球的体积及表面积公式（课堂PPT）

1、12,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积？表示球的体积？,)2(223nRRr AOB2C2AO极限的思想极限的思想分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和3OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第in n. ., ,1 1, ,2 2i i , ,1 1) ) ( (i in nR R R Rr r2 22 2i iirOA4nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(1

2、23 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 56)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是6例例1 1：一种空心钢球的质量是：一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它的内径的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解: :设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答: :空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.4.5cm.14234)25(3

3、49.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得: :24. 2 x5 . 42 x7oi iS So8第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设设“小小锥锥体体”的的体体积积为为iVnVVVVV 321iSO OO O9第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O10第第

4、三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱就越接近小棱锥锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 11OABCO 例例1 1: :已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的体

5、积，求球的体积，表面积表面积解：如图，设球解：如图，设球O O半径为半径为R R，截面截面OO的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 12. .3 34 4R R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ; ;8 81 12 25 56 6) )3 34 4( (3 34 4R R3 34 4V V3 33 3例例2.2.已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离等的距离等于球半径的一半，且于球半径的一半，且AB=BC=C

6、A=AB=BC=CA=cmcm，求球的体积，表面，求球的体积，表面积积例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。球的直径相等。22222113423,)

7、2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于一球切于正方体的各侧棱正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一33:22:17.7.将半径为将半径

8、为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,36.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. .练习二练习二 94 3312l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：23434RSRV 17l了解了解球的体积、表面积推导的基本思路：球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为