2021届重庆中考复习：重庆中考几何题分类汇编(含答案)

1、B重庆中考几何题分类汇编(含答案)类型1线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验 例1如图Z3 1，在 ABC中，AB= AC, CMI平分/ ACB交AB于M,在AC的延长线上截取 CN BM,连接 MN交BC于P,在CB的延长线截取 BQ= CP连接 MQ.求证：MQ= NP(2)求证：CN= 2CP.针对训练：E、点F分别在 AB BC上，且满足 AC= AE= CF,连接CE1. 如图Z3 2,在？ABCD中，AC丄BC,点AF、EF.(1)假设/ ABC= 35,求/ EAF 的度数; 假设 CEL EF,求证：CE= 2EF.2. ，在 ABC中，AB= AC, / BAC= 9

2、0, E为边AC任意一点，连接 BE.(1) 如图，假设/ ABE= 15, 0为BE中点，连接 AQ且AO= 1，求BC的长； 如图，F也为AC上一点，且满足 AE= CF,过A作ADL BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE1于点G,连接AG假设AG平分/ CAD求证：AH= 2AC.BC3. 在 ACB 中，AB= AC, / BAC= 90，点 D是 AC上一点，连接 BD 过点 A 作 AE! BD于 E,交 BC于 F.(1) 女口图，假设 AB= 4, CD= 1，求AE的长；(2) 如图，点 G是AE上一点，连接 CG假设BE= AE+ AG求证：CG= 2AE.4.

3、在等腰直角三角形 ABC中，/ BAC= 90 , AB= AC, D是斜边BC的中点，连接 AD. 如图，E是AC的中点，连接 。巳将厶CDE沿CD翻折到 CDE，连接 AE，当AD=6时，求 AE的值.1(2) 如图，在 AC上取一点E,使得CE= 3AC,连接DE将厶CDE沿CD翻折到 CDE，连接 AE交BC于点F,求证：DM CF.类型2线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2如图，在 ABC中，/ BAC= 90，在 BC上截取BA BA 连接 AD,在AD左侧作/ EAD= 45交BD于E. 假设AO 3，贝U CE=(直接写答案)；(2)如图，MN分别为AB和AC上的点，

4、且AM= AN,连接 EMDN,假设/ AME-Z AND=180，求证：DE=DN+ ME如图，过 E作EF丄AE交AD的延长线于 F,在EC上选取一点 H使得EH= BE,连接FH,在AC上选 取一点G,使得AG= AB,连接BG FQ 求证：FH= FG.针对训练:AA 1.如图 Z3- 7,在?ABCD中, AE! BC于 E, AE= AD(1) 假设 BE= 2EC AB= -13，求 AD的长；(2) 求证：EG= BG+ FC.EG! AB于G,延长GE DC交于点F,连接AF.2 .如图，在正方形 ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接 AC CP,过点C作CF丄CP于点C

5、,交AB 于点F，过点B作BM丄CF于点N,交AC于点M. 假设 AP=【AC, BC= 4,求 Sacp;8 假设 CP BW 2FN,求证：BC= MC.3 .如图，在厶ABC中，AB= BC以AB为一边向外作菱形 ABDE连接DC EB并延长EB交AC于 F ,且 CBLAE 于 G.(1)假设/ EBG= 20,求/ AFE试问线段AE AF, CF之间的数量关系并证明.类型3倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3如图Z3 10，在 RtAABC中，/ ABC= 90, D E分别为斜边 AC上两点，且 AD= AB CE= CB 连 接 BD BE.(1)求/ EBD的度数；如

6、图Z3 10，过点 D作FD丄BD于点D,交BE的延长线于点 F,在AB上选取一点 H,使得 BH= BC, 连接CH在AC上选取一点 G,使得GD= CD连接FH FQ求证：FH FG.针对训练:1. 如图，在?ABCD中, G为BC的中点，点E在AD边上，且/ 1 = 7 2.求证：E是AD中点;(2)假设F为CD延长线上一点，连接B G C2. 如图Z3- 12,在菱形 ABCD中,点E、F分别是 BC CD上的点，连接AE AF, DE EF, / DAE=Z BAF.求证：CE= CF; 假设/ ABC= 120,点G是线段AF的中点，连接3. 在 Rt ABC中，/ ACB= 90

7、，点 D与点 B在 AC同侧，/ ADCZ BAC 且 DA= DC 过点 B作 BE/ DA交 DC于点E，M为AB的中点，连接 MD ME. 如图，当/ ADC= 90时，线段 MD与ME的数量关系是 ;(2) 如图，当/ ADC= 60时，试探究线段 MD与ME的数量关系，并证明你的结论；ME(3) 如图，当/ ADC=a时，求 胡勺值.4. 如图，等边三角形 ABC中，CE平分/ ACB D为BC边上一点，且 DE= CD,连接BE.假设CE= 4, BC= 63，求线段BE的长； 如图，取 BE中点P,连接 AP, PD AD,求证：AP丄PD且AA J3PD; 如图，把图Z3 14

8、中的 CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE,点P为BE中点，连接AP, PD, AD问第 问中的结论还成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由. 5. 在 ABC中，以AB为斜边，作直角三角形 ABD使点D落在 ABC内，/ ADB= 90 .(1)如图，假设 AB= AC, / BAD= 30, AD- 6 西，点P、M分别为BC AB边的中点，连接 PM求线段PM 的长； 如图，假设AB= AC把厶ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到 ACE连接 ED并延长交BC于点P, 求证：BP= CP;如图，假设 AD= BD,过点D的直线交 AC于点E,交BC于点F, EF丄AC且

9、AE= EC,请直接写出线段 BF、FC AD之间的关系(不需要证明). 类型4中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线 例4 2021 河南如图，在 Rt ABC中，/ A= 90 , AB= AC,点D, E分别在边 AB, AC上，AD= AE,连 接DC点M P, N分别为DE DC BC的中点.(1)观察猜想：图中，线段 PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; 探究证明：把 ADE绕点A按逆时针方向旋转到图的位置，连接 MN BD CE判断APM的形状，并 说明理由；(3)拓展延伸针对训练：1. 如图，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形 ABE和等腰三角形A

10、CD AB= AE, AC= AD,且/ BAEZ CAD= 180,连接 DE,延长 CA交 DE于 F.(1)求证：Z CAB=Z AEDbZ ADE 假设Z ACB=Z BAE=Z CAD= 90,如图，求证：BC= 2AF;假设在 ABC中，如图所示，作等腰三角形 ABE和等腰三角形 ACD AB与DE交于点F, F为DE的中点， 请问(2)中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明，假设不成立，请说明理由. ABC不动， ADE绕点A旋转,2. 如图，在 ABC和厶 ADE中，AB= AC, AD= AE,/ BAOZ EAD= 180, 连接BE、CD F为BE的中点，连接AF. 如图

11、，当/ BAE= 90时，求证：CD= 2AF;(2)当/BA字90时， 的结论是否成立？请结合图说明理由.在边 AC上取一点 E,使AE= AD,M 使GM= AB,连接BM,点N是A3. 如图，在等腰三角形 ABC中，AB= AC,在底边BC上取一点D, 连接DE,在/ ABD的内部作/ ABF= 2 / EDC交AD于点F.(1) 求证： ABF是等腰三角形；(2) 如图，BF的延长交 AC于点G.假设/ DAC=/ CBG延长 AC至点 BG的中点，连接 AN试判断线段 AN BM之间的数量关系，并证明你的结论类型5角的和差倍分 图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后

12、关系现. 角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看.例5.如图，把 EFP放置在菱形 ABCD中，使得顶点EF= 6 3，/ BA* 60，且 AB 6 3.(1)求/ EPF的大小； 假设AP= 10,求 AE+ AF的值.E, F, P分别在线段 AB, AD, AC上，EP= FP= 6,针对训练：1.：如图， AD平分/ BAC / B+Z C= 180,/ B= 90，易知：DB= DC.探究：如图， AD平分Z BAC Z ABDZ ACD= 180,/ ABDc 90，求证：DB= DC.ABF.(1)女口图，假设 AB= 4, CD= 1，求AE的长； 如图

13、，点 P是AC上一点，连接 FP,假设AP= CD求证：/ ADB=/ CPF.，在？ABCD中，/ BAD= 45 , AB= BD, E 为 BC上 一点, 于G,延长DG交BC于H.(1) 如图，假设点E与点C重合，且AF= 5,求AD的长；(2) 如图，连接 FH,求证：/ AFB=/ HFB.连接AE交 BD于 F,过点 D作 DGLAE2 .在 ACB中，AB= AC,/ BAC= 90，点D是AC上一点，连接 BD,过点A作AEL BD于E,交BC于4. 如图，将正方形纸片 ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点 C落在点N处，MN与C

