2021年全国卷3文科数学试题及参考答案

1、绝密 启用前试题类型：新课标皿2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案本卷须知：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 .2. 答复选择题时， 选出每题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号 . 答复非选择题时， 将答案写在答题卡上 . 写 在本试卷上无效 .3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 .一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符 合题目要求的 .1 集合 A x|x 10 , B 0, 1, 2，那么 AI B ()A 0 B

2、1 C1, 2 D 0, 1, 2【答案】C【解析】A:x1，AI B1,2【考点】交集2 1i2i()A 3iB3iC 3 iD3i【答案】D【解析】1i2i 2 i2 i3i【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出局部叫做榫头，凹进局部叫做卯眼， 图中的木构件右边的小长方体是榫头 . 假设如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体，那么咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()A.B.C.俯视方向【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而 B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小

3、长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图14假设 sin3，那么 cos2 ()3C7 _9B.00 - 9AD7 _900B9/【解析】cos2 1 2sin9【考点】余弦的二倍角公式5某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，贝U不用现金支付的概率为()A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】1 0.45 0.15 0.4【考点】互斥事件的概率6.函数f x -1tanx的最小正周期为tan x【答案】【解析】tan x21 tan xtanx cos2 x2 21 tan x cos xs

4、in xcosx -sin2x x 一2 2定义域并没有影响到周期【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期7以下函数中，其图像与函数y In X的图像关于直线x 1对称的是A. y In 1 x b . y In2 x c. y In 1 x d.y In 2 x【答案】B【解析】米用特殊值法，在y In x 取一点 A 3, In3,那么A点关于直线1的对称点为A' 1，In3应该在所求函数上，排除A , C ,【考点】函数关于直线对称2y 2上，那么. 2&直线x y 2 0分别与x轴、y轴交于点A, B两点，点P在圆x 2 ABP面积的取值范围是A.2,6 B.4, 82,3

5、.2 d .2 .2, 3 2【答案】【解析】A 2, 0 ,B 0,AB2 2，可设 P 22 cos ,2 sin，那么4 2sind P AB. 2 sin 2, 3、一 2S abp二 AB dp ab J2dp ab2, 6注：dp AB的范围也可以这样求：设圆心为O,那么O 2, 0，故d P ABdO AB，而do AB2.2 ,d P AB2, 3 2【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型圆的参数方程、三角函数 429. y x x 2的图像大致为【答案】D【解析】f 12，排除A、B ； y' 4x除C【考点】函数图像辨识按照奇偶性、2 210.双曲线的C:

6、笃笃 1 aa b距离为A .2 B . 2C . 2 229V2x 2x 1 2x2，故函数在 0, -y单增，排特殊点函数值正负、趋势、单调性导数的顺序来考虑0, b 0的离心率为,那么点4, 0到C的渐近线的【答案】D【解析】e渐近线为【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化11. ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b, c，假设 ABC的面积为【答案】C【解析】SabcrbsinC2.2 2 2.2 2a b ca b c，而 cosC -42ab故 absinC 2甜：曲 labcosC, C 242,4【考点】三角形面积公式、余弦定理12设代B, C, D是同一个半径为

7、4的球的球面上四点,9 3，那么三棱锥D ABC的体积最大值为A . 12.3b 18.3 C. 24.3 D. 54. 3ABC为等边三角形且其面积为【答案】B【解析】如图，0为球心，F为等边 ABC的重心，易知OF 底面ABC，当D, 0, F三点共线，即DF 底面ABC时，三棱锥D ABC的高最大，体积也最大此时：ABC等边S ABC 9 3AB 6 ,在等边 ABC中，BF3bE 弓AB 2.2在Rt OFB中，易知 OF 2 ,1DF 6，故 VD ABC max 空 9 3 6 18 3【考点】外接球、椎体体积最值r r r1,.假设 c 2a b，那么、填空题：本大题共 4小题，

8、每题5分，共20分13.向量 a 1, 2 , b 2,2 ,412【考点】向量平行的坐标运算14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其效劳的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，贝U最适合的抽样方法是.【答案】分层抽样【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其效劳的评价有较大差异，所以应该按照年龄进行分层抽样【考点】抽样方法的区别2x y 3 0 115假设变量X, y满足约束条件x 2y 4 0,那么z x -y的最大值是3x 20【答案】3【解析】采用交点法：交点为 2, 1 , (2)(3)交点为2, 3 ,(3)

9、交点为2, 751分别代入目标函数得到5 , 3 , 1，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点2, 3代入33方程(1)检验一下可行域的封闭性 )此题也可以用正常的画图去做【考点】线性规划16.函数f xIn . 1 x x1，f a4，那么fa【答案】 2【解析】令g xIn . 1 x2 x ，那么g xln . 1 x2xg x，f a g a 14，而 f ag a 1g a 12【考点】对数型函数的奇偶性三解答题：共70分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一必考题：共60分.17. 12 分等比数

