2021届高考数学140分难点突破训练立体几何(含详解)

1、数学难点突破训练一一立体几何1.将两块三角板按图甲方式拼好，其中B D 90 , ACD 30 , ACB 45 , AC 2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影恰好在 AB上，如图乙.(1) 求证： AD 平面 BDC ; (2) 求二面角D AC B的大小；(3) 求异面直线AC与BD所成角的大小.2.如图，在正三棱柱 ABC ABQ,中，各棱长都等于 a, D E分别是AC,、BB,的中点，(1) 求证：DE是异面直线AC,与BB,的公垂线段，并求其长度；(2)求二面角E AC, C的大小;(3)求点C,到平面AEC的距离.3.如图，在棱长为 a的正方体 ABCD AB

2、GDi中,点，EF交 BD于 H.(1)求二面角,EF B的正切值；(2) 试在棱BjB上找一点M使DjM 平面EFB1，并证明你的结论;(3) 求点D1到平面EFB1的距离.4. 如图，斜三棱柱 ABC-AB1C1的底面是直角三角形，AC丄CB / ABC=45，侧面AABB是边长为a的菱形，且垂直于底面 ABC / AAB=60°, E、F分别是AB、 BC的中点.(1) 求证EF/平面 AACC;(2) 求EF与侧面AABB所成的角；(3 )求三棱锥A BCE的体积.5. 直三棱柱 ABC-ABQ中， ABC为等腰直 角三角形，/ BAC= 90°，且 AB= AA,

3、 D E、F 分 别为B1A、CC、BC的中点。(I )求证：DE/平面ABC(II )求证：BF丄平面AEF；(III )求二面角 B AE-F的大小(用反三角函数表示)。6. 在直角梯形 ABCD中，/ A=Z D=90°, AB< CD SD丄平面 ABCD AB=AD=aSD= J2a，在线段SA上取一点E (不含端点)使 EC=AC截面CDE与 SB交于点F。(I)求证：四边形 EFCD为直角梯形；(H)求二面角 B-EF-C的平面角的正切值；CD(川)设SB的中点为M当C的值是多少时，能使 DMC为直角三角形？请给出证明。QAB7.如图，正四棱柱ABCD A1B1

4、C,j D1的底面边长为3,侧棱长为4,连结A1B，过A作AF A,B，垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。(I )求证：D1 B平面AEC(II )求三棱锥B AEC的体积(III )求二面角B AE C的正切值。n8.如图.斜三棱柱 ABC A,BQ 的各棱长均为2,侧棱BB1与底面ABC所成角为，且侧面ABB1A垂直于底面ABD.(1)求证：点B,在平面ABCh的射影为 AB的中点;(2) 求二面角 G ABi-B的大小；(3) 判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论.9.如图，以正四棱锥 V-ABCD底面中心 0为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox/ BC Oy/ AB

5、 E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为h.11.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1, CD的中点.(1) 证明：ADL D1F ;(2) 求AE与D1F所成的角；(3) 证明：面 AEDL面 AFD1 ；(4) 设AA = 2，求三棱锥F- A1ED1的体积Vf aied112.长方体 ABCD-ABQD中，E为AA上一点，平面 BCE丄平面BCE AB=BC=1 AA=2。(1) 求平面BiCE与平面BiBE所成二面角的大小；(文科只要求求 tan )(2) 求点A到平面BiCE的距离。13.正三棱柱 且AM与侧面(1)(本问(n)(本问6分)假设6分)假设

6、aABC-ABC的底边长为1,高为h(h>3)，点M在侧棱BB上移动，至U底面ABC的距离为x, BCC所成的角为a；的中点，DP14.如下图，PD垂直于正方形 ABCC所在平面，AA 2, E是PB3与AE夹角的余弦值为3(1) 建立适当的空间坐标系，写出点(2) 在平面PAD内求一点F,使EF 平面E的坐标；PCB15.如下图，直三棱柱 ABC A1B1C1中,ACB = 90°,侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°,90°, ABM为 AA1 上的点，A1MC1 30°, CMC116.(1)求BM与侧面ACi所成角的正切值;(2)求顶

