第一章直角三角形的边角关系全章学案-

1、第一章直角三角形的边角关系§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）学习目标：1 .经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2 .能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够 用正切进行简单的计算.学习重点：3 .从现实情境中探索直角三角形的边角关系.4 .理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法：引导一探索法.学习过程：一、生活中的数学问题：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎

2、样判断的?以下三组中，梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的?31二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）RtAB1cl和RtAAB2C2有什么关系？B1cl和B& 有什么关系？AC1AC2如果改变B2在梯子上的位置（如B3c3）呢？由此你得出什么结论 ？三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡例 2、在 ABC中，/ C=90° , BC=12cm AB=20cm 求 tanA 和 tanB 的值.四、随堂练习：tanC 吗？1、如图， ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出2、如图，某人从山脚下的点 A走了 200m后到达山顶的

3、点 B,已知点B到山脚的垂直距离为 55m, 求山的坡度.（结果精确到0.001）3、若某人沿坡度i=3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为则 tan 0 =5、如图，RtABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45° ,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为号）1: 1.5的斜坡A口求DB的长.（结果保留根五、课后练习：1、在 RtABC中，/C=90 ,AB=3,BC=1,贝U tanA=.2、在 ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则 ta

4、nA=.3、在 ABC中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC=.4、在RtABC中，/C是直角，/A、/B、ZC 的对边分别是 a、b、c,且a=24,c= 25 。求 tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值6、如图，在菱形 ABCM,AE，BC于E,EC=1,tanB=幺，求菱形12的边长和四边形 AECM周长.7、已知：如图，斜坡AB的倾斜角a,且tan ”=3,现有一小球从坡底 A处以20cm/s的速度向坡顶4B处移动，则小球以多大的速度向上升高8、探究：a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为 ;若再添加c克

5、糖(c>0), 则糖的质量与糖水的质量的比为 .生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更 甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式：.我们知道山坡的坡角越大，则坡越陡，联想到课本中的结论：tanA的值越大，则坡越陡，我们会得到一个锐角逐渐变大时，它的正切值随着这个角的变化而变化的规律，请你写出这个规律:.如图,在 RtABC中，/ B=90° ,AB=a,BC=b(a>b),延长 点F,请运用(2)中得到的规律并根据以上提供的几何模型证 明你提炼出的不等式.BA BC,使 AE=CD=c,直线 CA DExTD e/3cFhl .A it§ 1.1

6、 梯子的倾斜程度谈起(第二课时)学习目标：1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2. 能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3. 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4. 理解锐角三角函数的意义.学习重点：1 .理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2 . 能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3 .能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算 学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习方法：探索一一交流法.学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图(1)直角三角形ABG和直角三角形ARC2有什么关系？AC A2c2

7、A八,BC 十 BC2 口(2) ，和有什么关系？ 一1和呢？BABA2BABA2(3)如果改变A在梯子A1B上的位置呢？你由此可得出什么结论 ？(4)如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢？你由此又可得出什么结论 请讨论后回答.、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系:三、例题:例 1、如图，在 RtABC中，/ B=90° , AC= 200.sinA =0.6,求 BC的长.例2、做一做:如图,在 RtABC中，/ C=90° , cosA = 12, AC= 10, AB等于多少？sinB 呢？cosB、sinA 呢？你13还能得出类似例1的结论吗？请用一般

8、式表达四、随堂练习：1、在等腰三角形 ABC中,AB=AC= 5, BC=6, 求 sinB , cosB, tanB.2、在 ABC中，Z C= 90,sinA = 4 , BC=2Q求 ABC的周长和面积53、在 ABC中./C=90° ,若 tanA=工，贝U sinA= 24、已知：如图，CD是RtABC的斜边AB上的高，求证：BC2=AB- BD.（用正弦、余弦函数的定 义证明）五、课后练习:1、2、在 RtABC中，/ C=90 ,tanA= 3 ,则 sinB=4在 RtABC中，/C=90 ,AB=41,sinA = 2 ,贝U AC二41,tanB=,BC=3、4、

9、在 ABC 中,AB=AC=10,sinC=-,贝U BC= .5在 ABC中，已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是A.sinA= 3B.cosA= 3C.tanA=455、如图，在4ABC中，/C=90,sinA=3,则53一 D.cosB=4BC等于() ACA. 3 B. 4C.D.6、RtMBC中，/C=90，已知5cosA= 3 ,那么 tanAA. 4 B.37、在 ABC中，/A. §1334C=90°C.D.,BC=5,AB=13，贝 U12sinA等于（）54的值是5138、已知甲、乙两坡的坡角分别为a、3,A.tan a <tan

10、 3 B.sin a <sin 3 ;12若甲坡比乙坡更徒些C.COS a <COS 39、如图，在sinA的是（A. CD125则下列结论正确的是D.cos a >cos 3RtAABC中,CD是斜边 AB上的高，则下列线段的比中不等于 ）B. DB C. CB D. CDCB10、某人沿倾斜角为3的斜坡前进ABCB100m,则他上升的最大高度是（）mA.-00-B.100sin 3 C.-00- D. 100cos 3sincos11、如图，分别求/a ,/ 3的正弦，余弦，和正切.12、在 ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是 BC 边上的高，AD=4.求:CD,

