专题计数原理与概率统计

1、【考情报告】年份题型考点2011 年第4题:排列、组合与概率的综合第8题:二项展开式的常数项2012 年2013 年小题第2题:排列与组合第15题:正态分布、相互独立事件的概率第3题:抽样方法第9题:二项式系数大题第19题:与函数的综合，随机事件的频率与概率、随机变量 的分布列、期望第18题:与函数的综合,随机变量的分布列、期望及方差第19题:相互独立事件的概率、随机变量分布列与期望值【考向预测】计数原理与概率统计是高中数学的一个重要学习内容，也是高考考查的必考重点内容之一.本部分考查的内容主要有 ：抽样方法，统计图表（样本频率分布表与直方图、茎叶图）,统计数据的数字特征（平均数、方差、中位数

2、、众数 ）,变量间的关系、回归分析与独立性检验；两个计数原理、排列组合的应用；二项展开式通项及二项式系数的性质与计算；随机事件的概率、古典概型、几何概型；离散型随机变量的分布列、二项分布、正态分布，离散型随机变量的数学期望与方差.由于新课标的要求及计数原理与概率统计自身的特征，计数原理与概率统计试题的背景与日常生活最贴近，联系也最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，考查学生处理数据的能力 ，考查学生对概率事件的识别及概率计算，以及分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用，考查学生的阅读与理解能力以及分析问题和解决问题的能力从近三年新课标高考来看，该部分在高考

3、试卷中一般是两个小题和一个解答题，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.预测2014年高考计数原理与概率统计部分题型仍然保持平稳，以低中档题目出现，难度不大.在高考小题考查中，抽样方法、几何概型、二项式、排列组合仍将出现，可能会有频率分布直方图、正态分布、回归分析或独立性检验的小题；在高考解答题的考查中，主要以基本事件（等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验）的概率为基础进行考查，离散型随机变量的分布列与数学期望，可能会出现与分层抽样、样本频率分布表与直方图、回归分析、独立性检验等知识综合在一起的试题，或与函数、不等式、线性规划等知识交汇的试题【问题引领】1. （

4、2013新课标全国I卷）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）.A简单随机抽样B.按性别分层抽样C按学段分层抽样D.系统抽样2. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为 超速”并将受到处罚.右图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,从图中可以看岀被处罚的汽车大约有（）.A.20 辆B.40 辆C60 辆D.80 辆3. （2013新课标全国I卷）设m为正整数,（x+

5、y）2m展开式的二项式系数的最大值为a,（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=（）.A.5B.6C.7D.84. 若将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 .?取4件作检验，若都为优质品验.假设这批产品的优质品率为（1）求这批产品通过检验的概率（2）已知每件产品的检验费用为6. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况100元，且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 ，随机抽取了X（单位:元）,求X的分布列及数学期望.100名观众进行调查.下

6、面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为 体育迷（1）根据已知条件完成下面的2左列联表，并据此资料你是否认为体育迷”与性别有关非体育迷体育迷合计女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中若每次抽取的结果是相互独立的附:2=?（?1?勿-?？2?勿）1 2 附:X=?+?+ ?，1 ?鼻2'1055（注:此公式也可写成 K2=，采用随机抽样方法每次抽取,求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.?(?)（?+?）（?+?）（?+?）（?+?）0.05P（Xk）k【知识整合】3.841

7、0.016.6351名观众,抽取3次，记被抽取的3名观众中的 体育迷”人数为X.5. （2013新课标全国I卷）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检50%,即取岀的每件产品是优质品的概率都为1且各件产品是否为优质品相互独立2.排列与组合定义排列数公式从n个不同元素中取出m（m希）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列?m =或写成？m =?定

8、义组合数公式组合数性质从n个不同元素中取出m（m希）个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合? =或写成？于=?？帮=:?+i =?n+?3.二项式定理定理（a+b）n=（r=0,1,2,-； n）?通项Tr+i=,r=0,1,2，;n,其中叫作二项式系数?二对称性与首末两端 等距离"两项的二项式系数相等，即?=,?=，,？=，？项最大值 当n为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值;当n为奇数时，中间的两项的二项式系数式相等，且同时取得最大值?系 数 的 性各二项 式系数 的和？+?+?!+?+? ;?？?+?+.+?+.=?十？?*"?1 +，?4