7、点A到面BMC1的距离.如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1，侧面BB1C1C与BCA90。，/ B1BC 6(f, BC BB1=2,假设二面角B1B C 为 30°,(I)证明AC 平面BB1C1C ;底面ABC垂直n求 AB1与平面BB1C1C所成角的正切值;川在平面 AA1B1B内找一点P,使三棱锥P BB1C为正三棱锥，并求 P到平面BB1C距离17.平行六面体 ABCD AiBiCiDi的底面为正方形，Oi,o分别为上、下底面的中心，且A在底面ABCD的射影是o。I求证：平面oC 平面ABCDII 假设点E,F分别在棱上AAi, BC上，且AE 2EAi，问点F在何处时，

8、EF ADIII 假设 AiAB 60，求二面角C AAi B的大小用反三角函数表示答案：i. (i )设D在AB的射影为BC ,DOBCO，贝U DO 又 BC BA,AD , 又 AD CD ,平面ABC ,BCAD平面ADB 平面BDC2由iADBD，又 AD i,AB 、2，BDi O为AB中点以OB为x轴，OD为z轴，过O且与BC平行的直线为A ,0,0, B二0,0, C二.2,0, D0,0,-2 2 2inu设ni x, y, z为平面ACD的法向量，由niy轴建系，那么2urnruAC 0, niumrAD 0,uu可得 ni(i, i,i)in易知n20,0,i为平面ABC

9、的法向量,u uu cos ni, n2-tn-nin2ni3 所以所求二面角为 arc cos3uuur uuir AC AD urnr uuir AC ADurnr urnr(3) cos AC,ADi2，所以所求角为602. i 取AC中点F,连接DF.因为D是ACi的中点，所以 DF/ CCi，且DF-CCi . 又 BBi/CCi ,2E是BBi的中点，所以DF/ BE DF= BE所以四边形BEDF是平行四边形，所以 DE/ BF, DE= BF.因为BBi丄面ABC BF 面ABC所以BBi丄BF.又因为F是AC的中点， ABC是正三角形，所以 BF丄ACBF -"a

10、因为BBi丄BF, BBi / CCi，所以BF丄CCi，所以BF丄面AC%，又因为ACi面AC% ,2所以BF丄ACi，因为DE/ BF,所以DEL AG , DEL BBi，所以DE是异面直线 ACi与BBi的公垂线段,且 DE3a2ACGA .又 DE面 AEC1 ,CE，那么BB1 / CC1，DEL BB1，所以 DEL CC1，又因为DEL AC1，所以DEL面所以面AEC1丄面ACC1，所以二面角EAC1C的大小为90°.(3)2 a亠忑A CEC1的底面面积为S CEC1咼ha .所以(2)因为棱锥Va cec11 a233a a3 22123 在三棱锥C1 AEC中

11、，底面 AEC中, AECEa，那么其高为a,2所以S aec2a设点C1到平面AEC的距离为d,由Va cec12 11Vci aec 得3d自3，所以dJ3即点C1到平面AEC的距离为a23.(1 )连 AC B1H，贝U EF/ AC因为AC丄BD所以BDL EF.因为QB丄平面ABCD 所以 B1H丄EF,所以/ B1HB为二面角B1 EFB的平面角.在Rt B1BH 中，B1B a , BHa4.所以tan B1HBBB 2 2 .(2)BH在棱BiB上取中点M 连DiM，因为EF丄平面BiBDDi，所以EFLD1M .在正方形BB1C1C中，因为M F分别为BB1 , BC的中点，