14、D交于点P,连接EP.当点M在边AD上移动时，连接 BM BP. 求证：BM是/ AMP的平分线；(2) PDM的周长是否发生变化？证明你的结论.类型6旋转型全等问题：图中假设有边相等，可用旋转做实验例6. ABC中，/ BAC= 90, AB= AC,点D为直线BC上一动点点D不与B, C重合，以AD为边在 AD 右侧作正方形ADEF连接CF.1观察猜想：如图，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为： .BC, CD CF之间的数量关系为： ;将结论直接写在横线上2数学思考：如图Z3-25，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？假设成立，请给 予证明；假设不成立，请你写出正

15、确结论再给予证明. 拓展延伸：如图 Z3 25，当点D在线段BC的延长线上时，延长 BA交CF于点G,连接GE.假设AB 针对训练：1. 在四边形 ABCD中，/ B+Z 180，对角线 AC平分/ BAD.1如图，假设/ DAB= 120 ，且/ B= 90 ，试探究边 AD AB与对角线AC的数量关系并说明理由. 如图，假设将1中的条件“/ B= 90去掉，1中的结论是否成立？请说明理由. 如图，假设/ DAB= 90，探究边 AD AB与对角线AC的数量关系并说明理由.2 .如图，在正方形 ABCD中，点E为边BC上一点，将 ABE沿AE翻折得 AHE延长EH交边CD于 F,连接AF.求

16、证：/ EAF= 45;(2)延长AB, AD如图，射线 AE AF分别交正方形两个外角的平分线于M N,连接MN假设以BMDN MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论.3.如图，在正方形 ABCD内有一点P, PA= 5, PB= 2, PC= 1 ,求/ BPC的度数.【分析问题】根据条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的条件集中在一起， 于是将 BPC绕点B逆时针旋转90,得到了 BP A(如图Z3-28)，然后连接 PP .(1) 请你通过计算求出图 Z3-28中/BPC的度数；(2) 如图，假设在正六边形 ABCDEF内有一点P,且PA= 2 13, PB

17、= 4, PC= 2.请求出/ BPC的度数.BC BC B C 重庆中考几何题分类汇编答案例 1.证明：(1) T AB= AC,： / ABC=Z ACB./Z MBQ-Z ABC= 180, / AC聊/PCNk 180,：/ MBQ=/ PCN 在厶 QBM 和厶卩。“中，QB= PC,/ MBQ=/ PCN ： QBIW PCN(SAS) : MQ= NP.BM= CN过M作MG/ AC交BC于G,/ MG/ AC, ：/ MGB=/ ACB / MGC=/ PCN ：由(1)知，/ ABC=/ ACB ：/ ABC=/ MGB : MB= MG / MB= CN:MG=。在厶 MG

18、FHA NCP中，/ MPG/ CPN/ MGC=/ PCN, ： MG NCP(AAS)MG= NC:PG= CP, ： CG= CN PG 即 CG= 2CP.T CM平分/ ACB：/ BCM=/ MCA t MG/ AC ：/ MCA=/ GMC :/ BCM=/ GMC:MG= CQ / MG= CN : CN= CQ : CN= 2CP.针对训练1. 解：(1) T ACL BC ：/ ACB= 90,又t AC= CF, ：/ ABC= 35, ：/ EAF= 10;证明：方法1:取CF的中点M连接EM AM1t CE! EF, : EM= CM= FM= qCF,又t AC=

19、AE : AM为 EC 的中垂线，：/ CAW/ ACE= 90 , 又t/ EC/ ACE= 90, ：/ CAM=/ FCE又t/CEF=/ ACM= 90, ： ACMh CEF,:一= 一 , CM EFAC CE 2 又 t CF= AC= 2CM= =T ,即 CE= 2EF;CM EF 1 方法2 :延长FE至M 使EF= EM 连接CM t CE1 EF, ： CMF为等腰三角形， 又 t AC= AE= CF,且/ ACE=/ CFE易证)， : CMFA CEA : FM= CE= 2EF.2. 解：(1)如图，在 AB上取一点 M使得BM= ME连接在 Rt ABE中，t