9、.概率模型概型特点概率求法古典概型”、A包含事件的个数 RA）=基本事件总数几何概型”、A的区域长度（面积或体积）HA）（面积或体积）互斥事件有一 个发生 的概率事件互斥P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B 互斥)对立事 件的概 率P(AU B)=_P(A)=?若事件A 与事件B 互为对立 事件,则 为必然事 件？相互独 立事件 同时发 生独立重 复试验P(AB)=（A、B相互独立）?条件概率一次试验重复 次在事件A 发生的条 件下B发生记作P(X=k)=P(B|A)=抽样方法（p为每次试验中，事件发生的概率）?B|A5.统计1201500用样本频率分布 估计总体分布用样本的数字特 征估计

10、总体的数 字特征平均数方差-x 1 +x 2 +'' '+x n X =s2=-(xi-x)2 +(X2-X )2+-+(Xn-X )2n 频率分布表和频率分布直方图 总体密度曲线 茎叶图 众数、中位数标准差s=n (X 1 -X)2 + (X2-X) 2 + + (Xn-X)26.离散型随机变量概率分布的两个性质数学期望（均值）方差P i 50,P 1+P2+pn=1E(X)=X1p 1+X2p2+- +Xnp nD(X)=(X1-E(X)2 pi+(X2-E(X)2 p2+-+(Xn-E(X)2 Pn超几何分布? ?n-k一般地，在含有M件次品的N件产品中任意取n

11、件,其中恰有X件次品,则P（X二k） ,k=0,1,2,m,其中m二minm,n?N常见分布二项分布P（X=k）=?pkqn-k（其中 k=0,1,2,n,q=1-p）,两点分布是一种特殊的二项分布正态分布(X-21f（x）=l?,x R,其中何用样本的均值去估计"可用样本的标准差去估计7. 回归分析和独立性检验AA AA（1）回归直线方程：y=bx+a（也可写成y=a+bx或y = bx+a） 定过（2）独立性检验：假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为xi,x2和yi,y2,其样本频数列联表（称为2X2列联表）为xiX2总计yia+cy2bdb+d总计a+bc+da+b+c+

12、d我们利用随机变量K2=（?+?）（；+；薦爲+来确定在多大程度上可以认为两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量的【考点聚焦】热点一:对抽样方法的理解与应用高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题，考查对分层抽样和系统抽样的理解与计算，考查样本的抽取，多以选择题、填空题的形式出现，有时也会在解答题中岀现，但难度不大某市有A、B、C三所学校共有高三理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高三理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三理科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取人.？【分析】分别用字母设岀A、B、C三所学校的高三

13、理科学生人数,根据这三所学校的总人数以及等差数列的定义（或性质）,列岀方程求岀 B学校的高三理科学生人数，然后由分层抽样按比例抽取，可得应从B校学生中抽取的人数.【解析】设A、B、C三所学校的高三理科学生人数分别为a、b、c,因为A、B、C三所学校的高三理科学生人数成等差数列，所以a+c=2b,又因为A、B、C三所学校共有高三理科学生1500人,所以a+b+c=1500,得3b=1500，则b=500.故根据分层抽样，应从B校学生中抽取>500=40 （人）.【答案】40?【归纳拓展】1.分层抽样是等比例抽样，在分层抽样中，如果各层的容量分别是ai,a2,;an,抽取的样本容量为b,则第

14、i层抽取的样本数目是一xa分层抽?+?2+ +?样中常涉及的问题有：求ai、求b、求总体数N、求各层中抽取的个体数等.? ?2在系统抽样中，若总体数为N,样本容量为n,且?为整数（若?不为整数，则需先剔除）,则将总体分为n组撚后按照一定的规律在每组中取一个，相邻两个个体的编?号相隔刃变式训练1某公司研发了一款新游戏，为了测试该游戏的受欢迎程度，该公司对某高校大学一年级840名学生，采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2;840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为（）.A. 11B.12C.13D.14热点二:数字特征与统计图表统计是研究如何合理收集

