1.2.定积分之几何应用弧长曲率ppt课件

1、202112257.8 定积分之几何应用 弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，一、平面曲线弧长的概念!,是是可可求求长长的的我我们们称称曲曲线线弧弧此此时时AB?可求长的条件可求长的条件?连续够不够连续够不够在曲线光滑的条件下可求长在曲线光滑的条件下可求长 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba

2、上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 取积分变量为取积分变量为x，在，在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnx

3、n 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形例例 3 3 求星形线求星形线323232ayx )0( a的全长的全长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossi

4、n34.6a 例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12曲线弧为曲线弧为)( )( rr sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(

5、22 drrs 四、极坐标情形例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下

6、极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 五、小结曲 率一、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量。曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 ).sKMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，,sMM （. 切线转角为切线转角为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存存在在的的条条件件下下在在ss .dsdK ,上上两

7、两点点为为CMM2.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意: 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds ,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例1 1?2上上哪哪一一点点的的曲曲率率最最大大抛抛物物线线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为为抛抛物物线线的

8、的顶顶点点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率例例2 2.的圆周的曲率的圆周的曲率求半径为求半径为R解：解：设圆周方程为设圆周方程为).20( sincos ttRytRx,cos,sintRxtRx ,sin,costRytRy 代入得代入得.1Rk 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲且半径越小曲率越大率越大.二、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一

9、点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).三、小结基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin