东南大学DSP习题课要点

1、第五章习题课：IIR数字滤波器的设计一、重点内容滤波器是指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留需要的频率分量的一类系统，滤波器在信号传输与信号处理中起重要作用。模拟滤波器和数字滤波器的概念相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。模拟滤波器要用硬件 电路来实现，而数字滤波器是把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，从而完成滤波功能。 因此，数字滤波器就是一个离散时间系统。本章逻辑思路是数字滤波器设计概述；模拟滤波器设计；脉冲响应不变法；双线性变换法；IIR数字滤波器的频率变换和其它设计法。1. 数字滤波器设计概述1.1数字滤波器的分类（1）经典滤波器和现代滤波器经典滤波器即

2、一般滤波器，用于分离加性组合的信号，要求输入信号中有用频谱和希望滤去的频谱各 占不同的频段，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。现代滤波器理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特性或信号本身。该滤 波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特性导出一套最佳的估值算法。比较以上两种滤波器，它们的区别有：a. 信号和干扰的频带相互是否重叠。b. 滤波方式不一定在频域实现。（2）IIR和FIR滤波器数字滤波器的差分方程的一般形式为NMy（n）-二 aky（n-k）=為 bx（n-r）k=1r =0如果式中ak =0，k =1，2, N,这就是FIR DF，如果式中ak有非

3、零值，这就是IIR DF。这两类滤波 器无论在性能上还是在设计方法上都有很大区别，所以我们在设计DF时按此角度分类DF（3）低通、高通、带通、带阻滤波器我们通常用的数字滤波器是选频滤波器，选频滤波器按其幅频特性来分可分成低通（LP）、高通（HP、带通（BP）和带阻（BS）四种类型。这四种滤波器理想的幅频响应如P.133图5-1所示，由图可见：a. 数字滤波器的频率响应都是以2 n为周期的，LP频带处于2 n的整数倍附近，而 HP频带处于n的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器的频率响应有区别。b. 有时为了简化，也因为幅频响应的偶对称和周期性，在绘制数字滤波器幅频响应时，只给出二0二部分特性，这完全

4、是可以的。c. 图中的幅频特性是理想的特性，在实际中是不可实现的，因为它们所对应的单位脉冲响应有过冲和 振铃现象，而且是非因果的。所以可以想见，我们设计出的滤波器都是在某些准则下对理想滤波器的近似， 但这保证了物理可实现，而且能保证因果稳定。1.2技术指标描述滤波器的指标通常在频域中给出，由前面的讨论可知：H（eH（z） 2工©= H（ejcc）e代簡由上式可知系统频响H（e'）可以由系统函数 H（z）得到，所以设计IIR数字滤波器就是设计相应技术指标要求下的H j，这等同于设计 H （z），而幅频特性 H （e也）则表示信号通过滤波器后频率成分衰减的情况，所以IIR数字滤波

5、器通常就是用H（e）作技术指标。理想滤波器是非因果的，而实际滤波器必须是物理可实现的，所以一定是因果的，另外还要考虑（逼 近后）系统的易实现性和成本问题，所以实际的数字滤波器总是在通带中允许一定的容限，阻带中允许另 外一个容限，而且在通带与阻带之间有一个过渡带。P.133图5-2是典型IIR低通滤波器的幅频响应容限图。在设计IIR数字滤波器时，并不是直接作H（e尬）的容限图，而是作 时ot样板图，即用 H（e恋）再定义一个设计参数:，称为衰减值，其定义为1a =20 lg:_：lH （e判归一化例如低通滤波器的技术指标描述包括通带截止频率（边界频率）p，及在- - p处最大衰减二p，二p定义为

6、= 20lg1H(ej p)归一化H(ej p）归-化H(ej p)H(ej0)还包括阻带截止频率（边界频率） -s，及在川 f S处的最小衰减：s，：' s定义为1H(e喻)H屮)归一化_归一化- s。:s =20lgH(ej s)H(ej0)共四个技术指标-p > - -s p可以想见高通、带通和带阻数字滤波器的技术指标与低通类似，亦用样板图给出。由于在数字滤波器中 是用弧度表示的，而从实际任务中明确技术要求时是用实际频率f （单位Hz）表示的，所以需用公式 =2- 来转换。即f 指标到 ：指标必须给定采样 fs频率fs （单位Hz）。1.3设计方法（1）设计数字滤波器的一般