20、 OB= OE : BE= 2OA= 2 , t MB= ME :/ MBE=/ MEG 15 ,：/ AME=/ MB / MEG 30 ,设 AE= x,贝U ME= BM= 2x , AM= 3x , T aB AE= bE , : (2x +V3x)2+ x2 = 22 , :x= 6;(负根舍弃),:AB= AC= (2 +3) 6 ；2 ,:BC= 2AB=3+ 1. 证明：如图，作 CPLAC交AD的延长线于 P , GMLAC于M. t BELAP, ：/ AHB= 90, ：/ ABF/ BAH= 90 , t/ BAF/ PAC= 90, ：/ ABE=/ PAC又 AB=

21、 AC / BAB/ACP= 90, ABEA CAP AE= CP= CF,/ AEB=/ P, 在 DCF和 DCP中，CD= CD/ DCF=/ DCPCF= CP, DCFA DCP / DFC=/ P, / GFB/ GEF GB GF, / GML EF, FW ME ： AB CF, AF= CE - AW CM 在厶GAH和厶GAM中 ,/ GAH=/ GAM1/ AHG=/ AMGAGKm AGM - AH= AM= CM= qAC.AG= AG3. 解：1 T AB= 4, AC= AB= 4./ CD= 1 , AD= AC- CD= 3.在 Rt ABD中，/ BAC=

22、 90 , BD= AB+ AD= 5 ,1 1S ABD=gAE BD AE= 2.4.2证明：如图，在线段 EB上截取EH= AE,并连接/ AE BD, EH= AE, AH= 2AE./ BE= AE+ AG - BH= BE HE= AG./ BAD=/ BEA= 90 , / ABE+/ BAE=/ CAGF/ BAE= 90 , / ABE=/ CAG./ BA= AC,ABHm CAGCG= AH= 2AE.4. 解：1 I/BAC= 90 , AB= AC, D是斜边 BC的中点， / ADC= 90, / ACD= 45 .在 Rt ADC中 , AC= A sin45 =

23、 23.1/ E 是 AC的中点， CE= ?AC= ,3.将 CDE沿 CD翻折到 CDE , CE = CE=3 , / ACE = 90 由勾股定理，得 AE=弋CE 2+ AC = V?5.证明：如图，过 B作AE的垂线交 AD于点G,交AC于点H./ ABH+/ BAF= 90, / CAH/ BAF= 90, / ABH=/ CAF.又 AB= AC / BAH=/ ACE = 90,ABHA CAE .- 1AH= CE = CE, / CE=-AC AH= HE= CE.3/ D是 BC中点， DE/ BH, G是 AD中点.在厶 ABG和厶 CAF中：AB= AC / BAD

24、=/ ACD= 45, / ABH=/ CAF111 ABGA CAF. AG= CF.t AG=AD, CF=-AD= CD. DF= CF.222类型2线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验 例 2 :解：(1) 3(2)证明：延长 DN到K,使得NK= ME连接AK如图, 因为/ 1 + / 3= 180, / 1 + / 2= 180, / 2=/ 3.在厶AMEA ANK中,AM= ANB E D C/ 2 = Z 3, AM ANI(SAS).二 AE= AK / 4 =Z 5,ME= NK/4 +Z EAC= 90,./ 5+/EAC= 90,即/ EAK= 90,/ EAD

25、= 45, / KAD=/ EAK-/ EAD= 90 - 45= 45/ EAD=/ KAD在厶 EADm KAD中,EA= KA/ EAD=/ KADEADA KADSAS),AD= AD ED= KD / DK= DI+ KN ED= Dh+ KN又 NK= ME - ED= Dt+ ME证明：延长 AE到J,使得EJ= AE,连接JH , JF.如图，在厶ABE和厶JHE中，AE= JE ,/ AEB=/ JEH ABEA JHE(SAS),BE= HE, JH= AB, / 1 = / 2, / AB= AG - JH= AG/ AE= EJ , EF AJ , AF= JF , /

