专题05等腰三角形中的动态问题解析版

1、专题05等腰三角形中的动态问题JO等腰三角形存在性等腰中的全等三角形I规律性探讨【典例解析】【例1-1 （2020 g徽省泗县月考）如图,二402=120。，0P平分UAOB,且OP=1.若点MN分别在Od,OE上，且匚为等边三角形，则满足上述条件的口戶测有（）A. 1个C. 3个D.无数个【答案】D【解析】解：如图，在OB上分别截取OE=OP、OF=OP,作二MPN=6$.二 OP 平分二 40B,ZZEOP=ZPOF=6QZOP=OE=OF.二二OPE, 22OPF是等边三角形，ZEP=OP. ZEPO= ZOEP=ZPON=ZMPN=60Q,二 EPMVOPN.二 PEM 二 PON 二

2、 PM=PN、ZMPN=60°,二二PNM是等边三角形，只要ZA/PA-60%二就是等边三角形，故这样的三角形有无数个.故答案为：D.【例1-2 (2020-贵州六盘水期末)如图，在A3C中，AB = AC = 3, ZB = ZC = 5O,点D在边BC上运动(点刀不与点5C重合)，连接3,作ZADE = 50J» DE交边.AC于点E.(1) 当 ZBDA = 10(y 时，XEDC=, ZDEC=(2) 当DC等于多少时，厶ABD92CE,请说明理由：(3) 在点D的运动过程中，aADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出ZBD4的度数；若不可 以，请说明理由.D

3、J【答案】(1) 30, 100： (2) (3)见解析.【解析】解：(1)在BQ中，V Z5=50°, ZBDJ=100° ,.二EDC=30。，ZZ)£C=100°(2)当 CD=3 时，二ABD二二DCE,理由如下：:AB=CD=3t Z5=50°, ZADE=50°:.ZB=ZADEV ZADB+ ZADE+ ZEDC=180°, ZDEC+ZC+Z£DC= 180° AADB=ZDEC又 Z B=ZC:./XABD 竺 4DCE(3)可以，理由如下: Z5=ZC=50% ZA1C=8O°

4、;AD=DE 时，ZCU£=ZDE=65。,二二 BAD=：BAC-二 ZU£=15。二二 PD4115。 AD=.1E 时，Z-4£D=Z-W£=50° 二 ZDJ£=180° ZAED - ZJZ)£=80°又二二 BJC=80。二二 DAEVBAE 点D与点E重合，不合题意.当 AE=DE 时，二DAE= Z-W£=50°二二 BAD=二 BAC 二 D4£=30。 Z5m=100°.综上所述，当二BD的度数为115。或100。时，a-W£是等腰三角

5、形.【变式1-1 （2019-霍林郭勒市期中）点/的坐标是（2, 2）,若点P在x轴或y轴上，且二妒O是等腰三角形，这样的点P共有（B. 7C. 8D. 9【答案】C.和坐标轴的交点有2个:当0是腰时，以点O为圆心，0丿为半径画弧，和坐标轴有4个交点：以点为圆心，为半径画弧, 和坐标轴出现2个交点:二满足条件的点P共有8个, 故答案为 C.【变式12】（2020山四初二月考）综合与探究:在AABC中，AB = AC = BC = 3cm.P从点A出发以1 cm/s的速度沿线段A3向点3运动.ABCAB O Cs时.APBC是直角三角形.(2)如图2,若另一动点。从点3出发,沿线段BC向点C运动

6、，如果动点EQ都以1 cnVs的速度同时出发，设运动时间为7（$）,求当，为何值时，APB0是直角三角形（3）如图3,若另一动点0从点C岀发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC点D,且动点P,0都以1 cnVs的速度同时岀发.二设运动时间为Ms）,那么当f为何值时，ADCQ是等腰三角形？:如图4,连接PC储你猎想:在点的运动过程中，APCD和0CD的面积之间的数疑关系为.3 【答案】（1） -： （2） （3）见解析.2【解析】解：（1）当二PBC是直角三角形时，则二BPC=90。,二二 2=60。，_3_BP=AP= ent,2一 3一 t=,23故答案为：-：2(2) 二忙BPQ=90。时