7、步骤就广义而言，数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时不变离散时间系统。设计一个滤波器的 一般步骤是：a. 按照实际需要确定滤波器的性能要求，通常就是：样板图。b. 用一个因果稳定的系统函数H（z）去逼近这个性能要求。c. 用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。在上面三个步骤中，第二步是关键。由于IIR数字滤波器的系统函数为r1' brZ"-(1 -GZ_)H(z)二占K 害(M . N)1 a akZ上ii (1 -dkZ)k 4k =所以iir滤波器的设计，在数学上讲，就是求出各系数ak、br或者dk、cr ,使滤波器性能逼近给定的性能要求。(2) 设计iir数字滤

8、波器的方法设计IIR DF的方法一般有三种，即：a. 零、极点位置累试法根据系统函数在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值的特点来设置零、极点以达到性能要 求，这种方法只适用于简单滤波器的设计。b. 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器由于模拟滤波器综合理论已发展的相当成熟；数字滤波器在很多情况下能兼容模拟滤波器；更由于数 字滤波器性能指标是相应模拟滤波器性能指标的周期延拓，所以完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计 方法来设计数字滤波器。c. 最优化设计法最优化设计法又称为计算机辅助设计法，因为这种方法一般分两步来进行：第一步要选择一种最优准 则；第二步求在此最佳准则下滤波器系统函数的系

9、数ak、br，这一步需要进行大量迭代运算，故要靠计算机来完成。在以上几种方法中，本章主要讨论第二种方法。但随着计算机的普及，最优化设计方法也日益发展。(3) 利用模拟滤波器的设计理论来设计数字滤波器这种方法的设计过程是：首先根据所给的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器的转移函数Ha(s)，然后“设法”将它转换到数字域中以形成数字滤波器的转移函数H (z)。由此过程可知：a. 这种方法的设计原型是模拟滤波器，而原型中的原型又是模拟低通滤波器。b. 要想利用模拟低通滤波器作设计原型，根据滤波器设计的一般步骤可知，在进入低通原型的设计指标将有一次 - 1之间的变换，而走出模拟低通原型的设计结果HL

10、p(S)将有另一次sz之间的变换。C. “设法”将转移函数 Ha(s)从S平面变换到Z平面有许多方法，但工程上常用“脉冲响应不变法” 和“双线性变换法”。d. 在以上变换中，一般要求所得到的数字滤波器频率响应能保留原模拟滤波器频率响应的主要特性， 为此，对变换关系提出如下要求：其一：使S平面的虚轴jfl转换到Z平面的单位圆上，即频响“不变”。其二：使S平面的左半平面转换到 Z平面的单位圆内，即因果稳定性“不变”。2. 模拟滤波器设计2.1模拟滤波器的技术指标要求(1) 由于高通、带通和带阻滤波器的传输函数都能经过频率变换由低通滤波器传输函数求得，故把低 通滤波器称为原型低通滤波器。不论设计何种

11、滤波器，都是先把该种滤波器的技术要求转变为相应的低通 滤波器的技术要求， 然后设计低通滤波器的传输函数Ha(s)，然后再经过频率变换将 Ha(s)变换为所求的滤波器的传输函数。因此我们先研究低通滤波器的设计方法。(2) 低通滤波器的技术要求为通带截止频率I、p (rad / s)通带最大衰减p(dB)阻带截止频率s(rad/s)阻带最小衰减：s(dB)上述四个量的含义可以用 样板图来表示。a Q(rad/ s)0QpQs°o以上技术要求中的a定义为:(门)=10lg2X(j。)Y(jC)= ioig2Ha(j。)(dB)数字信号处理原理及实现第五章习题课第 16页共26页由上式可知，

12、G和H a( j0)成反比，故称G为衰减值。该值本质上仍是幅频特性。2.2对给定技术条件的逼近方法在给定要求的技术条件之后，要找出一个Ha( j i I)或H a(s)使之近似地符合给定的技术指标。但:C1) =ioigHa(冋2这个表示式不容易直接用多项式或有理式来逼近,所以需要找一个能够用多项式或有理式逼近的函数，此函数称为特征函数，以K(j)表示，它定义为2= 1 + K(j0)2X(j°)Y(jO)结合:C1)的定义式，可以得到Ha(jO)|2121 + K(jQ)"(C) =10lg12 =1Olg1+K(j0)2：lHa(jO)2 2K(jO)|等于一个以O2为