26、 JAF=/ AJF= 45 ,即/2+/ 3= 45, T/ BAG= 90, / 1 + / EADF/ 4= 90 , / 1 + /4= 90-/ EAD = 90- 45= 45 ,/ 1 = / 2, / 3=/ 4 ,在厶JHF和AAGF中，JH= AG/ 3 =/ 4, JHFA AGF(SAS), FH= FG.JF= AF,针对训练：1. 解：(1) 四边形 ABGD是平行四边形， AD= BG./ BE= 2EG 设 GE= x , BE= 2x , BC= AD= AE= 3x.又 EGLAB / AEB= 90, AB = aE+ BE2 ,即 13= 9x2+ 4x

27、2 , - x= 1, - AD= 3x = 3. 证明：如图，过 G作GHLAB于H,那么四边形CHGF为矩形. CF= HG / CHB= 90 , GF= CH./ AEL BG, EG丄 AB, / AEB=/ GHB= 90 ,/ BCF+/ B= 90, / BAE+/ B= 90, / BGH=/ BAE. 又 AE= BC AGEA GHB - GE= BH, AG= GF, GE= BH= BG+ GH= BG+ GF.2. 解：(1) T四边形 ABGD是正方形，BC= 4 , AB= AD= GD= BC= 4, / ADC=/ ABC= 90 t在 Rt ABC中，AC

28、= AB + BC= 42 , AP= 7AC= 7.2 , - Sa acf= AP CD= 72. 证明：方法一：如图，在NC上截取NK= NF,连接BK.精选四边形ABCD是正方形，AB= BC= DC, / ABC=Z BCD-/ ADC= 90 ./ BCD= 90, CF丄 CP, / 1 + / DCF=/ 2+Z DCF= 90,/ FBC=/ 3,/ 1 = / 2,v在厶 FBC 和厶 PDC中，BC= DC/ 1 = /2 , FBCA PDC(ASA), CF= CP,/ CP 2FN= BM CF FK= BM 即 CK= BM/ FBC= 90 , BML CF,

29、/ 1 + / NBC=/ 4+/ NBC= 90 ,AB= BC,./ 1 = /4, 在 ABM 和厶 BCK 中，/ 4=/ 1 ,BM= CK ABMA BCK(SAS), / 7 =/ 6./ BMLCF, NK= NF, BF= BK, / BF= BK BM1 CF, / 4 =/ 5 ,./ 4 +/ 7=/ 5+/ 6, T/ 8=/ 4+/ 7 , / 8 =/ MBC BC= MC.解：方法二：如图，延长BM交AD于点G,过A作AELBG于E先证 AEBA BNC(AAS) , AE= BN,又证 AEGA BNF( AAS) , E* NF,再证四边形BCPG为平行四边

30、形， B* CP, / CP BM= 2FN, BG- BM= 2EG MG 2EQ .点 E 为 MG中点, / AEL MG EM= EG AM= AG, / 3 =/ 4 ,/ 2 =/ 3, / 1 = / 4, / 1=/ 2 , BC= MC.3. 解：(1) / EB& 20 , CB丄 AE, / BE* 70o , / CBF=/ EB& 20 ,四边形 ABDE是菱形,/ ABE=/ BE& 70 , / ABd 50 ,/ AB= BC, / FCB= 25 , / AFE=/ CBF+/ FCB= 45;(2)AE , AF, CF之间的数量关系是 AF2+ cF= 2

31、AE2 ,证明如下：连接DF,四边形 ABDE是菱形, AB= DB / DBE=/ ABE / DBF=/ ABF,/ BF= BF,DBFA ABF(SAS), DF= AF, / BDF=/ BAF, t/ BCF=/ BAF, / BCF=/ BDF/ CB丄 AE, AE/ DB DB丄 CB,CB= AB= BD,DBC是等腰直角三角形， DC= 2BD= 2AE ,/ DPB=/ CPF / CFP=/ DBP= 90, dF+ cF= DC , 即有：AF2 + CF= 2AE2.类型3倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例 3 解：(1)设/ BEC= a , / BD=

32、卩,贝U/ C= 180 2a , / A= 180 2卩.在 Rt ABC中 , / ABC= 90 , / A+/ C= 90,即 180 2 a + 180 2卩=90 a+B = 135 , / EBD= 45 在厶FHB和厶FGB中，/ HBF=/ GB F ,BF= B F , FHBA FGB , HF= GF.法二：如图，延长 FD至点F，使得DF/ ADF=/ ABE证明：法一：如图，延长 BD至点B,使得DB = DB,连接FB、GBGD= CD在厶GDB 和厶 CDB 中， / GDB =Z CDB B D= BD,CBD. GDB CDB/. GB = BC= BH /