7、，BP=BQ,即3存解得：戶22二当二5OP=90°时，BP=2BOf即3-t=2t,解得：戶1故当或2s时，二PBQ是直角三角形;(3) 二二二2)60=120。二忙DCQ是等腰三角形，CD=CO,二 Z PDA= Z CDO= Z COD=30Q二 ZJ=60°二 ZJPD=90°二 AD=2AP3-/=2r,解得：/=1二 S 二POf=S=QCD、过点P作PEZAC于E,过点。作OGZAC于点G,ZZCGO=ZJ£P=90°Z.1B=AC=BCZZA=ZACB=ZOCG=6QQ二二 E1P 二二 GC0二 PE=QG二二PCD ZOCD

8、同底等髙故 S二 FCIS二 QCD【例2】(2020江苏江阴月考)如图，在二ABC中拐三C=10旳：BC=6cm，点Q为曲的中点.(1)如果点P在线段BC上以anls的速度由点B向点C运动，同时，点。在线段CU上由点C向点*运 动.二若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，二EPD与二C0P是否全等，请说明理由； 二若点O的运动速度与点P的运动速度不相等，当点O的运动速度为多少时，能够使二EPQ与二Q0P全等?(2)若点。以二中的运动速度从点C岀发，点P以原来的运动速度从点E出发都逆时针沿二拐C三边运动，条边上相遇.【答案】(1)二二BPDX1CQP全等,点。的运动速度- cm/s

9、. (2)经过30秒后点P与点0第一次在 二4BC的边BC上相遇.【解析】解:(1)二BPD与二CQP全等,二点P的运动速度是Ids,点O的运动速度是cm)s,二运动 1 秒时，BP=CO=lan, 二 BC°=6cm、 二 CF=5mZ=10, D为.13的中点,ZBD=5.二 BD=CP, 二 AB 三 C二 B=H二 BPD 二 CQP :点0的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP*CQ、若二BPD 口二CQP 全等,只能 BP=CP=3cm, BD=CO=5cnt, 此时，点P运动3cm,需3秒，而点O运动5ctn, 二点Q的运动速度是| c)n /5.(2)设经过r秒时，

10、P、0第一次相遇，-p的速度是1厘米/秒，0的速度是|厘米/秒，_5一 10+10-/=人3解得：戶30,此时点Q的路程=30x |=50 （厘米），二 50V2x26二此时点。在EC上，二经过30秒后点P与点O第一次在二0C的边BC上相遇.【例3-1 （2019-武汉市期中）如图,已知： MON=3Q°t点旳、出、旳、在射线ON上，点0、场、艮、.在射线OM上，二送诅2、ZAiB3.二七以九、均为等边三角形，若贝iJCJpio的边长为（）川 32B. 64C. 128D 256【答案】D又二二3=60。，ZZ5=180c-60°-30°=90%ZZWAZl=30

11、°,二 CUi=2l5i=1， 二去二二J仏対3、Z-43BU4是等边三角形，Z 211=110=60% 113=60%Z 14=212=60%Z-4i5i ZA2B2 ZA3B39 BAi 二B2A3ZZ 1=26=27=30% Z5=28=90°.二 *1 出 2=25uh BU=2Byi3tA4B4=SBih=&AyBs=l6Ba 尸 16,二的边长为2叫二二辺"io的边长为291=28=256.故答案为 【例3-2】（2020浙江温州月考）如图,图二是一块边长为1,周长记为丹的正三角形纸板,沿图二的底边 剪去一块边长为+的正三角形纸板后得到图二，然

12、后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即英 边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图二、口，记第"（”三3）块纸板的周长为P”，则 PnPn 1等于（）A-占瓦3-£【答案】【解析】解：戸=1 + 1 + 1=3, 匕=1 + 1+ '=?,2 23 = 14-1 + x3= ,441123P4=l + 1 + x2+-x3= ，488二 P3匕=r424 22门厂 23 111 1Pq - A= 一= _ = r848 2_ 1 二几几尸刁T，故答案为：2【变式3-1 （2020-ilj东牡丹期末）如图，已知ZMON = 30°,点儿，A.人