13、自变量的多项式或有理式。例如K(j0) =ao(02)N +站(02)"+ +aN JLJ2bHaN式中，ao, aL, , , aN j , aN都是常数再例如2 2 2 1K( jQ)|cos ncos 0式中，；2为一待定常数，n为正整数当然，|K(j0)|2还有其他的形式。一些学者已经作了很多研究工作，我们只讨论以上两种形式，分别称为巴特沃思逼近和切比雪夫逼近。以上这些逼近方法只考虑了幅度特性的逼近而没有考虑相位特性的逼近。如对相位有较高要求，则需 要在上述滤波器之后再加全通滤波器来校正其相位。由于各滤波器所需要的频率范围很不相同，为了使设计简化，常将所用的频率归一化。即设定

14、某一频 率为参考频率，并令参考频率的归一化值为1，将其他频率与这个频率的比值作为其他频率的归一化值。归一化后，滤波器的计算方法不会因频率的绝对值高低而异。并可由统一的图表或曲线，再转换为真实频 率对应的传输函数。2.3由幅度平方函数确定传输函数2 2在讨论具体的逼近函数之前，还需要进行一项工作，即如何由给定的|K(j0)| (或|Ha(j0)，称为幅度平方函数)求出Ha(j)或Ha(s)。因为2 * |Ha(Q)| =Ha(jQ)Ha(jQ)由于滤波器冲激响应 ha(t)是实函数，因而 Ha(j")具有共轭对称性H；(j)二出(-j)所以Ha(j。)2 =Ha(Q)Ha( Q)= H

15、a(S)Ha( S)|s2现在的问题是要由已知的|Ha(j0)|求得Ha(s)。下面作一般性讨论：(1) 由P.139图5-5可知：Ha(S)Ha(-S)的零、极点分布成象限对称，特别地，Ha(S)HaS)在虚轴上的极点或零点一定是二阶的，但对于稳定系统，H a(s) H a (-S)在虚轴上没有极点。(2) 任何实际可实现的滤波器都是稳定的，而稳定系统的传输函数 H a (s)的极点一定落在 S平面的左半平面，所以左半平面的极点一定属于H a (s)，而右半平面的极点必属于H a(-s)。Ha(S)应取(3) 零点的分布无此限制，它只和滤波器的相位特征有关。如要求最小相位延时特性，则 左半平

16、面零点。如无特殊要求，则可将对称零点的任一半(应为共轭对)取为Ha(s)的零点，则满足2 Ha(jQ)解的Ha(s)就是多个。(4)最后，按照Ha(j")与H(S)的低频特性的对比，即Ha(S)Sz0= Ha( ji I) i 7，或高频特性的对比，确定增益常数 k。综合以上四点，即由求出的 Ha(S)的零点、极点及增益常数，则可完全确定传输函数Ha(S)。P.139 例 5-1。2.4巴特沃思低通滤波器巴氏低通滤波器幅度平方函数定义为式中，N为正整数，代表滤波器的阶数；'-JP为通带截止频率(通常给定)；门c为3 dB截止频率，当门二门2 时，Ha(jC) =1/2，所以0

17、c是滤波器的电压-3dB点或称半功率点。(1 )幅度响应的特点巴氏低通滤波器的特点如下：2a. 当O =0时，Ha(jO)| =1，即在0 =0处无衰减；211|Ha(j0)|Hajc)b. 当 0= Qc 时，Ha(j0) = ， Ha(j0)= -= 0.707， a (0c) = 20 Ig； = 3dB。且当-：'.'c时，不管N为多少，所有特性曲线都通过 -3dB点，或者说衰减为 3dB。这就是3dB不变性；c. 当I v时，即通带内巴氏低通滤波器有最大平坦的幅度特性，即N阶巴氏低通滤波器在 门=0处幅度平方函数|Ha(j0)2的前2N-1阶导数为零，因而巴氏滤波器又

18、称为最平坦幅度特性滤波器。随N2由0增大，Ha(j0)单调减小，N越大，通带内特性越平坦。2d. 当0 >Qc时，Ha(jO)随0增加而单调减小，N越大，衰减速度越大。以上特点可见P.140图5-6。(2)传输函数Ha(S)的确定在设计模拟低通滤波器时，所给技术要求为通带指标1打、：J ；阻带指标"s、S ,因此，根据给定的通带指标可得由此可得参数;为-ip = 10ig22QO =10lg1+K(jC)S /。皿1;2)=.100.1：p -1根据给定的阻带指标可得= 10lg1；2 s/p)2N由此解得滤波器的阶数N为满足下式的最小整数100.1：S -12lg> 2