12、所以B1F丄C1M .又因为D1C1 L平面BCC1B1，所以B1F丄D1C1，所以B1F丄D1M，所以D1M丄平面EFB1.(3)设D1M与平面EFB1交于点N,那么D1N为点D1到平面EFB1的距离.在RtMB1D1中，D1B12D1ND1M.因为D1B1. 2a ,D1M3a，所以UN2DB-4a，故点D1到平面EFB1的距离为4 aD1M334.(1 )T A1ABB是菱形，E是AB中点， E是AB中点, 连 AC / F 是 BC中点， EF/ AQ/ AC 平面 AACC，EF 平面 AACC， EF/ 平面 AACC(2)作FG丄AB交AB于G,连EG ：侧面 AABB丄平面 A

13、BC且交线是 AB FG丄平面 AABB,/ FEG是 EF与平面 AABB所成的角由 AB=a, AC丄 BC / ABC=45，得 FG 返 FB ? BG由 AA=AB=a,/ AiAB=60° ,得EG24tan FEG3T,(3)VA BC=V ABC由EG! AB,平面1 13a3V E ABCACBC EG3 24824FEG 30AABB丄平面 ABC - EG!平面 ABC5.解法(I )连接AiB、AE,并延长AiE交AC的延长线于点 由E为GC的中点，AC/ CP可证AiE= EP/ D E是 AB AiP 的中点， DE/ BP又 BP 平面 ABC DE 平

14、面 ABC DE/平面ABC 4分(II ) ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点P,连接BP。 BC丄AF,又T BB丄平面ABC由三垂线定理可证BiF 丄 AF设 AB= AiA= a那么 B1F23a2,2EF23a2 , BiE249a24 B1F2 EF2BiE2 , B1F± FE/ AF FE F, B1F±平面 AEF9分(III )过F做FM丄AE于点M连接BiM/ BF丄平面AEF,由三垂线定理可证 Bi MIX AE/ BiMF为二面角 BiAE- F的平面角C iC丄平面ABC, AF丄FC,由三垂线定理可证 EF丄AFJ 30在Rt AEF中，可

15、求FMa0在 Rt BiFM中，/ BiFM= 90° , tan / B.MF 吐 5FM Z B1 MF arctan - 5面角BAE F的大小为arctanJ5 14分解法二：如图建立空间直角坐标系O- xyzBFC令 AB= AA = 4,那么 A (0, 0,0),E (0,4,2),F(2,2,0), B (4, 0,0),Bi(4,0,4)2 分(I )同解法一 6分(II )B1F (2 ,2 ,4),EF(2 ,2 , 2)AF(2 , 2 ,0)B1F EF (2)X 22 X (2)(4) X(2) 0 B1F丄ef ,B1F 丄 EFB1F AF (2)X

16、22X 2(4)X 00 B1F 丄 AF，二 B1F 丄 AF/ AF FE F，二 B1F 丄平面 AEF 10 分(III )(有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分)平面AEF的法向量为B1F (2 , 2 ,4)，设平面BAE的法向量为n AE 0n (x, y, z) ,n B1A 02y z 0x z 0令x = 2,那么z2, y 1,二 n (2, 1,2)二 cos n , B1Fn 6j_6j'q X y246|n | |B1F|9 、246.面角B AE- F的大小为W'6arccos66. (I)v CD/ AB AB 平面 SAB CD/平

17、面 SAB面 EFCQ 面 SAE=EF,二 CD/ EF T D 90°, CD AD,又 SD 面 ABCD SD CD CD 平面 SAD - CD ED 又 EF AB CDEFCD为直角梯形(n) CD 平面 SAD, EF / CD ,EF 平面 SAD AE EF, DE EF , AED 即为二面角D EF- C的平面角ED CD, Rt CDE 中 ec2 ED2 CD 2而 AC 2 AD 2 CD 2且 AC ECED ADADE 为等腰三角形， AEDEAD tg AED - 2(川)当CD 2时，DMC为直角三角形ABAB a, CD 2a,BD AB2 A