15、、整理、分析数据的学科，它可以帮我们从数据中提取有用信息，并为制定决策提供依据.所以，这就决定了数字特征与统计图表在统计高考题中的地位，即数字特征与统计图表就是高考试题中的热点之一毗某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班同学的平均分是85分,乙班同学成绩的中位数是83,则x+y的值为.?【分析】利用平均数求岀x的值，利用中位数求岀y的值.【解析】由茎叶图可知甲班同学的总分为70 X+80X3+90X2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x,又甲班同学的平均分是85,则85 X=590+x，所以x=5.乙班同学成绩的中位数是80+

16、y=83,得y=3.故 x+y=8.【答案】 8【归纳拓展】 1.众数、中位数、平均数都是描述数据的“集中趋势 ”的特征数 ,而标准差与方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小 .方差、标准差越大 ,数据波动越大 ;方差、标准差越小 ,数据波动越小 .2用茎叶图表示数据有两个优点：统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录和表示 .变式训练2为备战2013年南京亚青会，对甲、乙两名运动员的成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙,则下列结论正确的是( ).AX甲X乙，甲比

17、乙成绩稳定B. X甲X乙，乙比甲成绩稳定C. X甲X乙，甲比乙成绩稳定D. X甲X乙，乙比甲成绩稳定热点三 ：独立性检验与回归分析在高考中多以选择题、填空题的形式出现 ,有时也以解答题的形式出现.鉴于统计案例在实际生活中的应用,预测 2014 年统计案例是高考命题的一个方向某高校统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表.为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到50 X (13 X 2010 X 7)2代=23： 27X 20X 30期.84,因为K2>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断岀错的可能性最高为专业性别男女P(K2s

18、k)k非统计专业1370.0500.0253.8415.024统计专业10200.0106.6350.00110.828【分析】根据独立性检验的方法，将计算的结果与有关临界值表相比较0.050.【解析】因为K2«4.84>3.841,所以从临界值表中可以看岀判断岀错的可能性最高为【答案】5%(或0.05)【归纳拓展】独立性检验仅限于2 >2的列联表，收集数据是解题的关键.在利用统计变量 K2进行独立性检验时，应该注意数值的准确代入和正确计算，最后把计算的结果与有关临界值相比较.注意认定可能性的百分率是1 -P(K2>k)的大小变式训练3某高中地处县城，学校规定家到学

19、校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生会先后 5次对走读生的午休情况进行了统计，得到如下资料，得到了如图所示的频率分若把家到学校的距离分为五个区间：0,2),2,4),4,6),6,8),8,10,则调查数据表明午休的走读生分布在各个区间内的频率相对稳定布直方图走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系.下表是根据5次调查数据得到的下午开始上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表下午开始上课时间1:301:401:502:002:10平均每天午休人数250350500650750(1)若随机地调查一位午休的走读生，其家到学校的路程(单位:里)在2,

20、6)的概率是多少？(2)如果把下午开始上课时间1:30作为横坐标0,然后上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1,并以平均每天午休人数作为纵坐标y,试根据表中的5列数据求平均每天午休人数 y与上课时间x之间的线性回归方程 y=bx+a;预测下午上课时间推迟到2:20时,家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休.热点四:两个计数原理与排列组合高考中对于计数问题试题的考查形式不一，可以单独考查，也可以与排列、组合问题综合考查，还可以与概率问题综合考查，求解此类试题的关键是理顺计数应用问题的思路：排组分清，加乘明确；有序组合；分类相加，分步相乘.主要题型有选数字、选样品、选代表、人或物的排列

21、或组合问题、几何计数问题等俐心(2013山东卷)用0,1，,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为().A243B.252C.261D.279【分析】由于三位数的首位不能为零，因此可以运用分步计数原理，先排首位，然后再排十位与个位.但是这里要求的三位数是有重复数字”可以重复两位数字，也可以重复三位数字，故可间接考虑，先求岀所有的三位数的个数,减去没有重复数字的三位数字的个数即可【解析】由0,1,卩这十个数字共能组成9X10X10=900个不同的三位数，其中无重复数字的三位数有a3°-a9=648个,故由这十个数字能组成的有重复数字的三位数的个数为 900 -648 =252.