19、igS/p(N取整数)得到了滤波器的参数 ；和阶数N后，就可以确定零、极点形式的传输函数Ha(s)。根据关系式Ha(2)2=H a(S)H a(S)ST。可得Ha(S)Ha(-S)_ 120=S/ j =2N2N1； L/p)1； (一1) (SA1 p)(1)由此式可求出H a(S)Ha (-S)的极点,其中位于S左平面的极点为Ha(s)的极点(系统稳定)，而其余极点为Ha(-S)的极点。(3)归一化巴氏滤波器的传输函数为了使设计计算简化，这里选择作为归一化的参考频率。令p =严，则式(1)变为° pHa(P)Haf “2NP令上式分母多项式等于零，即2N 2N1 U-1) p =

20、0.兀.帥出)兀1 j2盲厂pk"ee，k =0，1，,2N-1这2N个极点均匀分布在 S平面以原点为中心，半径为1/N.；的圆上，相距为: / N弧度。其中，一半位于S平面的左半平面，另一半位于S平面的右半平面。为了使系统稳定，取pk在S平面左半平面的N个根作为H a (p)的极点，即这样Pkk =0, 1, , ,N-1Ha(P)1(P - Po)(P - Pi) (P - Pnj)最后，将Ha(P)去归一化，即把 P=S/p代入Ha(P)，得到实际的滤波器传输函数Ha(S)。综合(2)和(3)，对于给定模拟低通滤波器通带技术指标Q P、ot P和阻带技术指标 Qs、o(s后，采

21、用巴氏方法设计模拟低通滤波器的步骤为a. 计算参数z；=,io0.1 厂 1b. 计算滤波器的阶数N10叫1、lg 2呂丿2lg slg0.1 /10 s -12lg s式中N取整数， s二丄 为归一化阻带截止频率。°pC.计算滤波器的传输函数H a (s)Ha(P)1(p - Po)(P -Pj (P - Pnj).兀.(2k+)Tt _ 1 j2 j Pn ；e e2Nk =0,1, N -1叭云P.141 例 5-2。(4)巴氏滤波器的图表法设计由于模拟滤波器的理论已相当成熟，很多常用滤波器的设计参数已表格化和图形化，如P.142表5-1和图5-7所示。借助这些表格和图形可以很

22、方便地设计一些简单的滤波器。因此，实际中更多采用图表法。需要特别指出的是，一般给出的巴氏图表均是以3 dB截止频率门c为参考频率(而非通带截止频率)进行归一化的，因此，在利用图表法设计巴氏滤波器之前，需先用通带指标' 1 p、P或阻带指标I s：s计算出"c来。由通带打和P，求得“C为p利用上式求I】c ,通带指标正好满足，但阻带指标有富裕量。由阻带I 1 s和s，求得I I c为利用上式求"c,阻带指标正好满足，但通带指标有富裕量。图表法设计滤波器的基本步骤如下：a. 将频率归一化；b. 由归一化频率一幅频特性曲线(P.143图5-7)，查得阶数N ；c. 查P.

23、142表5-1，得到归一化传输函数H a ( p)的分母多项式；d. Ha(p)去归一化，将P二S/c代入Ha(p)，得到实际滤波器的传输函数Ha(S)P.143 例 5-3。2.5切比雪夫低通滤波器相比巴氏方法，更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或 同时均匀地分布在通带与阻带内。这样，在同样通带、阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。 这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。切比雪夫滤波器就是具有等波纹 特性的一种滤波器。切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或阻带内具有等波纹特性。如果幅频特性在通带中是等波纹的，在 阻带中是单调的

24、，称为切比雪夫I型。相反情况，则称为切比雪夫II型。具体用哪一种由实际情况定。切氏滤波器的设计和巴氏滤波器的设计一样，设计方法相当成熟，所以对它的介绍完全可以仅了解它 它的设计步骤。(1) 幅度平方函数以切氏I型滤波器为例来讨论，幅度平方函数为式中,1 K(j)11 ；2cN(/p)；为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数,Cn(“/“p)是N阶切比雪夫多项式,定义为Cn(x) = *|x|x| 1"cos(N arccosx)、cosh(N arccoshx)通过对Cn(x)的研究可得 P.146表5-2和图5-9.由图5-9 C2(x) C5 (x)多项式特性曲线可以看出

25、:|x1时，Cn(x)在-1之间波动；当|x|1时，Cn(x)单调上升。则切氏滤波器的幅度平方函数的特性是:a. 当|x|1时，|Cn(x)|叮,；2Cn(x)的值将在1与1；2之间变化。由式(2) |x|叮即为一 _ 一 2 1|0/0p国，也就是在通带范围内，此时的 Ha(jC)在1与2之间波动；1 +名2b. 在|x|>1时，也就是Qp时，随着o/Op的增大Ha(j0)|迅速趋于零。P.146图5-10是按式1(2) 画出的切氏滤波器的幅度平方函数。由图5-10还可见N为偶数，Ha(j0)在0 =0处的值为一厶，1 + s22是最小值；N为奇数，Ha(j0)在0 =0处的值为1,是