10、列 an中，a1 1, a5 4a3.1求an的通项公式;(2)当 q2时,Sm63，解得m2 时，Sm63，得 2188无解记Sn为an的前n项和.假设 Sm 63，求 m.【答案】1ann 1 t、2 或 an2n 1；m 6【解析】1a54a3 a3q2，q 2，an2n 1 或 ann 12m综上：m 6【考点】等比数列通项公式与前n项和公式18. (12 分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任

11、务的工作时间单位：min绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452 110 0901根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；2求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?2附:K2n ad bea b ed a eb d 'PK2 k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】1第二组生产方式效率

12、更高；2见解析；3有；【解析】1第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知， 第二组数据集中在 70min80min之间，而第一组数据集中在80min90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上84匚 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92 匕20同理E2 74.7，QE?巳，故第二组生产方式效率更高由茎叶图可知，中位数79 8180,且列联表为:超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由(2)可知k22 2 240 152 5210 6.635，20 20 20 20

13、故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19. (12 分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M是CD上 异于C, D的点.证明：平面 AMD 平面BMC ；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC /平面PBD ?说明理由C【答案】(1)见解析；P为AM中点ABCDCDMBC DCMBCDM【解析】(1)BCCDDM BMC ADN BMCMCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)当P为AM的中点时，MC/平面PBD .证明如下连接BD , AC交于点O,易知O为AC

14、中点，取AM中点P，连接PO,那么PO/AC，又MC 平面PBD , PO 平面PBD，所以MC/平面PBDC【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题20. 12 分2斜率为k的直线l与椭圆c : 1'42y_1交于A, B两点，线段AB的中点为M 1, m m 01证明：k 1 ；2设F为C的右焦点,uurP为C上一点，且FPiLur uiur FA FBrurn0.证明2 FPuui FAuuiFB【答案】1见解析；见解析【解析】1点差法：设A X1, Y1B X2, y2，那么2X1T2X242 yL 3231相减化简可得:1y1y2y1y2334，koM kAB此公式可以作

15、为点差法的二级结论在选填题中直接X1X2X1X24431 m211用，m 4k，易知中点M在椭圆内，3 1，代入可得k 或k ，又m 0，1k 0，综上k 22 2X y_ 1联立法：设直线方程为 y kx n，且A X!, y1 , B X2, y2，联立 43 可得,y kx n8knX1X24k2 23 x 8knx 4n 120，那么4 k23X1X24n2124k23y1y2k X1X22n6n4 k23XM14kn4k23c，两式相除可得m3nyM m4k23较麻烦4k，后续过程和点差法一样如果用算的话比uiuiuunuuuruuruuiur14mQ FPFAFB0，FP2FM0，

16、即 P 1, 2m，431，3,7mm0k1,n mk44(1)求曲线y f x在点0,1处的切线方程;(2)证明：当a1时，f xe 0.【答案】(1)2xy1 0;(2)见解析2 ax2a1 x 2【解析】(1) f'x,f' 02e因此曲线y fx在点0,1处的切线方程为:2x y 10(2)当 a1时，fx e2x.x 1xx 1 e e(利用不等式消参)由(1)得联立前方程为7x214x -42 c a0,uuuuuu2 c aFAFBa ca cX2uun(或者fac2a a xi x23(椭圆的第二定义)同理uuuFBuuu 而FPuuuFAX2uuu uur F

17、B 2 FPULUFA212Xi42 X代入椭圆方程消掉yiuuuFB 4XiX23)【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、向量的坐标运算、禾U用椭圆方程消yi, y221. (12 分)函数f x2ax xXe令 g x x2 x 1 ex 1 那么 g' x 2x 1 ex 1 , g'' x 2 ex 1 0,g' x单调增，又g' 10 ,故当x 1时，g' x 0 , g x单减；当x 1时，g' x 0 , g x单增;故 g x g 10因此f x e 0【考点】切线方程、导数的应用 二选考题：共10分，请考生在22、23题中

18、任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题 计分22.选修4 4 :坐标系与参数方程10分在平面直角坐标系 xOy中，eO的参数方程为cos sin为参数，过点倾斜角为的直线I与eO交于A, B两点.(1)求的取值范围;求AB中点P的轨迹的参数方程【答案】(1)x3；(2)y、2sin 2辽辽cos22 234 , 4【解析】(1)当 -时,直线0，符合题意;-时，设直线i : ykx由题意得1，即kU 1,又 k tan4U 2,34综上,43_42可设直线参数方程为tcos2tsin34 , 4代入圆的方程可得:t22 2tsin+ t1 t2 tP 丁cos- 2sin sin43_4即点P的轨迹的参数方