33、 GB D=/ FD丄 BD, B DB，/ FB= FB./ FB G= 45/ GB D,/ HBF= 90 45/CBD= 45/ CBDFB G=/ HBF.HB= GB ,BF .先证 DGFA DCF ,再证 BHFA BCF , HF= GF针对训练1. 证明：四边形 ABCDI平行四边形， AB= CD AD= BC / A=/ C.又/ 1 = / 2, ABEA CDGASA)，/ AE= CG1 G为 BC中点， CG= 2BC1 1 AE= CG=尹0= 2AD E是AD中点.(2)如图，延长 BE, CD交于点H.四边形ABCD是平行四边形， AB綊 CD / A=/

34、 ADH / 1 = /4,又/ 1 = / 2,/ 3 =/ 2, / 1 = / 2=/ 3=/ 4,二 FH= FB.由(1) , E是 AD中点， AE= DE ABEA DHE(AAS) AB= DH, CD= AB= DH= DF+ FH= DF+ BF,即 CD = BF + DF.2. 证明： 在菱形 ABCD中 , AB= BC= CD= AD / DAE=/ BAF / DAE- / EAF=/ BAF / EAF, 即/ DAF=/ BAE. DAFA BAE BE= DF.又 BC= CD CE= CF如图，延长DG交AB于H ,连接EH,在菱形 ABCD中 , AB/

35、 CD / DFA=/ GAH.精选/ G为 AF中点， AG= GF.又/ DGF=Z AGHDGFA HGA. DG= GH AH= DF.又 AB= CD - BH= CF.又 AB/ CD / ABC= 120,C= 60 .又 CP CF,CEF为等边三角形， CF= EF, / CFE= 60, EF= BH, / DFE=Z ABC= 120 又 BE= DF,EFDA HBE HE= ED,又 HG= DG - DGLGE.3. 解：(1) MD=ME2)MD= 3ME.理由如下：如图，延长 EM交 DA于点F./ BE/ DAFAMkZ EBM.又 AMk BM / AMF=

36、Z BME AMFA BME - AF= BE MF= ME./ DA= DC, / ADC= 60,BED=Z ADC= 60, / ACD= 60 ./ ACB= 90,ECB= 30 ,/ EBC= 30,CE= BE,AF= EC,DF= DE -DMLEF,DM平分/ ADCMDE= 30亠“/ ME占在 Rt MDE中 , tan / MDE=.MD 3 MD= 3ME.(3) 如图，延长 EM交DA于点F ,/ BE/ DA,FAMhZ EBM又 AM= BM / AMF=Z BME AMFA BME - AF= BE, MF= ME. 延长 BE交 AC于点 N,:丄 BNG=

37、Z DAC./ DA= DC,DCA=Z DAC/ BNC=Z DCA/ ACB= 90,ECB=Z EBC CE= BE, AF= CE. DF= DE, DML EF, DM平分/ ADC,a/ ADC=a,MDE=在 Rt MDE中 , md= tan / MDE= tang.4.解：如图，作EHL BC于点H. ABC是等边三角形，/ ACB= 60 .1/ CE平分/ ACBECH= / ACB= 30 ,/ EC= 4, / ECH= 30, EH= 2 , HC= 23./ BC= 63 , BH= 6,3 23 = 4 ,3.在 Rt BHE中 , BE= (4,3)2+ 22

38、= 52 , BE= 213.如图，延长 DP至 M 使DP= PM连接BMPD= PM在厶 PDEm PMB ,/ EPD=Z BPMPE= PB. PDEA PMI(SAS) . BM= DE / 1 = Z 2. BM/ DE / MBD-Z BDE= 180 ./ CE平分/ ACB DE= CDBDE= 30+ 30= 60/ MB= 120 . ABC是等边三角形，/ ABC= 60,./ 3= 60/ BM= DE DE= CD - BM= CDA* AC在厶 ABMm ACC中,/ 3 =Z ACDBM= CD ABM2A ACDSAS). AD= AM / 4=Z 5. PD