13、，在射线ON上,点B-在射线OM上，AA/Q,AA廻耳，均为等边三角形.若O坊=1,则乂C. 132D. 256【答案】E【解析】解:二二活必 是等边三角形,BAB->t 一2313=一*B2O=60c 二二 0=30。二二如 02=90。ZZO=ZOJi5i=30°二 OB1 = J1B1 =A i5z= 1同理可得：2込3=4,必尸8J詔产2"二 ZAzBzBg 的边长为 2 =128.故答案为：B.【变式3-2 （2019-贵州印江月考）如图,已知4 = 45人坊=人每舛82=金尽43=九坊若0=70%则厶£人0心的度数为（）【答案】c【解析】解：二=

14、0 = 70。Z 2.1415=2=70°二心=仏二二山岀1=二“41 Buh15= 4 A214" 21 SA>21 70° ZZJU2Bi=- Z.iB=35。2 21 70° 同理可得：=JUsB2=- ZJU25i= = 17.5°2 2-1 70°二如尸 ZJ2J3-ff2= = 8.75°2 270° yg尹故答案为c.【习题精练】1.（2020山东青州期中）如图，平而直角坐标系中，点/任第一象限，二JOTO。，点P在x轴上，若匚POJ是等腰三角形，则满足条件的点P共有个.【答案】4.【解析】解：

15、有OA=OP. AO=AP. PO=PA三种情况:二以O为圆心，QJ长为半径画弧，于X轴有2个交点P2、P3,:以2为圆心，OJ长为半径画弧，与X轴有2个交点O、P1，点O与0J不能构成三角形，丹符合条件，二作线段02的垂直平分线，交x轴有1个交点P,二 Pd=PQ,二R符合条件，综上所述：符合条件的点共有4个，故答案为：42. （2019浙江宁波模考）如图，Z4OB = 10°，点P在0B上.以点P为圆心，0P为半径画弧，交04于 点片（点片与点。不重合），连接P£；再以点人为圆心，0P为半径画弧，交0B于点P】（点竹与点P 不重合），连接PR；再以点鬥为圆心，OP为半径

16、画弧，交0A于点R （点A与点人不重合），连接出出； 按照上而的要求一直画下去，得到点代，若之后就不能再画岀符合要求点化+i 了，则 =【答案】8【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角Z4OB = 10°；由三角形外角和龙理可得，第二个等腰三角形的底角20。，第三个等腰三角形的底角30。，同理可得第”个等腰三角形的底角度数为10“，因为等腰三角形的底角小于90°, 10n<90,即”v9故答案为&3.（2020河北保左一模）如图，ZAOB = 10°,点P在OB上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点片（点A与点0不重合），连

17、接P£再以点A为圆心，OP为半径画弧，交OB于点匕（点P占点P不重合），连接PP“再以点P2为圆心，0P为半径画弧，交04于点出（点出与点A不重合），连接叨； 按照上而的要求一直画下去，就会得到OP = PP=PR = PR,则(1) ZPfR =【解析】解：（1）由题意可知，PO = PXP, PP = P2P则zworp,今砒=今驴，,二 ZAOB = 10。，二今M = 20。, Z马纬4=30。, Z朋3=40。, Z片片A = 50。, Z叨B = 60。，,二 今踽=1800-40°-40°=1000,故答案为：100：（2）根据题意,10n<9

18、0,解得"<9.二“为整数，故”=8.二 Z朋B = 60。，PAP5=P5P6,二片出人为等边三角形，二与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP）,故答案为:9.4. （2020福建连城期中）如图，itMBC中，ZC = 90°, AC = BC = 4cm,点D是斜边A3的中点.点E从点”岀发以lcm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线C4方向运动，规泄当点E到终点C时停止运动.设运动的时间为尤秒，连接DE、DF.(1) 填空：Swc=cnr:(2) 当x = l且点F运动的速度也是lcm/s时，求证：DE = DF；(3) 若动点F以3