26、最大值。(2)参数的确定与巴氏设计方法一样，切氏设计方法设计模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)的步骤是：a.计算参数；100.1 厂 1b计算滤波器的阶数 N.、arccosh(100.1a5 -1 M)N -arccos h1 s 1 p)c.计算归一化系统函数Ha( p)AH a(P)二 N丨丨(P - Pk )k 二式中,1；2nPkj ，- k 和门 k 由 P.148 式(5-47)求得。d.将Ha(p)去归一化，即把p = S/】p代入Ha(p)，得到实际滤波器的传输函数HaG)Ha(S)二 Ha(P)PK/i. p 二N；2Ni【(s-pjp)k 4P.148 例 5-5。(3)

27、切氏滤波器的图表法设计同巴氏滤波器一样，切氏滤波器也可以采用图表法进行设计，其步骤如下:a.频率归一化，得到'p和s，注意，对于切氏滤波器的表格曲线，没有特指3dB频率点;b.根据扎p和扯查归一化频率一幅频特性曲线(P.149图5-11 )，查得阶数N ；c. 根据给定的通带内最大衰减p，查P.149表5-3得；(此值已列于表 5-3的上部)；d. 查表得到归一化传输函数Ha (p)的分母多项式;e. Ha(p)去归一化，将p=S/c代入Ha(p)，得到实际滤波器的传输函数Ha(S)。P.150 例 5-6。2.5模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过频率变换

28、从模拟低通变换到所需要的类型，从而不 用对它们的表达式单独设计。我们前面所研究的低通滤波器设计实际上是一个原型低通滤波器设计，其它 形式的滤波器设计可以由此滤波器通过频率变换得到。下图给出了反映这种设计思想的流程图：由上图可见，在整个设计流程中共有两次频率变换，第一次频率变换是技术指标之间的变换，而第二 次频率变换是传输函数之间的变换。为了避免符号上的混乱，先将所用符号作如下规定：频率变换中一些符号的规定变量名称原型低通滤波器待求(高通、带通、带阻)滤波器未归一化的拉氏变量s未归一化的传输函数H(s)未归一化的频率Q归一化的拉氏变量pq归一化的传输函数G(p)H(q)归一化的频率入(=p/j

29、)n( = q/j )通过对原型低通滤波器技术指标频率特征点与其它模拟滤波器技术指标频率特征点比对关系的讨论 可以得到低通到高通、通带和带阻的二次频率变换关系，现将讨论结果归纳如下表所示。模拟滤波器的频率变换滤波器类型归一化低通滤波器 G(p)要求设计的滤波器H(s)的技术指标要求低通G(p) T低通H(s)低通G(p) T高通H(s)低通G(p)-带通H(s)低通G(p)-带阻H(s)11'Js' p- s=aa'p11p' p5a sas11'2-Qs1 p5a sa2-Qp111'1 p2-Qp1. p5a. sa'2-Qs11 1

30、1表中，Qp表示所要求滤波器的通带截止频率，Qp2和Qp1表示所要求滤波器的通带上下截止频率，表示所要求滤波器的阻带截止频率，Qs2和Qs1表示所要求滤波器的阻带上下截止频率，Qo是滤波器的通带中心频率，B是滤波器的通带(或阻带)带宽， a是一个取决于滤波器类型的归一化参数。这些参数的数字信号处理原理及实现第五章习题课第11页共26页定义如下:二 0=、' 1 p' p2B = i.】p2 ,pl归一化参数a的取值，要视所设计滤波器的类型而定。当所设计滤波器是巴特沃思或切比雪夫滤波器 时，a = 1。当所设计滤波器是椭圆滤波器时，对于低通，a取.s 兀；对于高通，a取 正;对于

31、带通，a取匡三疸；对于带阻，a取J% 一°p1 。 - p2 -】pl； : - s2 ' si3. 脉冲响应不变法利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，下表是模拟滤波 器和数字滤波器描述方式的比较，从中能找到数字滤波器模仿模拟滤波器可能的角度。滤波器的描述方式模拟滤波器数字滤波器微分方程差分方程冲激响应h(t)单位脉冲响应h( n)传输函数H(s)传输函数H(z)频率响应函数H(j Q)频率响应函数H(e3)当然滤波器之间的“模仿”，在数学上就是一种“逼近”，即完成S平面到Z平面的转换，这种转换应 满足两个基本要求：(1) 频响的关系不变

