上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷含精品解析

1、20172018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1 .“X<2” 是“ x2V4” 的()A无2游妗要条件C充要条件B必要非充分条件既非 D,充分也非必要条件8.A.aCa, b中较小的数满足:4.若定义在R上的函数X Y I A定正确的是（）A. 4 为奇函数为奇函数对任意， 有x x R (fx x) (fx)12121B. f 为偶函数D.Ox） 1,则下列说法一 2Cf X 1（，f防4,为偶函数1二、填空题（本大题12,题，共54.0分）5.若关于x的不等式x a的解集为0x 1n，则实数a 6.设集合 A x| x 2<

2、1J B x|x>a若A B A，则实数a的取值范围是2 .设函数1、0,则a f a (a b)的值为(f x X o a-b b2B-bD.a, b中较大的数"Y的图象（）2x7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于 弧度.若函数f x bg （x 1）的反函数的图象经过点<4，),则实数a9.X3，则满足（fx） >0的X的取值范围是 X210.已知x物1是（）上的增函数，那么a的取值范围是11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.三、22.23.ax,x定义在R上的偶函数y设(fx) X3 axbx2f(x),当 XQ寸,ex d(f

3、l) 1（X）(fx)4x 2X 1' X已知函数f设a、b R，若函数已知下列四个命题:函数（仅）函数&满足:（fx） u（X2 3x 2）,则f x在R上的零点个数为(12) 2, (B) 3,则工 f4 01(X)的值为o, q附席函衿x则y ）f的最大值为,且 为的最小值，则实数a的取值范围是43a, x对任意x>0X, X2X2 1在区间（1, 2）上有两个不同的零点，则（fl）的取值范围为2均为奇函数；2x 1f（4 x）的两根,f(X)f(2) f(2018)的图象关于点（1, 0）成中心对称图形，且满足设x, x是关于x的方程log x (ka>0,

4、 a 1) 12a其中正确命题的序号是.解答题（本大题共5小题，共76.0分） 解才于R的不等式：(log 人)2log x 1<023x3xA24. （1）求a的值，使得f为奇函数;x25. (2)若a 3对任意的X R成立，求a的取值范围x 3<26.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm）满足关系：k，若不建隔热层，每年能C （x） （0 x 10）3x 5源消耗费用为8万元.设f为隔热层建造费用与2

5、0年的能源消耗费用之和.X27.（I）求k的值及f v的表达式.I A28.（口）隔热层修建多厚时，总费用fl达致最不，并求最小值.29.已知函数（fX）ei|x 2a / f(X)2ex30.(1)求(fx) f (x)1f(X) X22, &上电整小值；）31.(2)32.(3)若| （仅）1。，当4 af (x)2f (x)2f（X）对于任意的实数x R恒成立，求a的取值范围;f(x5满足:33.34.35.36.0,对于定义在在区间的“逼进函数”.(1)(2)37.X42)6时，求函数 f x） g x q2上的函数 ，若函数y(fx)I x(0，p(ax b) x t0.上单

6、调呻减，存在常数p,使其值静为x判断函数©）求证：函数 g2x5是不是函数X不是函数0,若（弟）ax是函数f在x 口上的最小值 是函数(gx) ax b(fx)2x2°x9x211，的“逼进函数”；的“逼进函数”的“逼进函数”，求a的值.答案和解析1 .【答案】b【解析】 解：由X2<42<x '<2故是*2<4的必要不充分条件，故选:B.先求出X2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.2b时，的值为a，中较小的数.故选:C.由函数1/ 0,知当a1,x 0b时，a b b当a b时,a b本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题

7、时要认真审题，注意函数值的合理运用.3.【答案】A解析】解2xyx2x l|n 222X1 xln2 »12x令V >»解得：0XIn2，解得：xIn2故函数在（00,）递增，在（,+00）递;咸,In2In2本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题.2.【答案】C【解析】解:函数九八，a b aba一b-2而x=0时，函数值y=0,xt-co时，y一-oo, xt+co时，yT0,故选:A.求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可.本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题.4 .【橘梨C解:,对任意X, X12(

8、仅11,令X(fx)10,得（仅）00)1,令X1x,X，得(fO)1(fx)(f x), (fx)(fx) 1 (fx)1为奇函数.故选C(k) 12,考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的X, X12(fx x)12（仅）1进行赋值研究即可2本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.5 .【答案】4解析一解：由x ax a ox 1x a x 0的根，1得x a x 0 a 4故-1,4是方程故答案为：4 解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可.本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题.6 .【答案】(-00, 1【解析】解：由b 4<1 得 1&