39、= PM - API PD/ 4 =Z 5, / BA+/ 5= 60 ,/4 +Z BAD= 60，即/ MA= 60 .1/ PAD=/ MA= 30 .在 Rt APD中, tan30PDAp AP=3PD 第问中的结论成立，理由如下：如图，延长DP至N,使DP= PN 连接 BN AN 取BE、AC交于点 O在 PDE和厶PNB中,PD= PN,/ EPD=Z BPNPDEA PNB(SAS). BN= DE, / 1 = Z 2.PE= PB,/ DE= CD BN= CD.vZ AOB=Z EOC/ 1 + Z 3+Z BAO=Z 2+Z 4+Z DECK / DCE./ BAO=

40、 60, / DEC=/ DCE= 30,1 + / 3=/ 2+/ 4 , / 3 =/4.在厶ABN和厶ACD中,AB= AC,/ 3 =/ 4, ABNA ACD(SAS). / 5=/ 6 , AN= AD.BN= CD/ PD= PN, AP PD.v/ NA(+/ 5= 60 ,1 / NAC+/ 6= 60,即/ NA= 60 . / PAD-/ NAD- 30 ,/在 Rt APD中,PDtan / A 帀 AP= 3PD.5.解：(1) / AD= 90, / BAD= 30 , AD= 6 ,3 , AD-J3 6 J3 cos / BAD= AB =AB , A* 12.

41、又 A* AC - AC= 12 ,1 PM ABC的中位线， PM= ?AC= 6. 证明：方法一：如图，在截取ED上截取EQ= PD,/ ADB= 90 , / 1 + /2= 90 ,又 AD= AE / 2=/ 3 ,又/ 3+/ 4= 90 , / 1 = /4.eJ在厶 BDP和厶 CEQ中，PD= QE / 1 = / 4 , BD= CE BDPA CEQ. BP= CQ / DBP=Z QCE又/ 5=Z 1 + Z DBP / 6=Z 4+Z QCE5 =Z 6, PC= CQ BP= CP.方法二：如图，过点EP于点N./ ADB= 90,./ 1 + Z 2= 90,

42、又 AD= AE2=Z 3,又/ 3+Z 4= 90,./ 在厶 BMDD CNE中，/ 1 = 7 4,/ BMD=Z CNE= BMDA CNE. BM= CN. 在厶BMP和厶CNP中，/ 5=/ 6,/ BM=/ CNP BMP CNP BP= CP.B作EP的垂线交EP的延长线于点1 = Z 4,90 , BD= CEBM= CN方法三：如图，过点略证 BMP CEP BF= CPB作BM/ CE交EP的延长线于点BF2+ FC2= 2AD 2.类型4中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线例 4:解：(1) PM=PN;PML PN(2) PMN为等腰直角三角形，理由如下： 由题意

43、知厶ABC和厶ADE均为等腰直角三角形， AB= AC, AD= AE,/ BAC=/ DAE= 90 , / BAD/ DAC=/ CAEF/ DAC / BAD=/ CAE BADA CAE / ABD=/ ACE BD= CE.又 M P、N分别是 DE CD BC的中点， PMCDE的中位线,1 PM/ CE且 PM=-CE / MPD=/ ECD=/ ACDF/ ACE.21同理,PN/ BD且 PN= ?BD, / DBC=/ PNC又 BD= CE / ABD=/ ACE PM= PN, / MPN=/ MPD/ DPN=/ ECD/ DCNF/ CNP=/ACDF/ ACEF/

44、 DCNF/ CBD=/ACDF/ DCNF/ ABDF/ CBD=/ ACBF/ ABC=90 , PML PN, PMN为等腰直角三角形；49(3) PMI面积的最大值为专9.提示：在旋转的过程中,由(2)中的结论知PMN为等腰直角三角形,Sa pmn=1PN=尹D ,当&pmn有最大值时，贝U BD的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A D三点共线时，BD如图，延长DA至 M点，使AM= DA 连接 EM ZBAEFZCAD= 180 , ZCADFZ CAM= 180 , ZBAE=ZCAM ZBAEFZCA(=Z CAZEAC即ZBAC=ZCAM成立证明如下:1 2 1149的值

