专题6.7《实数》全章复习与巩固(知识讲解)-2020-2021学年七年级数学(人教版)

1、专题6. 7实数全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1 .了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2 .了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些 数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3 .了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应：了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范闱.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示± yfa性质一个正数有两个平方根，

2、且互为相反数：零的平方根为零：负数没有平方根：一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零：重要结论(ya)2 = a(a > 0)丁=同=伍之0)1 1 1-4(4<0)函)3 =a= a yj-a = -ya要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1 .实数的分类按定义分：一,有理数：有限小数或无限循环小数实数4无理数：无限不循环小数.按与0的大小关系分：正有理数正数V正无理数实数（0存必负有理数负数<负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

3、（2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如行，蚯等：有特殊意义的数，如下；有特定结构的数,如0.1010010001-<3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形 式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2 .实数与数轴上的点对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应.3 .实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|”|>0：（2）任何一个实数”的平方是非负数，即/20；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即（«

4、;>0）.非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零：（2）有限个非负数之和仍是非负数：（3）几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.4 .实数的运算：数4的相反数是一“；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反 数：。的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5 .实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大

5、于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反 而小：法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题©1、下列各式正确的是（）A. （-7）2 =-7B.加=±3C. ip5=i/5D.后一病=4【答案】D【分析】根据算术平方根的非负性、立方根的定义，逐项分析解题即可.【详解】A.历=7, 故A错误；B. 79=3.故B错误：C.乎3 = -弱，故C错误：D.依一网=8-4 = 4,故D正确，故选：D.【点拨】本题考查算术平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.举一反三：【变式】如果?有算术平方根

6、，那么? 一定是（）A.正数B. 0C.非负数D.非正数【答案】C解：匚负数没有平方根，二如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，故选：C.©>2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1）72 =1414, 00 =14.14, 0000 =141.4.7003 = 0.1732,布= 1.732, 7300 =17.32由此可见，被开方数的小数点每向右移动一位，其算术平方根的小数点向移 动 位：（2）已知乔=2.236, 750=7.071,则疯？ =，7500=:（3）小=1, V1000=10' #1。= 10。小数点变化的规律是：.（4）已知师

7、= 2.154, 100=4 642» 则/。=，-9=.【答案】（D两，右,一：（2） 0.7071, 22.36； （3）被开方数的小数点向右（左）移三位,共立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 21.54, - 0.4642【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可：（2）利用得出的规律计算即可得到结果：（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果.解：（1） 72 =1414, 7200 = 14, 720000=141.4.0,03 =0.1732,有= 1.732, 7300 = 17.32.由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位

8、，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2）已知4= 2.236, 闻= 7.071,则 = 0.7071, 痴 = 22.36,（3）小=1, /1000=10, 1000000 = 100.小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左） 移动一位：（4）二啊= 2.154,茄布= 4.642,二羽丽丽=21 54, -</0J =-0.4642.故答案为：（1）两：一：（2） 0.7071； 2236： （3）被开方数的小数点向右（左）移三位，共立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 21.54： - 0.4642【点拨】此题考查了立方根，以及算术平

9、方根，弄清题中的规律是解本题的关键.类型二、与实数有关的问题d>3、.把下列各数填入相应的集合中：3.14,区，<gT00，0 , 1.212212221. , y/3, 0.151151115无理数集合 有理数集合 非正数集合【分析】根据平方根、立方根的定义、实数的分类解答即可.【详解】由立方根的性质得：100<0，无理数集合-昭，100, 1.212212221.,6，:有理数集合3.14, 0, 0.151151115,非正数集合-g,-后，妙而，0.【点拨】本题考查立方根、实数的分类，理解非正数的含义，熟练掌握无理数和有理数的定 义是解答的关键.举一反三：【变式】在实

10、数0、3爷、如、中，无理数的个数有（）A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】B： 类型三、与实数有关计算04、计算：(1) 4V3+-V3-(2)庖+11_技_7_6技【答案】(D -V3+-V2； (2) 12 5JJ【分析】(1)先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算：(2)直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可: 解：46+士必3乔-= 4>/3 + -V3-35/3 + ->/2 25=*石十二忘： 25(2) TsT+H-l-VM-b=9 +6-1+4-6遂=12-55/3【点拨】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则

11、和运算顺序.举一反三：【变式】计算：Q ( 3 )(1) 1X -弓 +2.(2) /8+ 76 -(- 12)x【答案】<1)y:(2) 4； (3) -11.8 解：-x=+ z76=：7 O + V36=-2+6=4;= (-12)xl-96=29=-11.【点拨】此题考查实数运算，弄清运算顺序和算术平方根及立方根的意义是关键.5、已知:(a+6)b 2 - 2b - 3 =°，贝(12b2 4b _ a 的值为.【答案】12.解：目(a+6) 司卜2 _ 2匕_ 3=>0a+6=O, b2 - 2b - 3=0,解得，a=-6, b2 - 2b=3>可得 2

12、b2 - 4b=6,则 2b?-4b-a=6 - ( -6) =12,故答案为：12.【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次 方、二次根式(算术平方根).当它们相加和为。时，必须满足其中的每一项都等于0.举一反三：【变式1】实数。、在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简后+ I ah | =.【答案】解：Va<0</?,/. a b <0/.几 + I a b = - a (a - b) = b 2a.【变式2实数。在数轴上的位置如图所示，则a,-a,/的大小关系是:a> -1a0【答案】-<a<(r <-a：类型四、实数综合应用©6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿 出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了 1cm,小燕量得小水桶的直径为12cm，于是她 就算出了铅球的半径.你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径.(球的体枳公式 V=-r3,广为球的半径.)3【答案】3cm.【分析】设球的半径为r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体枳，最后 根据球的体积公式列式求解即可.解：设球的半径为r，丁小水桶的直径为12cm ,水面下降了 1cm,，小水桶的半径为6cm,，下降的水的体积是7r