19、cm/s的速度沿射线C4方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存在某个时间x, 使得的而积是BQE而积的两倍，请你求岀时间x的值.4【答案】(1) 8： (2)见解析：(3) 一或4.5【解析】解：(1)二2二 S 二朋尸x4x4=82故答案为：8(2)如图：连接CD二AC=BC. D是肿中点二 CD 平分二4CE又二二 JC尿 90。二 ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45QZCD=BD 依题总得：BE=CFBE = CF在二CDF ' j 二BDE 中，乙B = ZDCABD = CD二CDF二BDE (SAS)二 DE=DF(3 )过点D作DMZBC于点M DNZAC于点N,二A

20、D=BD, ZJ=ZB=45°.二AND=：DMB=90。二ADN二二BDM （丄二 DN=DM肖 S二AD=2S二BDE 11二-*AFxDN=2x - xBExDM22二 |43x|=2x二 X1=4, X2= 54综上所述：匚&或4.5. （2020广东佛山月考）如图，在等边AABC中，AB = AC = BC = O厘米，DC = 4厘米，如果点M以3厘米/的速度运动.（1）如果点M在线段CB上由点C向点3运动.点N在线段BA上由3点向A点运动，它们同时出发, 若点N的运动速度与点M的运动速度相等：二经过2秒后，ABMV和CDM是否全等？请说明理由.二当两点的运动时间

21、为多少秒时，ABMN刚好是一个直角三角形？（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点3出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿AABC三边运动，经过25秒时点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒.（直接写岀答案）【答案】见解析.【解析】解：（1）二BMN二CDM.理由如下：N、M速度相等，=2二 CM=BN=6, BM=4二 BN=CMZCD=4ZBM=CDZZB=ZC=60°二 BMN 二 CDM二设运动时间为t秒，二BMV是直角三角形有两种情况：当二 NMB=9Z 时，二BNM=3$、BN=2BM二3r=2 (103)解得：匸20T当二BUY仁9

22、0。时，同理，BM=2BN.即103r=2x3人解得：t= 二'"晋或罟秒时，二BMN是直角三角形:（2）分两种情况，二若点M运动速度快,二若点N运动速度快,则 3x25-10=25Kv.解得 Kv=2.6；则 3x25+20=25Kv,解得 Kv=3.8.6. （2018湖北广水期中）（阅读）如图1,等边二1SC中，P是2C边上一点，。是CE延长线上一点，若AP=BQ.则过P作PF-BC交AB 于F,可证二1PF是等边三角形，再证匚PDF二0沏 可得D是FB的中点.请写出证明过程.（运用） 如图2,匚肋C是边长为6的等边三角形，P是2C边上一动点，由/向C运动（与C不重合）

23、，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CE延长线方向运动（0不与B重合），过P作PE-.1B 于E,连接P0交25于D图1图2（1）当二BOD=30°时，求,2的长：（2）在运动过程中线段肋的长是否发生变化？如果不变，直接写岀线段Q的长；如果发生改变，请说 明理由.【答案】见解析.【解析】解：【阅读】Z-ABC是等边三角形，ZZABC=ZACB=60°,ZPFZBC,二 ZAFP=二 APF=二 ABC=二心=60。，二 AP=PF,二 AP=BQ.二 PF=BQ.二 PF 二 BQ,二FPDYDQB、二PFDYQBD、二二PFD 二匸 QBD；二 DF=D

24、B【运用】（1）二ABC是边长为6的等边三角形，二二心=60。，二二 BQD=30。，二二 0PC=9O。，设 AP=x9 贝iPC=6-xt OB=x9二 QC=QB+BC=6g二在 RtZOCP 中.二300=30。，二PC =丄00 即 6-x=- （6+x）,解得x=2,2、 2二 2=2：（2）过。作QGAB.交直线松于点G,连接0E, PG,又二 PE 二 AB 于 E二点P、。速度相同，二 AP=BQ.-ABC是等边三角形，二 ZJ =二 ABC=二 GBO=60°,±.ZAPE 和二B0G 中，二二 AEP=：BGQ=90。,二二 APEYBQG,二二APE