45、最大，其最大值为 14，此时SPMN=fPN= BD = X 14X 14=.2 882针对训练：1.解：证明：延长DA交BE于G点./BAEFzI CAD= 180 ,即ZEAGFzI GAB-zI CAD= 180 ,/GAB-zI BAI CAD= 180 , ZEAGpzI CABZEAGzI AEDFzI ADE ZCAB=zI AEDFzI ADE 证明：如图，过 E点作DA延长线的垂线，垂足为 H/ AHE=Z AC= 90,由(1)可知，/ EAH=Z BAC又 AE= AB AHEA ACB EH= BC, AH= AC AC= AD AH= AD/ EHA=Z FAD= 9

46、0, AF/ EH/ A为DH中点, AF%A DHE中位线， EH= 2AF, BC= 2AF/ AM= AD, AD= AC - AM= AC 又 AB= AE / BAC=Z EAM BACA EAM BC= EM F、A分别为DE DM中点， AF%A DEM中位线， EM= 2AF, BC= 2AF2. 解：(1)证明：I / BAOZ EAD= 180, / BAE= 90, / DAC= 90 ,在厶ABE与厶ACD中，AE= AD, / BAE=/ CAD= 90 , AB= AC, ABEA ACD(SAS) CD= BE,在 Rt ABE中，F 为 BE 的中点， BE=

47、2AF, CD= 2AF.成立，证明：如图，延长 EA交BC于G,在AG上截取AH= AD,/ BAOZ EAD= 180 , / EABZ DAC= 180 ,/ EA聊 Z BAH= 180 , / DAC=Z BAH在ABH与 ACD中，AH= AD, / BAH=Z CAD AB= AC, ABH ACD(SAS) BH= DC,/ AD= AE, AH= AD, AE= AH,DBGGCD/ EF= FB , BH= 2AF , CD= 2AF.3. 解：(1)证明：T AB= AC,/ ABD=Z ACD/ AE= AD,./ ADE=Z AED/ BADZ ABD=Z ADEFZ

48、 EDC / EDO / ACD=Z AED/ BAD= 2/ EDCT/ ABM 2/ EDCBAD=Z ABF, ABF是等腰三角形；方法一：如图，延长 CA至点H ,使AG= AH连接BH 1T点N是BG的中点， AN= 2BHt/ BAD=Z AB, / DAC=Z CBG / CAB=Z CBA ABC是等边三角形. AB= BC= AC, / BAC=Z BCA= 60 ,t GMk AB, AB= AC, CMk AQ AH= CM,AB= BC在厶 BAH 和厶 BCM中，/ BAH=Z BC= 120 ,AH= CM BAHA BCM(SAS) BH= BM1 AN= qBM

49、方法二：如图，延长 AN至 K使NK= AN连接 同方法一，先证 ABC是等边三角形，再证 ANG2A KNBSAS),所以 BK= AG= CM然后可以证得/ ABK=Z BCN= 120 ,最后证 ABKA BCI(SAS),所以 BM= AK= 2AN类型5角的和差倍分例5 :解：(1)如图，过点 P作PGLEF于G.t PE= PF= 6 , EF= 63 , FG= EG= 33, / FPG=Z EPG= 2 / EPF.在 Rt FPG中,sin / FPG=器= / FPG= 60 , / EPF= 2/ FPG= 120如图，作 PMLAB于M PN!AD于 Nt AC为菱形

50、ABCD勺对角线， / DA(=Z BAC AM= AN PM= PN在 Rt PM囲 Rt PNF中 , PM= PN PE= PF, Rt PM星 Rt PNF NF= ME又 t AP= 10 , / PAM= 2/ DAB= 30KBEBDAM= AN= ARos30=102? = 5 .3. AE+ AF= (AW ME + (AN- NF = A船AN= 10 心针对训练：1. 证明：如图，过 D作DEL AB于E,过D作DF丄AC于F,/ DA平分/ BAC DEL AB DFL AC DE= DF,/ B+Z ACD- 180。，/ ACDHZ FC* 180/ B=Z FCD在厶DFC DEB中Z F=Z DEBZ FCD-Z B,DF= DB DFCA DEB - DC= DB2. 解：1 T AC= AB= 4,且 CD= 1, AD= AC CD= 3.在 Rt ABD中，Z BAD= 90 , bd= Jab+aD= 5 ,1 1T Sabd= AB AD= ：AE BD2 2 :.AE= 24(2)证明：如图，取 BC的中点M连接AM交BD于点N.tZ BAC= 90 , AB= AC 点 M为 BC的中点， A