11、sinC.13、在 RtMBC中,/BCA=90 ,CD 是中线，BC=8,CD=5.求 sin /ACD,cos/ ACD 和 tan ZACD.14、在 RtABC中，/C=90 ,sinA 和cosB有什么关系15、如图，已知四边形 ABCM,BC=CD=DB/ADB=90 ,cos /求：SzABDi Sa BCD§ 1.2 30 °、45°、60 角的三角函数值学习目标：1. 经历探索30。、45。、60。角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2. 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的

12、计算.3. 能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小学习重点：1. 探索30°、45°、60°角的三角函数值.2. 能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3. 比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习方法：自主探索法学习过程： 一、问题引入问题为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含30。和60。两个锐角的三角尺；皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度二、新课问题1、观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？问题2、

13、sin30 0等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流.问题3、cos30 °等于多少？tan30 °呢？问题4、我们求出了 30，角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一45°、60° ,它们的三角函数值分别是多少 ？你是如何得到的？结论:角函数 角度sin aCO atan a30045°60°例1计算:(1)sin30 ° +cos45° ;(2)sin260° +cos260° -tan45摆角恰好为60。， .(结果精确到三、随堂练习1.计算：(1)sin60-tan45(2)cos60+

14、tan60 ° ;+sin60 ° -2cos45(4)sin30(J2 +1)-1+2sin30 ° - <8 ;(1+ .2 )0-I 1-sin30 sin60 ° +1 tan 602-3-( /003+兀)0-cos60 °2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30° .高为7 m,扶梯的长度是多少？例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时, 且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 0.01 m)3.如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB= CD=30mi两楼问的距离

15、AC=24m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30。时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？(精确到 0.1 m , j2 = 1.41, 33 1.73) Fl J 口pb口口4甲四、课后练习：1、RtABC 中， A 60 ,c 8,则 a , b ；2、在 ABC 中，若 c 2j3,b 2,则 tan B ，面积 s=；3、在 ABC中，AC: BC= 1 : <3, AB= 6, / B=, AC=BC=4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2:J3,则顶角为()(A) 600(B) 900(C) 1200(D) 15005、有一个角是30的直角三角形，斜边为1

16、cm,则斜边上的高为()1133(A) 1cm(B) 1cm(C) cm(D) cm42426、在 ABC中， C 90 ,若 B 2人，则12必等于( ).(A) 33(B)近(C) (D) 13227、如果/ a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于().(A) 1(B)匹 (。立(D) 12228、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空20CT''<«2一150地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要().(A) 450a 元(B) 225a 元(C) 150a 元(D) 300a 元9、计算： sin 2

17、 60cos2 60 sin60 2sin30 cos30 sin 30cos2 45 2cos45 v2 33-2sin60°、3cos4503cos6005sin 300 12、2sin 30 tan30 cos60 tan60、sin2 45tan2 3010、请设计一种方案计算tan15。的值。§ 1.4船有触礁的危险吗学习目标：1 .经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2 .能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.学习重点：1 .经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会

18、三角函数在解决问题过程中的作用.2 .发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图学习方法：探索一一发现法学习过程：一、问题引入：海中有一个小岛 A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A岛南偏西 55。的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西 25。的C处，之后，货轮继续往东航行， 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.二、解决问题：1、如图，小明想测量塔 CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往塔的方向前进 50m至B处.测得仰角为60。.那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计

19、，结果精确到1 m）if C2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40。减至35。，已知原楼梯长为 4 m,调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?（结果精确到0.0l m）三、随堂练习1.如图，一灯柱 AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB= 5 m,现再在C点上 方2m处加固另一条钢缆 ED,那么钢缆ED的长度为多少？2.如图，水库大坝的截面是梯形 ABCD坝顶AD= 6m,坡长求/ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料CD= 8m.坡底 BC= 30m, / ADC=135 .?(结果精确到0.01 m 3)3.如图，

20、某货船以 20海里/时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的 B处，经16小时 的航行到达，到达后必须立即卸货 .此时.接到气象部门通知，一台风中心正以 40海里/时的速 度由A向北偏西60。方向移动，距台风中心 200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1) 问：B处是否会受到台风的影响 ？请说明理由.(2) 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？(供选用数据：V2 -1.4 ,& =1.7)四、课后练习：1 .有一拦水坝是等腰楼形，它的上底是6米，下底是10米，高为2褥米，求此拦水坝斜坡的坡度 和坡角.2 .如图，太阳光线与地面成60。角，一棵大树倾斜后与地面成

21、36°角,这时测得大树在地面上的影长约为10米，求大树的长（精确到0.1米）.3 .如图，公路MNffi公路PQ在点P处交汇，且/QPN=3 0,点A处有一所学校，AP=160米，假设拖拉 机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路 MN±?&PN的方向行驶时，学校 是否会受到噪声影响？请说明理由.4 .如图，某地为响应市政府“形象重于生命”的号召，在甲建筑物上从点 A到点E挂一长为30米的宣传条幅，在乙建筑物的顶部 D点测得条幅顶端 A点的仰角为40。，测得条幅底端 E的俯角为 26° ,求甲、乙两建筑物的水平距离 BC的长（精确到0.