22、【答案】B【归纳拓展】1.求解计数问题要从分析”分辨”分类”分步”的角度入手.分析”就是找岀题目中的条件、结论，哪些是 元素”哪些是 位置”分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.2求计数问题，还要注意以下途径：(1) 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2) 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3) 先不考虑附加条件，计算岀所有的个数，再减去不符合要求的个数.变式训练4设a1,

23、a2,an”是1,2,n的一个排列，把排在ai(i=1,2，,n)的左边且比ai小的数的个数称为a的 顺序数".如在排列“6,5,3,2,1”中,5的顺序数为1,3的顺序数为0,则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列种数为 .?热点五：二项式定理及应用高考对二项式的考查重点是二项式定理的展开式及通项公式、二项式系数及特定项的系数、二项式性质、二项式定理的应用，题型多为选择题、填空题 ，难度为中低档.例5若二项式（x3+?）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）.A3B.5 C.7 D.10【分析】展开式中含有

24、常数项即x的次数为零这一项，先由通项公式Tr+i列岀等式，找到n与r的关系式，再利用r为自然数且r<n,确定n的最小值.【解析】展开式的通项公式是Tr+i=C；?<3n-3rx-2r=C?3n-5r，若二项式（x3+n的展开式中含有非零常数项，则3n-5r=0,即n =5?K=0,1,2,-,n）,故当r=3时,n取最小值，最小值为5.【答案】B【归纳拓展】1.在应用二项式（a+b）n的展开式的通项公式Tr+i=C?an-rbr（r=0,1,2,n）时，要注意以下几点：（1）它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定了，该项就随之确定；Tr+i是展开中的第r+1项，而不是第r项；公式

25、中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置；（4）要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；（5）对二项式展开式（a-b）n的通项公式还要注意符号.2.在二项式定理的应用中，赋值法”是一种重要的思想方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法变式训练5已知（x+j?n的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（）.A128B.64 C.32 D.16热点六:几何概型几何概型是一个新增的考点，它与古典概型一样，也是高考考查的重点内容之一.从近几年高考试题来看，主要以选择题或填空题的形式呈现，多为单独考查，有时会与线性规划、定积分等知识综合考查，难度较低.利用几何概型求概率时

26、，关键是对试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.无其他信号来源n n（2013陕西卷）如图，在矩形区域 ABCD的A、C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBR该矩形区域内,基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）.n n山-严尹“三丐【分析】由于是在所给矩形区域内随机地选一地点，所以它符合几何概型的两个基本特征.解答时，可先计算岀矩形区域 ABCD的面积，然后再计算岀无信号地点的面积.从所给的几何图形中，可知直接计算岀无信号地点的面积较为困难，因此可以求岀有信号地

27、点(扇形区域ADE和扇形区域 CBF)的面积撚后再解之.2上【解析】矩形 ABCD的面积为1左=2,两个扇形都是半径为1的四分之一个圆，两个扇形面积的和为 2x4=2,则该地点无信号的概率为 -=1-4,故选A.【答案】A【归纳拓展】长度、面积和体积是几何概型中的三种基本度量，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理转化，要注意古典概型与几何概型的区别(基本事件的有限性与无限性)，并正确选用几何概型解题 .变式训练6 设矩形区域 Q由直线x= ±和y=±1所围成的平面图形，区域D是由余弦函数y=cosx、x=苇及y=-1所围成的平面图形.在区域Q内随机地抛掷一粒豆子,则该豆