32、。要求 H(z)的频响要逼近 H(s)的频响；同时，Q应该与3是线性关系以保持频响 的形状不变。(2) 因果稳定的关系不变。要求将S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。脉冲响应不变法是从时域出发，使数字滤波器的脉冲响应序列h( n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t),即使h(n)等于ha(t)的采样值。3.1变换原理(1) 基本思路从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应h(n)逼近模拟滤波器的脉冲响应ha(t),使h(n)等于ha(t)的采样值，即h(n) =ha( nT)式中，T为采样周期。(2) 转换步骤由以上基本思路可以建立转换步骤如下：Ha(s)，5ha(t)采样'

33、; ha(nT)=h(n)Z H (z)下面根据以上步骤研究已经获得了满足性能要求的模拟滤波器的传输函数Ha (S)后，怎样根据脉冲响应不变法求与之对应的数字滤波器的系统函数H(z)。设模拟滤波器的传输函数H«S)只有单阶极点，且假定分母的阶数高于分子阶数，则可将Ha(s)展开成部分分式形式N AHa(s)：-i =1 S Sj按步骤，对Ha(S)取拉氏反变换，即1 S-1ha(t)二 LHa(s)二' Ae'u(t)i 4按步骤，对ha(t)采样得到ha(nT)，即NNha(nT) =ha(t)T =瓦 AesnTu(nT)=瓦 A(eSiT)nu(n)i 4i)按

34、步骤，令h(n) =ha(nT)按步骤，对h(n)进行Z变换，得到所需数字滤波器的系统函数 H(z),即NH(z)= Zh(n)八A1 -esTz对比Ha(s)和H(z)，当将Ha(s)和H(z)展开成部分分式形式的时候,S平面上的一个极点s=si对应Z平面上i 4的一个极点zi = e5，而Ha(s)与H(z)的部分分式中所有对应系数不变。应特别注意：这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，必须将Ha(s)表达为部分分式形式。3.2对脉冲响应不变法的进一步讨论由于模拟滤波器单位冲激响应ha(t)的采样值ha(nT)与数字滤波器的单位脉冲响应h(n)相等，故在研究h(n)的Z变换H(z)与ha

35、(t)的拉普拉斯变换 Ha(s)之间的对应关系时，应以采样信号ha(nT)作为桥梁。(1) H (z)与 H?a(s)时域h(n)=ha(nT)可以证明：H(s)八-ha(nT)esTn =-：:oOH 二、 h(njz43n 二:又脉冲响应不变法是使 h(n) = ha (nT),所以有H(z) zsT =a(S)(2) Ha(s)与 HaG)时域 ha(t)采样ha (n T)由第二章中的时域采样定理可知1 00H?a(r1)Ha(r - jks)T k =joo将11延拓到整个S平面，即将s =代入上式，得1 旳H?a(s)Ha(S jk's)T k=-od由(1)可得H(S)二

36、 H(Z)ztHa(S jk上式表明H a (s)和H (Z)之间的对应关系必须先将H a(S)在S平面上沿虚轴按照周期'J s延拓后，再按照z二esT映射到Z平面上，就得到H(z)，所以可以想见，不是Ha(s)和H(z)之间有z = esT的 关系，而是H?a(s)和H(z)之间有z=esT的关系。这个概念其实就是第二章中离散时间系统拉氏变换与Z变换之间的关系。故脉冲响应不变法又称为标准Z变换法。3.3几个结论在3.1和3.2中我们讨论了脉冲响应不变法，由此可以对脉冲响应不变法结论如下：(1) z =esT的映射关系反映的是 Ha(s)的周期延拓与H(z)的关系，而不是Ha(s)本身

37、与H (z)的关 系，因此使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H (z)并没有一个由S平面到Z平面的简单代数映射关系，即不存在一个s = f(z)的代数关系式。例如，极点之间有一一对应的乙=esT代数关系，但零点之间就没有。(2) 由于是标准Z变换法，所以S平面和Z平面的映射关系可以达到映射应满足的两个基本要求。(3) 由于是标准Z变换法，由第二章的讨论可知，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周 期延拓，延拓周期为采样角频率，即1 J Ha(r -jk-如果模拟滤波器的频率响应的带宽被限定在折叠频率以内，即Ha(j)=OHa(j 沪0数字信号处理原理及实现第五章习题课第 33页共26页