9、lt;x<3,则 A |x|1<x<3VB (x|x>a，且 AAB=A,AgB,即a 1，先求出不等式lx的解集即集合A,根据ACB=A得到AGB,即可确定出a的范围.本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.7 .【答案】3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的图心角为弧度.§故答案为：.3直接利用弧长公式求出圆心角即可.本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查.8 .【答案】3【解析】解:函数)log (x 1)a2的反函数的图象经过点(4, 1),即函数)log(X 1) 的图象经过点(1,4), a 24 log

10、(1 1)4 1 a， a 3-由题意可得函数) a故答案为:3.log (x 1) 过(1, 4),代入求得a的值.本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题.9 .【答案】（1, +00） 解析】解:若 ，则满足）0,即J 丫 2，I3 XX3 X 22XX -变形可得：7- X 3 I函数V为增函数，且。，g xx X3y1 1解可得：，即X的取值范围为（1, +8）；-故答案为：（1, +00）.根据题意，将（fx）0变形为7 解可得X的取值范围，即可得答案. X 3 I 一,本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式.10 .【答案】7 76【解析

11、】解：根据题意，77X匐1是（9 +6上的增函数，f x/ax,x 1必有7。n，解可得7，7a 0'a 7<6a 1 一，7 a 4a a即a的取值范围为：7 z7 6故答案为：7 6根据题意，由分段函数的单调性分析可得7 。n ，解可得a的取值范围，即可得答案./ a ua 17 4a a本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析.11 .【答案】0【解析】解：当X 时0(fx) g(X2 3x 2)，函数的零点由：3x 2)。，即x2 3x 1 0,解得 3君(舍去)x 2因为函数是定义在R上的偶函数y f(X),所以函数的零点个数为：O个.故答案为:0.利用函数是偶函

12、数求出x 0时，函数的零点个数，即可得到结果.本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力.d，(fl) f (f2) 2' (B) 3，2312.【答案】7【解析】解：(fx) X4 ax3可得：1 16a b8a 4b81bx2exc d2c27 a 9b 3cb 6a 25； c 11a 61； d 6a 36，工（256 4 ：（12821 二（128 2(t)64a 16b 4c 2d)32a 8b 2c d)32a 48a 200 22a 122 6a 36)=7.利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可.本题考查方程的根与函数

13、的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力.13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题.由(fx) 4- X 1在X饺，产为增函数可得其值域，得到y (x)在15上为增函数， 役2由函数的单调性求得y f(x) fKx)的最大值【解答】解：由)4x2 x 1在x 0,2上为增函数，得其值域为15b 役2可得yy因此1(X)w)215f(x) f <x)X)上为增函数,16,215上为增函数,y (fx) f的最大值为(f2) f G2) 2 2 4-故答案为4.【解析】解:卷0为的最小值，为;咸函数,则学0时，函数(仅)(x

14、 a) 2则 ，当xO时，函数4 的取小值4 3ax x 3ax(0)即 4 3a a2>解得：1 a 4,综上所述实数a的取值范围是0, 4, 故答案为:0, 4若f（0）为f（x）的最小值，则当X的，函数（仅）a为减函数，当x>0时，函数24 3a4 的最小值3ax x *（0）f ,进而得到实数a的取值范围.本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.15 .【答案】解析】解:函数a 在区间（1, 2）上有两个不同的零点，f x x b x即方程X2_bx a 0在区间（1, 2）上两个不相等的实根,124 b 2

15、1b2 4ab24a0j.4ln1ab01 ab042ba04 2b a如霭出数对（a, b）所表示的区域，目标函数z （fi） =a b 1z的最小值为z a b过点（1,）时，z的最大值为z a b过点（4,-4）时 121的取值范围为（0, 1）故答案为：（0. 1）函数在区间（1, 2）上有两个不同的零点，即方程X2 bx a o在区间（1,2）上两个不相等的实根，1 b 24 b 21b2 4ab2 4a 0j ,4 L n1 a b 01 a b 04 2b a 04小a0画出数对（a, b）所表示的区域，求出目标函数z （fi）=a b 1的范围即可本题是函数零点的考查，涉及到规

16、划问题的结合，属于难题.16.【答案】【解析】/X X 7解:函数（仅）a满足:对任意x, x2（仅）（仅）如一2 2x, x212Y1 2I ,由R x x 1，12X XX X212 22 f 1222由 x>0, x 0时，x _L_X2成反；由 xvo, X2 1>X2,可得 9| xX2x(k) log(X2 1 X2)0,即有为奇函数；为奇函数.即 X 1 X2又g (甲 x g(X)2222 x 1 2x 12 22212x2x1函数 f(4 X) f(x) f(4 x)fx泡x log21 S k 1f （22 x）均为去函数）故史确;2x 1若函数的图象关于点（1

