命题的否定中的一个易错点

1、命题的否定中的一个易错点民权高级中学 冯陆军在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点, 同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准, 还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。本文主要对于命题的否 定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题：例：设函数f (x )=:笃-9的定义域为A，若命题p : 3丘A与命题q : 5 A有V 5x a且只有一个为真命题，求实数a的取值范围 对于这道题目，同学给出了两种解法。解法1:由题意可知，p,q两个命题一真一假。(1)若p真q假，则需满

2、足3a _945 a5a -9.125a：03 兰 a < 45 rl 或 a>125=(2)若p假q真，则需满足3a -945-a5a -9J25 a：0-0a : 3或 a 459a : 1255a 5,3 一 45,125解法2:由题意可知，p,q两个命题一真一假命题p等价于"a 3乞a : 45，命题q等价于(1)若p真q假，则需满足3 乞 a : 45a ： 9 或 a 125 =5(2)若p假q真，则需满足a <3或 a45-9 、1汴皿円5阿综上所述,-5”45,125 .乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可 以肯定，至少有一

3、个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细 观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变 命题中的不等式的符号方向得到的， 而解法2中，对命题的否定是先求出原命题 所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。 也就是 说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时米取了不同的方式：一种是先写写出否定形式，再求范围，另一种是先求范围，再对范围进行否定，从理论上 讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢？经过进一步的对比研究发现，其实解法1中对含不等式命题的

4、否定不全面， 从而导致了最终结果相差一个数字“ 45”解法1中，命题p等价于>0，45 a3a 9而它的否定形式被写成 旦芒：0。这个写法是有问题的，我们不妨从两个不等45 a式所表示的范围来分析一下，3a - 9.3a - 90 ：= 3 乞 a ： ： 45,0 ：= a ： 3或 a 45，45a45a而我们知道，原命题与它的否定形式是对立的，也就是说，它们所表示的 范围的并集应该是全集，而上述两种范围的并集并非全集，正好缺一个数字“45” 看来我们已经找到了错误的根源。现在我们需要解决的问题应该就是， 如何正确的对命题p:_0进行45-a3a 93a 9否定？其实，命题p包含了两

5、层含义：一是分式 竺竺有意义，二是旦仝_0成45 a45 a立。因此，对于这个命题的否定应该是基空:0或者分式.汪9无意义，即45 a45 a畧9 0或a = 9，那么现在我们重新用解法1的思路进行求解。45a解法3:由题意可知，p,q两个命题一真一假。(1)若p真q假，则需满足3 乞 a ： 45;9一a 或 a _ 12553辿45 - a一5a9 亠 <0或 a =125 、125a(2)若p假q真，则需满足39 : 0或 a45 - a455a - 9125-a0a : 3或 a _459a : 1255a 9,3丄 45,1255综上所述，a45,125.事实上，这个问题可以归结为含分式不等式的命题的否定， 其实这个命题 的否定中的一个误区，对于这类问题的否定，一定要注意，除了改变不等式的 符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误， 我 们可以采取