38、则数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应，即旧 1H(ej )、Ha(jT)， 厂：然而，任何实际的模拟滤波器都不是带限的，因此数字滤波器的频率响应必然产生混叠失真，如P.160图5-17所示。为了减少混叠失真，可以增大采样频率fs，即令采样周期(T=1/fs)减少，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远， 因而可减少混叠失真。 但当采样频率很高时， 即T很小时，数字滤波器增益会很高， 要使数字滤波器的频率响应不受采样频率的影响，应作以下修正，令h(n) =Tha( nT)则有H(z)八TAi-,2 iH(ej)二、Ha(j?- jk ) ：Ha(i-)，I：二kRTTT这样，数字

39、滤波器的增益不随T变化。(4) 脉冲响应不变法的优缺点a. 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，所以时域逼近良 好。b. 模拟频率Q与数字频率3之间呈线性关系 3 =QT,因而一个线性相位的模拟滤波器(例如贝塞尔滤波器)可以映射成一个线性相位的数字滤波器。c. 由于频率混叠效应，脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器。高通和带阻滤波器不宜采样脉冲 响应不变法，否则要加保护滤波器，滤掉折叠频率以上的频率分量。对于带通和低通滤波器，需充分的带 限，阻带衰减越大，则混叠效应越小。P.161 例 5-10。4. 双线性变换法在上节中我们看到脉冲响应不变法的主要缺点是

40、频谱的周期延拓产生的混叠失真，这是因为从S平面到Z平面不是一一映射的关系造成的。为了克服这个缺点，可以采用双线性变换法。4.1变换原理(1) 基本思路双线性变换法的基本思路是用表征数字滤波器H(z)的差分方程作为模拟滤波器H a (s)所对应的微分方程的近似解，其变换过程为Ha(s)t微分方程t差分方程t H (z)采用上述流程的还可以是其他变换法，而双线性变换法的特点是在微分方程逼近差分方程的过程中采 用了“梯形近似积分”。(2) 双线性变换法克服频谱混叠的原理双线性变换法就是将代数变换式(3)1 -z代入到模拟滤波器的传输函数Ha(S)中，从而得到数字滤波器的系统函数H，即H(z) = H

41、a(s)211S- *T 1七丄双线性变换法所以能克服频混，这是因为式(3)所示的变换关系实际上是由两步构成的，即第一步：把S平面先变换到另一个复平面S上，其变换关系为2亠&T s th -(4)T 2式中，S1是S平面上的复变量，T为采样周期，th 为双曲正切函数。令S1=j角，代入式(4),相对应的 s = th= j tan二1，即T 2 T 2 c . 2。 0iT2QiT/、s j j tantan（5）T 2T 2由式（5）可知，S平面的虚轴j Q已由这种变换关系变换到Si平面的虚轴j轴一二/T到二/T的频段上，女口 P.163图5-19所示。第二步：按标准Z变换关系，把S

42、i平面变换到Z平面上，其变换关系为z = eSlT（ 6）令si=j q,代入式（6），相对应的z=ej°T =e恋，即-_'iT（7）由式（7）可知，Si平面上的虚轴j"由这种变换关系一一映射到Z平面的单位圆上，如P.163图5-19所 示。通过以上两步变换，将式（5）和式（7）合并，可得出 S平面虚轴上的模拟角频率】与Z平面单位 圆上的数字角频率的关系为小 2国tan（8）T 2由上式可知，S平面上I 与Z平面上，成非线性的正切关系，如P.164图5-20所示。由图可以看出，当门从0变到：时，从0变到二，因此采用双线性变换法设计数字滤波器不存在频谱混叠失真。将式

43、（4）和式（6）合并，可得出S平面和Z平面单值映射的关系为2 1 -zJS T 1 z(9)2/T sz =2/T -sHa(S)后,由上式可知，用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到了相应的模拟滤波器的传输函数只要将相应的变换关系代入Ha（s），即可得到数字滤波器的系统函数，即H(z)=Ha(s)2 1 -z1 s :-T1 z14.2 S平面与Z平面的映射关系由4.1可知，双线性变换法中S平面与Z平面的映射关系是非标准Z变换关系，所以需对此讨论如下:将s = jfl和z =re代入式（9）得(10)_；(2/T +巧2+°21/2r .(2/T -巧2 +。2 一0丄。二 arc