28、子落在区域 D中的概率是 .?热点七：条件概率条件概率虽然在高考中考查得比较少，但从近几年开始有增多的趋势，复习中注意抓住对实际问题的分析，关键在于识别概率类型.从1,2, 3,4,5中任取两个不同的数,事件A=取到的两个数之和为偶数 ”事件B=取到的两个数均为偶数”则P(B|A)=().1 1A-8 B.4【分析】根据条件概率公式，先求岀事件A2 2 2【解析】/ P(A)=C3Cp=2,P(AB)=C|嗚，的概率，然后求岀事件AB的概率，代入公式即可【答案】B【归纳拓展】条件概率公式揭示了条件概率二只盼)=爲=4.P(A|B)与事件概率P(B)、P(AB)之间的关系.下列两种情况可利用条件

29、概率公式：一种情况是已知P(B)和P(AB)时要求岀P(A|B);另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时要求岀P(AB).对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P(A)>0,有P(AB)=P(A)P(B|A ).变式训练7 如图，EFGH是以0为圆心,1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件 豆子落在正方形 EFGH内”,B表示事件 豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”则(1)P(A)=;(2)P(B|A)=.?热点八：随机变量的分布列、期望与方差随机变量的分布列、期望与方差是高考中的重点，年年必考，以考生比较熟悉的实际应用问题为背

30、景，综合排列组合、概率公式、互斥事件、独立事件以及统计等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算的能力，考查运用概率知识解决实际问题的能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用.题型主要以解答题的形式呈现，但有时也会以小题的形式岀现，难度中等.(2013天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片 4张，编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1) 求取岀的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2) 在取岀的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【分析】(1)根据题意

31、任取的 4张卡片与顺序无关，是一个组合计数问题，也是一个古典概型的概率计算问题.由于编号为3的卡片可以为红色的，也可以为白色的，因此在计算基本事件数时要分类讨论.(2)根据题意，在取岀的4张卡片中，至少有一张有红色的，红色卡片中的编号有1、2、3、4,所以红色卡片编号的最大值设为X,可能取值也为1、2、3、4,然后根据卡片的最大值分别求岀各自的概率，列岀分布列，再根据数学期望的公式计算随机变量X的数学期望值.【解析】(1)设 取岀的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=C2C5+C2C5=6.C776所以取岀的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为随机变量X的所有可能取值为1,

32、2,3,4.c3 1c3 4P(X=2=C7=3?,P(X=143535随机变量X的数学期望E(X) =1 X+2痊+3 >|+4 >4=1-.【归纳拓展】1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求岀概率.2.求随机变量的数学期望和方差的关键是正确求岀随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布或两点分布，则可直接使用公式求解.变式训练8在某大学自主招生考试中，所有选报n类志向的考生全部参加了数学与逻辑”和 阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，

33、其中 数学与逻辑”科目的成绩为 B的考生有10人.(1)求该考场考生中阅读与表达”科目中成绩为A的人数.若等级 代B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分.=C?=35,所以随机变量X的分布列是越=3)=豁怒=4)=拿. 求该考场考生数学与逻辑”科目的平均分. 若该考场共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望热点九：事件的独立性、独立重复试验与二项分布二项分布是一种重要的概率分布，在实际生活中应用广泛.对事件的独立性、独立重复试验与二项分布的考查是高考的热点之一，考查的题型既有小题也有解答题.在小题中，侧

34、重于考查事件相互独立性的概率；在解答题中，一般会综合事件的相互独立、互斥或对立、二项分布等知识进行考查(2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为：中奖可以获35得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求XW的概率；(2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】(1)因为每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否

35、互不影响”所以计算概率时用相互独立事件的概率公式求解.X表示小明、小红各抽奖一次得2X 4+3 X 4+4 X1 24 8分的和,根据题意事件E(X)=9=6岂”的情况较多，从反面入手即先求事件X>3的概率，再用对立事件的概率公式求解；(2)因为小明、小红抽奖时，要么中奖，要么不中奖，所以它们符合二项分布的特征，可以应用二项分布的期望公式及性质计算【解析】(1)由已知得，小明中奖的概率为-,小红中奖的概率为？,且两人中奖与否互不影响.35记这2人的累计得分XW”的事件为代则事件A的对立事件为X=5 ”2 24因为 p(X=5)=3 X=5，11所以 P(A)=1-P(X=5)=15，11