25、二BOG （丘，二iE=BG, PE=OGPEZOG.二四边形PEOG是平行四边形，1二 DE=EG、2二 EB+AE=BE-BG=AB,DE=-ABt2又二等边二的边长为6,二 DE=3,故运动过程中线段ED的长始终为3.7. (2020乐淸市月考)如图所示，二1SC中，dB=dC=BC=10厘米，M、N分别从点J、点B同时岀发, 沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B 点时，M、N同时停止运动.设运动时间为f秒.(1) M、N同时运动秒后，M、N两点重合？(2) 当05时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形二仙？(3) M、N在BC

26、边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰二：LMN,如果存在，请求出此时运动的 时间，如果不存在请说明理由.【答案】见详解.【解析】解：(1)M N同时运动10秒后，点M、N重合;故答案为10：(2)如图，根据题意得：AM=t, BN=2t,则九辰10-2人/=102h 解得 /=；3当0W5时,M、N同时运动巴秒总可得等边三角形口血¥：3（3）M、N在BC边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，理由如下: 由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处.如图，二 AN=AM二 1MN=：ANM二AMCVANB二 AB=BC=/C二二CB是等边三角形ZZC=Z5在二和二3N中二AC=A

27、B,二C=：B,二AMCVANB二二 ACM 二二 ABN二 CM=BN设运动时间为y秒时，二血V是等腰三角形ZCAy- 10. NB=30 - 2y40一尸10=302p,解得尸40二当运动时间为一秒时,M, N在BC匕使为等腰三角形.38. （2020南京月考）在A3C中，ABAC>90°, AB的垂直平分线交BC于M ,交于E, AC的垂直平分线交BC于交AC于F由(1)可知aAMN是.(2)求证 BM=MN = NC：三角形;(3)(4)去掉(1)中的“ZB&C = 120。啲条件，英他不变，判断 AMN的形状，并证明你的结论;当与ZC满足怎样的数虽:关系时，“

28、AMN是等腰三角形？直接写出所有可能的情况.【答案】见解析.【解析】解:(1)连接zLMZAB=AC. Z5JC=120°ZZB=ZC=30°二松的垂直平分线交BC于M, AC的垂直平分线交BC于N,cn=an,ZZC=ZC4A=3O°,二尿二胚=30。，二二JAE60。，二呦&60。二 ZM£60°二二:LWV是等边三角形二 AM=AN=MN 二 BM=MN=CN(2) 等边；(3) 等腰三角形，理由如下：二 ABNC,二二 BYC,二£8的垂直平分线交BC于M, AC的垂直平分线交BC于N、CN=AN.二 C=：CAN、二

29、 B=：BAM,二二AMN=2二B,二ANM=2二C 二二 BYC二 AMNVANM 二 AM=AN二二凡破是等腰三角形（4）二AMN=2二B,二ANM=2二C , ZM4A180°-2ZB-2ZC,二当S氐側时，二BYC；I：当时，得 2ZB+ZC=90°：I：当时，得二B+2二 CTO。.9. （2020长沙月考）点P是边长为3c加的等边二13C的边上的动点，点P从点岀发.沿线段23向点3运动.图1图2（1）如图1,若另一动点0从点E出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P,。都以lcm/s的速度同时岀 发，设运动时问为t（5）,连换AO. CP交于点二当为何值时，匸PB

30、Q是直角三角形？二在P，。运动的过程中，二会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.（2）如图2,若另一动点0从点C岀发，沿射线EC方向运动，连接F0交2C于点刀，如果动点P, 0都 以lcw/s的速度同时岀发，设运动时间为r （s）,连接PC,:当为何值时，匸DCQ是等腰三角形？二在点P，。的运动过程中，请探究二PCD和二0CZ）的而积之间的数量关系.【答案】（1）二=1或2；二不发生变化，二C©60。： （2） Z/=l；二面积相等【解析】解：（1）二当二是直角三角形时，二B=60。, BP=3-t, BO=tZPOB =90°,此时 BP=2BO:根据