18、D2 2a, BDC 45°BC 2a, BCSD 平面 ABCD, SD BC, BC 平面 SBD在 SBD中，SD DB, M 为 SB中点，MD SBMD 平面SBC,MC 平面SBC, MD MC DMC为直角三角形7.(I ) ABCD A1B1C1D1 是正四棱柱D1D 平面 ABCD连AC,又底面ABC是正方形AC BD由三垂线定理知，D1B AC同理，D1B AE，AE AC AD1B平面AEC5分BD11 VB AEC VE ABCEB 平面ABCEB的长为E点到平面ABC的距离Rt ABE Rt A1ABEBAB2A1AV B AECV E ABC3Sabc e

19、b278(III )连 CFCB 平面 A1B1 BA，又 BF AE由三垂线定理知，CFAE于是，BFC为二面角BAEC的平面角在RtABE 中，BFBABE9AE5在RtCBF 中，tg BFC53BFC arctg -5即二面角B AE C的正切角为-38.(1)如图，在平面BA，过B,作B,D丄AB于 D,T 侧面BAi丄平面ABC B1D 丄平面 ABC B1BA是 BB1 与平面 ABC所成的角，二B1BA = 60°.四边形ABBA 是菱形，- ABB1为正三角形， D是AB的中点，即B1在平面ABCh的射影为AB的中点.(2) 连结CD T ABC为正三角形，又平面A

20、,B丄平面ABC平面A|B 平面ABC= AB CDL平面AB，在平面 A1B内，过D作DEL AB1于E,连结CE那么CE丄AB1 , /CED为二面角C- AB1 -B的平面角在 Rt CED中，CD 2sin60, 3，连结BA1于Q那么A'QBO .3 , DE BO 3,22CD二 tan CED2 . 所求二面角 GAB1-B 的大小为 arctan2 .DE(3) 答：BQ C1A，连结 BC1 ,BB1CC1 是菱形 BC1 B1CCDL平面 AB , B1D AB ,B1C 丄 ABB1C 丄平面 ABC1 , B1C 丄 C1A .a a h9.(1 )依题意，B(

21、a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),E (，一，一),2 2 2 3a ah a 3a h、 BE (, -) , DE ,-),2 2 2 2 2 2BE DE3a2 h2243a a、 ( a 3a) h h2 2) ( 2 2 ) 2 2J2(3;( y(2)2 210a2 h2.3a、2 用2/h212. 2|DE| 忤)(3)(2)r/10a h -由向量的数量积公式，有10.cos(BE , DE )=(2)v又由 CBE此时有BE DE|BE| |DE|/ BED是二面角 -VG(-a, a, 0),CV3 a22cos(BE , DE)1 10a2h2 1

22、102 h210ah222的平面角，BE CV，即有 BECV，得CV(a, -a, h),且 BE (3a2f_即 h.2a .h)0243a2 h26a2 h2a2，6a2 h210a2 h26a2(、2a)210a2 (2a)2arccos( g)(1)连结 AC交 BD于 Q 贝U AGL BDBED(BE, DE )1n arccos.3又 / A,A 丄平面 AC, A1C 丄 BDB1C 丄 BE而 A1B1 丄平面 B1C ,- A1C 丄 BEBD BE= B, A,C 丄平面 BED(2)连结A1D，由A1B / CD知D在平面A1B1C内，由(1)是A,C丄EB.又 AB

23、1 丄 BEBEL平面ABQ，即得F为垂足.125连结DF,那么/ EDF为ED与平面A1B1C所成的角."9BF16 一279CF，那么EFEC5520415ED 49 EDF在 Rt EDF中,sin25 ED与平面9A1B1C所成的角为arcsin .由AB BC= 3,B1B = 4，可求是BQ = 5,BF(3)连结 EQ 由 EC!平面 BDC1 ACL BD知 ECL BD/ EOC为所求二面角 E-BC-C的平面角.EC9, OC4322在 Rt EOC中, tan EOCEC 3.2OC 4.面角E-BDC的大小为3迈arcta n411. 如下图，建立空间直角坐标

