应力函数 ，然后根据（然后根据（2 22323）求出应力分量）求出应力分量 并要求在边并要求在边界上满足应力边界条件（界上满足应力边界条件（2-152-15）边边，及位移单值条，及位移单值条件（多连体时）。件（多连体时）。 多连体的位移单值条件多连体的位移单值条件 单连体：具有一个连续的边界单连体：具有一个连续的边界。多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。多连体：具有两个以上互不

12、相交的连续的边界。位移单值条件：一点处的位移是单值位移单值条件：一点处的位移是单值的。的。*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能按应力求解时，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量完全确立应力分量 例题例题 习题习题2 23 3（略）（略）解：解：1.1.验证是否满足平衡微分方程验证是否满足平衡微分方程由：0 xyxxfyx0yyxyfyx将x=y=-q,xy=0代入00)0()(yxq00)()0(yqx故满足故满足qxyqO将将 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然满足代入，自然满足三三. .满足边界条件满足边界条件：qqlqmxyxyyxxyyfxfxyy

13、xyx12222由由：由由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,将将 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0，代入代入二二. .满足相容方程满足相容方程三三. .满足边界条件满足边界条件：将将 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然满足代入，自然满足qqlqmxyxyyxxyyfxfxyyxyx12222由：由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,将x=y=-q,xy=0，代入四四. .位移单值条件位移单值条件：2 2）求位移）求位移：qmqmqmqmlqlqlqlmql)()0()0()(满足1 1）求应变：）求应变：01)1()(1)1()(1xyxyxyyyxxGEqEEqE0) 1() 1(yuxvEqyvEqxuxyyx（1）（2）（3）)()1()()1(21xfyEqvyfxEqu代入（代入（3）得）得dxxdfdyydf)()(21于是有于是有 ：,)(1dy