36、即这2人的累计得分 X<3的概率为喜.15(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).22由已知可得,X1B(2,-),X2B(2,-),3 52 42 4所以 E(Xi)=2%=亍,E(X2)=2 気812从而 E(2Xi)=2E(Xi)=-,E(3X2)=3E(X2)=_.35因为 E(2Xi)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.【归纳拓展】在计算二项分布的概率分布列时，要注意以下几点：(1) 分清楚在

37、独立重复试验中，总共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值,最后再确定某事件A发生了多少次，即确定k的值；(2) 准确算岀每一种情况下，某事件A发生的概率；(3) 算岀的结果要验证是否符合离散型概率分布列的两个基本性质21变式训练9甲、乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为乙获胜的概率为 J现已赛完两局，乙暂时以332 : 0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；设比赛结束时比赛的局数为随机变量X,求随机变量 X的概率分布和数学期望E(X).热点十:正态分布正态分布是自然界中最常见的一种

38、分布，许多现象都近似地服从正态分布(如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等)，也是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点.M10已知随机变量E服从正态分布 N(2, o2),且P( E 4)=0.8，则P(0< W2)=.?【分析】若随机变量E服从正态分布 N(仏0),则正态曲线关于 x=卩对称；结合曲线的对称性和频率之和为1来求相应的概率即可.【解析】P(E4)=0.8,则 P(E4)=0.2，又分布图象关于直线x=2 对称,P E0)=P(E4)=0.2,则 P(0< E <=

39、0.6, P(Ov E 2)=03【答案】0.3【归纳拓展】正态曲线是钟形曲线”具有很好的对称性.正态分布问题求解的切入点是充分利用正态分布曲线的图象特征和相关量的统计意义分析思考，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用，记住正态分布的3 o法则.变式训练10假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布 N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p。,则p。的值为.?(参考数据:若 XN(仏 0),有 P(片 o <Ki + 炉0.6826,P(占2o <危卩+o)=0.9544,P(卩-3 o &l

40、t;夫卩+ 0=0.9974.)限时训练卷(一)、选择题1. 总体由编号为01,02, ；19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取 个数字,则选岀来的第5个个体的编号为（）.781665720802320492344935A.08B.07C.02D.012. 如图是某班全体学生外岀乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图A该班总人数为 50人B.骑车人数占总人数的20%C乘车人数是骑车人数的2.5倍D.步行人数为30人3. 已知x与y之间的几组数据如下表：5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两631407024369972801988200

41、3623486969387481（两图都不完整）,则下列结论中错误的是 （）.则y与x的线性回归方程y =bx+a必过（）.A(1,2)3 15B.(2,6)C.(-,-4-)D.(3,7)4在棱长为a的正方体 ABCD-AiBiCiDi中随机地取一点P,则点P与正方体各表面的距离都大于?护概率为（）.1 19 Di5.已知离散型随机变量X的分布列为310110则X的数学期望E（X）等于（）.3a25B.2 C-D.36.游客甲、游客乙暑假期间去西安看世园会的概率分别为3、；，假定他们两人的行动相互不受影响，则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为( ).1711巧CH D-11

42、7. 设随机变量XN(3,1),若P(X>4)=p,则P(2<X<4)等于().1 1A. +pB.1-pC.1-2pD.-p8. 从0,1中选一个数字，从2,4,6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为().A36 B.30 C.24 D.129. 设a=f (cosx-sinx)dx,则二项式(x2+?)6展开式中的x3项的系数为().A.-20 B.20 C.-160D.160二、填空题10. 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给 4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .?11. 为了了解某校今年准备报考