17、, 0）成中心对称图形，可得（仅）9 x），牛么且满足，则X, X(fx 4) 贝心 (fx)%两根，可得即为最小正周期为4的函数，可得（318） M 504 2）（2）（2）故正确；(2018)log x log xa 1 a 2O'设 是关于X的方程|°g x| (ta>0, a 1)12a即log xx 0 x x 1,故正确, a 1 21 2故答案为:.由指数的运算性质和基本不等式，可判断;运用奇偶性的定义和性质，可判断;由题意可得)SX) 0,结合条件可得f为最小正周期为4的函数，可得结论，可判X断；由对数的运算性质，可判断.本题考查函数的性质和运用，主要是

18、函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题.17.【答案】解：关于x的不等式:1(log x)22即(logi x a)log x21<0即(log x)221(a )alog x1<0(log x ) <0a当a>时，即或Xav。时, aa <log x<a212a<X<2a原不等式的解集为X2a1X 2a时，不等式即(log x1一2a)2 0，显然它无解，即解集为。.当 时,aa即0<aV1或av-1时，a>log x>a22、2原不等式的解集为X2a1X 2a【解log原不等式即(log

19、x a)(dog x ) a，分类讨论a与的大小关系，求得<02的范围，可得x的范围.18“党案】解：(1)根据题意，函数本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题.3x a，其定义域为R, x3x 1若 为奇函数，则3o a0 3o 1，解可得a01根据题意，a 3，即3x a a 3,X 3 3x 13变形可得：a 1 a，即（3a 1） < （田x 1），（）<一3x 1 3分3种情况讨论：当a=0时，（）变形为3V0,恒成立,当a>0时，（）变形为3a 3，-<3x1a若»<3x 1恒成立必有Q aa此时a的取值范围为（

20、0, 3】，2当avo时，（）变形为3a 3 3xa 1不可能恒成立，综合可得：a的取值范围为Qi.9 2【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得o ，解可得a的值，即可得答案;003o 1（2）根据题意,a 3变形可得（3a31） < （到1）,分3种情况讨论，求出a的取值范围,综合可得答案.cmK本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题.得19.【答案】解；'（I ）设儡热层厚度为x ,由题设，每年能源消耗费用为.C x3x 5再由 C(0) 8 k 40因此C40、， 3x 5而建造费用为C (x) 6x，1最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗

21、费用之和为f x 20C x C x 聋-6x 幽-6x 0 x 10 1 3x 5 3x 5(n)2400 ，令 f '(x) 0，即 2400.T 6x g (3x 5)2(3x 5)225解得x 5，(舍去).x3当0VXV5时,V (x) <0,当5VXV10时,V (x) >0,故x=5是f (x)的最小值点,对应的最小值为8006 5 15 570当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.【解析】 由建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:k4节不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.我们可得c (0)，得C0x10

22、 Qy 3x 58Af(x)k=40,进而得到 CKx)3xf(x)建造费用为c(x)156x，则根据隔热层建造费用与20年的能源 f(x)消耗费用之和为力我们不难得到的表达式.(II)由中所求的的表达式，我们利用导数法，求出函数 的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用的最小值.函数的实际应用题，我们要经过析题一建模一解模一还原四个过程，在建模时要注意实际情况 对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一.20.【答案】解：(1)对于a 2,x 2,爷e2 (eo x) (x d) 2ee当且仅当

23、e3 x ex r即x=2时等号成立，.（6分）minI (fx) f (x) I f (x) f (x)对于任意的实数X恒成立' 1 1221即f（x） f （x）对于任意的实数X恒成立，亦即elx 1 ex al对于任意的实数x恒成立, 121|x 2a 1 |x a| 1'即|x 2a | |x a| 1对于任意的实数x恒成立.（9分）对于任意的实数x恒成立，故只需(12 分)(13 分)X f X12X f X2乂 |x 2a |x a| (|x 2a 1) (x 1)l a 1|a 1，解得o a 2, a的取值范围为o3)x x T g,2x fXf(x)与N x)

24、 22- f（x）与f的）健数都同为e,外函数都单调递增I I I 12.比较" 2I的大小关系I只平匕较x 2al与X a 1的大小关系X F (x) x 2a 1 F (x) x aG x h 11 也F x F x时,其中 4 a 6， x 1, 6（14分）卜，得(gx) ei e ； (18 分) min当4 a 6 a 6 2a 2，G (x) F (a) 1min 2【解析】（1）对于a 2, x 2, *去掉绝对值得（fx）px （3分），利用基本不等式积为定值，和 1有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件;|x 2a |x a| 对于任忌(2)根据条件可知f(x) f(X)对于任意的实数x恒成立，转化成 12的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围;f(x)与f(x)的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f(x)与f(x於J大小关系，只须比 1212较|x 2a 1与x W的大小关系，则令F(X)|x 2a F (x) |x a| 1,则其中4 a 6，x 1,甲结合图形可知当4 a 6时O X入 入XR x ,Fi xE xG (x) F (a) 1, (gx) ei e, min 2min本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问 题等有关知识，解决本题的关