24、系，并设正方体的棱长为2,贝V D0，0，0，A2，0，0，F 0,1,0),D1 (0, 0, 2), A (2, 0, 2), E (2, 2, 1)(1)AD (-2 , 0, 0), D1F(0, 1, -2 )，且 AD D1F2 x 0 + 0x 1 + 0x( -2 )= 0(2) AE = ( 0, 2, 1),AD D1F .D1F = (0, 1, -2 )设AE与D1F的夹角为AE D“F|AE| | D1F |0 0 2 1 1 ( 2)02 22 12 , 02 1 2 ( 2)2=90°，即AE与D1F所成的角为直角.(3) 由(1)知 ADD1F，由(2

25、 )知 AE D1F ,D1F 平面AED又 D1F 面 A1FD1 , 面 AED 面 AFD1 .(4) 设AB的中点为G,连结GE GD1 .FG / A1D1 ,FG /面 A1ED1 .AA2 S a1ge2S a,agS beg，VF A1 ED1VG A1ED1VD1 A1GE ,Vf 4ED1Vdi “GE-AD!3S A1GE2f1.12. (1)v BC 平面 BB1E ,平面BBE平面BCE , 又平面B-CE平面BCE , B-E 平面 BCE , CE B-E, BE B-E/ BEC就是平面BCE与平面BBE所成二面角的平面角设/ AEB=，那么/ A-BiE= A

26、E=ABcot =cot ,A- E=A-B- tan =tan/ AE+EA=AA=2, cot+ta n =2 tan=1.即 AE=AE=1在 Rt CBE中, BC=1, BE= .2.+1 运 tanV22t V2arcta n 2(2 )在三棱锥 C-AEB中，S aeb.11AE A1B-,CB 1,从而22VC AEB1在 Rt B-CE 中，CE .BE2 BC2 . 3,EB12S0S B.ECB12设A到平面B-EC的距离为h,那么VA B1ECh 16 613.I 设BC的中点为 D,连结AD DM在正 ABC中，易知 AD± BC,又侧面BCC与底面ABC互

27、相垂直,即/ AMD为AM与侧面BCC所成的角，/ AMDa，a MDcosAMD= ,AMB到度面ABC的距离， AD丄平面BCC,在 Rt ADM中,依题意BM即为点- BM=x,且 AM 、1x2 ,DM1 4x22COS2 1 x2'由一64,所以cos 4COS即丄22COS解得2 ,14x21 x22x23,COS,BJ即x的变化范围是Z, . 2；2(II ),即x - 2时,即BM62,| AM|.3,由于 AM BC (AB BM ) BCABBCBM BCcos120且 AM BC | AM | BC | cos AM ,BC ,而 | BC | 1,爲cos AM

28、 , BC3,即AM与BC所成的角为arccos 6还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决14. 1 如题图以DA DC DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A2，0， 0、B2，2，0，C0，2，0,设 P0，0，2m E 1，1，m，那么 AE -1，1，m，DP 0，0,2nj , cos：； DP ,AE ? 上色 m 1，所以E点的坐标是1， 1， 1.v'1 1 m2 2m 3(2) F 平面 PAD 可设 F(x , 0,z) EF (x 1,1, z 1) , EF平面1 , z 1) (0 ,PCB EF CB (x 1,1, z 1)(2, 0

29、, 0)0 x 1 那么 EF PC (x 12,2)0 z 0，所以点F的坐标是(1, 0, 0),即点F是DA的中点.15. (1)三棱柱 ABC A1B1C1为直棱柱,BAC为二面角B1 AAA G的平面角，所以BAC 60°，AC1 连接MC那么MC是MB在侧面AC1上的射影所以BMC为BM与侧面AC1所成的角.又CMC190°,A1MC1 30°,MC-m所以 tan BMC3-(2 )过 A作 AN2MBC1面 MBCMBC1，过N作NH MB，垂足为的距离.AB a ,AC 2，且 ACN 30°,可得MN、3a NH12MN sinBMC33来求解又 ACB 90 ° . BC 侧面所以 AMC 60°.设 BC m，那么 AC 3 m,3MC 垂足为N因为AN /MC1，所以AN/面H,那么NH是N到面MB®