22、1米）.5 .如图，小山上有一座铁塔 AB,在D处测得点A的仰角为/ ADC=60，点B的仰角为/ BDC=45 ； 在E处测得A的仰角为/ E=30°，并测得 DE=90米，求小山高BC和铁塔高AB（精确到0.1米）.6.某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子，如图所示，一潜水员在 A处以每小时8海里的速度向正东方向划行在A处测得黑匣子B在北偏东60。的方向，划行半小时后到达 C处，测得黑匣子B在北偏东30。的方向，在潜水员继续向东 划行多少小时，距离黑匣子B最近，并求最近距离.7 .以申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓

23、宽工程中，要伐掉一棵树 AB,在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点 A的仰角为60° ,树的底部B点的俯角为30° ,如图所示，问 距离B点8米远的保护物是否在危险区内？8 .如图,某学校为了改变办学条件，计划在甲教学111的正北方21米处的一块空地上（BD=21米），再建一幢与甲教学等高的乙教学 楼（甲教学楼的高 AB=20米），设计要求冬至正午时,太阳光线必 须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处，已知该地区冬至正午时太阳偏南，太阳光线与水平线夹角为 30。，试判断：计 划所建的乙教学楼是否符合设计要求？

24、并说明理由.A甲教学楼乙教学楼C 一 一309 .如图，两条带子，带子”的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们 相交成a角，如果重叠部分的面积为4cR,求a的度数.1.5测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容课题在两岸近似平行的河段上测量河宽测量目 标图示(CEdab测得数据/CAD=60 ,AB=30m,/ CBD=45 , / BDC=90请你根据以上的条件，计算出河宽CD（结果保留根号）.2.下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分课题测量旗杆高测量示意图AEX,CBD测得数据测量项目A次第二次平均值BD的长24.19m23.97m测倾器

25、的高CD=1.23mCD=1.19m倾斜角a=31° 15'a=30° 45'a=31°计算旗杆高AB（精确到0.1m）3 .学习完本节内容后，某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题 下表是小明同学填写的活动报告，请你根据有关测量数据，求旗杆高AB（计算过程填在下表计 算栏内，用计算器计算）.活动报告课题利用测倾器测量学校旗杆的高测量示意图AEB卜C3D测量数据BD的长BD=20.00m测倾器的高CD=1.21m:倾斜角a =28°计算旗杆高AB的计算过程（精确到0.1m）4 .某市为促进本地经济发展,计划修建跨河

26、大桥,需要测出河的宽度AB,在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为a =30° , 3=60° ,求河的宽度（精确到0.1米）5 .为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据自然科学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处，然后沿着直线 BE后退到点D,这时恰好在镜子 里看到树梢顶点 A,再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算机人8的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长

27、为 2. 5米的标杆 一根；高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： (1) 在你设计白方案中，选用的测量工具是 .(2) 在图(2)中画出你的测量方案zN息图；(3) 你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a,b,c, a，3等表示测得的数据.(4) 写出求树高的算式：AB=.(1)(2)6.在1:50000的地图上，查得A点在300m的等高线上，B点在400m的等高线上，在地图上量得 AB 的长为2.5cm,若要在A B之间建一条索道，那么缆索至少要多长？它的倾斜角是多少？(说明：地图上量得的AB的长，就是A,B两点间的水平距离 AB',由B向过A且平行于

28、地面的 平面作垂线，垂足为B',连接AB',则/A即是缆A7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数 学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据自然科学中的反射定律，利用 一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树(AB 8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这是恰好在镜子里看到树梢顶点 A, 再用皮尺量得 DE=2.7米，观察者目高 CD=1.6米，请 你计算树(AB的高度.(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：皮尺一根；教学用三角板一副；长为 2.5米的标杆一根；高度为1.5米的测角仪(能测量仰角、俯角A的仪器)一架。请根据你所设计的

29、测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是(用工具的序号填写)睇(2)在右图中画出你的测量方案示意图；，(3)你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、，/备 b、c、a等表示测得的数据：B(4)写出求树高的算式：AB=第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为 6cm,底边长为6j3cm,则其底角为（）A 300 B 600 C900D12002、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i 1: J3 ,坝外斜坡的坡度i 1:1,则两个坡角的和为 （）A900B600C75°D105°3、如图，在矩形ABCD43, D吐AC于E,设/ ADE=,且c

30、osAB = 4,则AD的长为（）.(A) 3(B)胃 (C)(D)1654、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为2450 cm ,则对角线所用的竹条至少需（）.（A） 30 72cm（B） 30cm（C） 60cm（D） 60”cm5、如果 是锐角，且sin2cos2 351,那么 o.6、如图，在坡度为1 ： 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间 的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米.7、如图，P是/ 的边OA上一点，且P点坐标为（3,4）,则 sin = , cos =.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的有为 米（用含的三角比表示）.9、在Rt ABC中/Av/B, CM斜边AB上的中线，将 ACM 沿直线C晰叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那 么/A等于 度.10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为55 ,路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光