31、题意，得3-/=2r解得曰二当二BPO=90°时，此时 BO=2BP二根据题意，得/=2（3-r）解得：戶2二当片1或2时，二PBQ是直角三角形：二不发生变化，二CMC=60。AP = BQ在二4BQ ' j二CAP 中，ZAPQ = ZCAPAB = CA二二肋0 二二 CLIPZZBAO=ZACP二:胚!CYMd0C+二加。=ZCiP=60°Z ZCA/O=ZMJC+ZMCJZZCA/0=ZG1P=60°故不发生变化，二CMQ60。：(2)二二二DC0=12O。，当二QC0 是等腰三角形时，CD=CO二 Z PDA= Z CDO= Z COD=3QQ二

32、 ZJ=60°二 ZJPD=90°二AD=2AP, HP AD=2t二 4C=AD+CD二2什戶3解得t=l故答案为匸1时，二DCQ是等腰三角形：过 P 作 PE二AD 于& 过 0 作 0GZ.1D 于 G,则 PEQG 二 g 二 AEP易 iiEZ£.4PZZGC0二 PE=QG二二PCD和二0CD同底等髙二二PCD和:OCD W积相等故答案为二PCD和二03而积相等.10. （2020-广东盅来期末）如图，在等边-ABC中，肋=6和，动点P从点出发以 Ss的速度沿血匀速 运动.动点。同时从点C岀发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点

33、B时，点P、O 同时停止运动.设运动时间为t（5）.过点P作PEAC于E,连接P0交/C边于D 以C0、CE为边作平 行四边形COFE.（1）当/为何值时，匚肿。为直角三角形：（2）是否存在某一时刻r,使点F在-ABC的平分线上？若存在，求出f的值，若不存在，请说明理由：（3）求DE的长.【答案】（1） 2； （2）存在,Q3； （3） 3cm【解析】解：（1）Z-ABC是等边三角形，ZZB=60°,2：当 BO=2BP 时，二 BPQ=92,二6+/=2 （6-0,二=2, 二r=2时，二肿。是直角三角形.（2）存在.理由：连接BF交/C于M.二EF 平分二拐C, BA=BC、ZB

34、FZAC. AM=CM=3an,二 EF 二 BO,二EFM=：FBC= 4 二 13C30J2ZEF=2EM,二f=2(3 -丄，力2解得r=3(3)过P 作 PK/BC交2C于 K.Z ZABC是等边三角形，二二3=二扌=60。，二 PK 二 BC,二二PK=Z8=60。，二二=二 APK= ZAKP=60°,二二APK是等边三伦形,二 RUPK,二 PEAK,二 AE=EK.二 1P=CQ=PK二PKD=：DCQ, ZPDK=ZODC.二 PKD 二 QCD.二 DK=DC,二DE=EK+DK= LAK+CK) =AC=3cm 2 211.(2019-哈尔滨市月考)如图，A(6

35、,0),3(0,4)，点E关于兀轴的对称点为C点，点Q在x轴的负半轴上,二桃 的面积是30.(1)(2)OZA xC0I/C4 xC/A x D (9 l/A xtC求点D坐标:若动点P从点3出发,沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为秒，AAPC的面积为S,求S与/的关系式.【答案】见解析.【解析】解:由题意知，”"。=30, 二3=15, OD=9.:点D坐标为（-9.0）：（2）二点、5（0.4）关于x轴的对称点为C点, 二点C坐标（0,-4）.二当 0<z<8 时.S二3 什24,当/>8 时,S=34412. （2020湖北襄州期末）已知等边二15C的边长为4c阳点P. 0分别是直线丘8, EC上的动点.（1）如图1,当点P从顶点/沿'毎向B点运动，点。同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为IcMs,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为秒，连接20 PO.二当f=2时，求匚zl°P的度数.:当为何值时匸PBQ是直角三角形？（2）如图2,当点P在的延长线上，Oh.BC上，若PQ=PC,请判断肿，C0和/C之间的数量关系，