44、ta n arcta n （11）2/T+b2/T由此可得出S平面与Z平面的映射关系，即（1）当V -0时，r -1 , S平面的虚轴确实与 Z平面的单位圆相对应。(2) 当二：0时，r ：:1 ;当二0时，r 1，因此稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字 滤波器也一定是稳定的。(3) 令式(11)中；-0,则得模拟频率 门与数字频率之间的关系，即二 2 arctan(i/ 2)门旦tan二 T 2由上式可知，S平面上门与Z平面的成非线性的正切关系。由P.164图5-20可见频率标度之间的非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，在线性段数字频响能够逼近模拟频响。4.3几个结论(1)

45、 主要优点：依靠频率的非线性关系得到S平面与Z平面的单值对应关系，整个j Q轴单值对应于单位圆一周，消除了脉冲响应不变法固有的频谱混叠效应。双线性变换法比脉冲响应不变法的设计计算更直接和简单，由于s与z之间存在简单的代数关系，这要比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷，所以从 模拟系统函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的系统函数。(2) 主要缺点：门与之间存在非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响 应有畸变。另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，数字滤波器就不再保持线性相位特性。(3) 分段常数的频响特性通过双线性变换后仍保持分段常数的特性。大多数滤波器都具有分段常

46、数的 频响特性。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点由于非线性频率变 换而产生畸变。这种畸变可以通过“预畸变”克服。(4) 所谓预畸变就是在给定数字滤波器的通带截止频率-p和阻带截止频率s后，我们并不直接按照这个给定的数据去设计原型模拟滤波器，而是先根据2 o陀的关系求出相应的j禾2 s，然后根据门p和门s设计模拟原型,求出其传输函数Ha(s),最后在利用s吟芒代入求出数字滤波器的系统函数H (z)。P.165 例 5-11。5、IIR数字滤波器的频率变换和其它设计法5.1利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器与设计模拟滤波器时把设计模拟低通滤波器作为原型设计一样

47、，在设计数字滤波器时，可以把设计数字低通滤波器作为“原型”设计。利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤是：(1) 确定数字低通滤波器的技术要求： 'p、 I、ap、as。如果给出的是模拟技术要求 '1 p、门 ap、as ,可利用公式*:二舄T将边界频率进行转换。(2) 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为门二/T如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为_ 2tan 一T 2(3) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4) 将模拟低通滤波器 Ha(s)，从S平面转换到Z平面，得到数字低通滤波

48、器系统函数H(z)。5.2数字滤波器的频率变换设计IIR数字滤波器时常常借助于模拟滤波器，即先将所需要的数字滤波器技术要求转换为一个低通模拟滤波器的技术要求，然后设计这个原型低通模拟滤波器。在得到模拟低通滤波器的传输函数H(p)(或H (s)后，再变换为所需要的数字滤波器的系统函数H (z)。将H(p)(或H(s)变换为H(z)的方法通常有两种，变换流程为下图所示:第一种方法第二种方法数字高通、带通及带阻滤波器的设计方法对于第一种方法，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟 低通、高通、带通、带阻滤波器。转换公式见P.155表5-7。该方法的一般实现步骤：(1

49、) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。(3) 将所需类型模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(转换公式见P.155表5-7 )。(4) 设计模拟低通滤波器。(5) 将模拟低通滤波器通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6) 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。对于第二种方法，由于其频率变换是在离散域内进行的，因而可以避免脉冲响应不变法由于频响混叠 严重而不适合用于设计高通、带阻滤波器的限制。P.170表5-8列出了数字低通滤波器到其他类型数字滤波器的频率变换关系式，进一步的讨论可见参考文献1。5.

50、3其它设计法前面我们介绍的IIR数字滤波器设计方法是通过先设计模拟滤波器，再进行 S平面到Z平面的映射来 达到设计数字滤波器的目的。这种设计方法实际上是数字滤波器的一种间接设计方法，而且幅频特性受到 所选模拟滤波器特性的限制。对于要求任意幅度特性的滤波器，则不适合采用这种方法。本节介绍一种在 数字域直接设计IIR滤波器的设计方法，这种算法需要借助于优化设计理论和迭代算法来逼近所需的滤波 器。首先初始化一个系统函数，然后计算该滤波器的幅频响应，并与要求的滤波器的幅频响应进行数学上 的比较，当出现失配时，调整滤波器的系数值并重新计算，直到找到满足要求的滤波器幅频响应的系统函 数为止。由于这种逼近所需滤波器的方法常常需要解线性的或非线性的联立方程组，这往往需要计算机来完成 大量的计算工作，所以也称为数字滤波器的计算机辅助设计。采用计算机辅助设计技术来逼近任意频响特 性，可以有多种方法，例如：最小平方