43、飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画岀了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则抽取的学生人数是 .?12. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .?三、解答题13.甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为t(cm),相关行业质检部门规定：若t (2.9,3.1,则该零件为优等品；若t (2.8,2.9U (3.1,3.2,则该零件为中等品;其余

44、零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据：(1) 设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元.若将频率视为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望(2) 对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为零件优等与否和所用机床有关”并说明理由参考公式：=)(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)参考数据：P（Jo） k（）0.250.150.100.050.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635限时训练卷（二）一、选

45、择题1.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显着差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C系统抽样法D.分层抽样法2.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在8,10）内的频数为（）.A.38 B.57 C.76 D.95y关于x的线性回归方程y=0.7x+a,据此模型预报产量为7吨时能耗3. 小明同学根据下表记录的产量x（吨）与能耗y（吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求岀了为（）.产量x（吨）能耗y（吨标准煤）32.564.5A.54. 右图是2013（ ）.A

46、.84,4.84C.85,1.6B.5.25C.5.5 D.5.75年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打岀的分数的茎叶图B.84,1.6D.85,4,则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为5. 从1,3,5,7,9这五个数中，每次取岀两个不同的数分别记为a,b,共可得到Iga-lgb的不同值的个数是（）.A.9B.10 C.18 D.206. 设（1+2x）10 展开后为 1+a1x+a2x2+a10x10,则 a1+a2 等于（）.A20 B.200C55 D.1807. 已知随机变量 E服从正态分布N（0,訂,若P（ E >=0.023，则P（-2段

47、）等于（）.A.0.477B.0.625C.0.954D.0.9778. 投掷一枚正方体骰子 （六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）,向上的面上的数字记为a,又n（A）表示集合的元素个数，A=x|x 2+ax+3|=1,x R,则n（A）=4的概率为（）.112 1A.B. C. D32369如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）.1D-6二、填空题10. 某课题组进行城市空气质量调查为.?11. 一个盒子中有6只好晶体管、,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6个城市,则甲组中应抽取的城市个

48、数4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是好的，则第二只也是好的的概率是12若（x-期展开式中含x的项的系数为280,则a=.?三、解答题13. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选岀最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.一、选择题人1. 下

49、列关于由最小二乘法求岀的回归直线方程y=2-x的说法中，不正确的是（）.A变量x与y正相关B.该回归直线必过样本点中心（x,y）C当x=1时,y的预报值为1?AD.当残差平方和?（yi-y?2越小时，模型拟合的效果越好2. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成

50、绩的平均数3. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工200人,则收到125条以上的大约有( ).A.6人B.7人C. 8人D. 9人4. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，xj、x2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，si、S2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A.x1>x2,si<S2B.x1=x2,si=S2CX1=X2,S1<S2D.xi <x2,Sl<S25. 设随机变量E服从正态分布 N（2, o2）,若P（ E >=a,则P（

51、 E 4-c）等于（）.A.a B.1-a C.2a D.1-2a6.2013年第12届全国运动会在沈阳举行，某校有4名大学生申请当A,B,C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（）.A.20 种B.24 种C.30 种 D.36 种? 17. 在（歹昂n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）.A-7 B.7 C.-28D.288. 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（）.A

52、 19 J 48A.1? B.荷 C4 D莎9. 设a Z,且0令<13,若512014+a能被13整除，则a等于（）.A0B.1C.11 D.122 110. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,其中a,b,c （0,1）.已知他投篮一次得分的期望是2,则二+乔?的最小值为（）.32281416A B. C. D3 33311. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是().

53、1137A B.2 C4 D-812. 甲袋内装有2个红球和3个白球，乙袋内装有1个红球和n(n N*)个白球.现分别从甲、乙两袋中各取1个球,若将事件 取岀的2个球恰为同色”发生的概率记为f(n).则以下关于函数 f(n)(n N*)的判断正确的是().2Af(n)有最小值，且最小值为53B.f(n)有最大值，且最大值为51Cf(n)有最小值，且最小值为217. 中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取 30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感中国式