基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析

1、基于ABAQUS勺悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院 专业：工程力学 指导教师： 姓名： 学号：1. 问题描述考虑端点受集中力F作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m , 高度h=1m，宽度b=1m。材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises屈服 准则，屈服强度为 Y 380MPa，弹性模量E 200GPa，泊松比 0.3。图1受集中力作用的悬臂梁图2钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷Fe和塑性极限载荷fy ；其次利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出

2、弹性极限载 荷Fe、塑性极限载荷Fy、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行 对比，验证有限元分析的准确性。2. 理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受弯矩M作用，如图3所示，根据平截 面假定，有图3矩形截面梁受弯矩M的作用y（ 1）其中 为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w以与y同向为正，则在小变形 情况有d2w"d/（ 2）当弯矩M由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke定律给出y EE y（ 3）再由平衡方程，可得到M EI（ 4）其中，I丄bh3是截面的惯性矩。将M/EI带入（3）式，可知12显然，最外层纤维的

3、应力值最大。当 M增大时，最外层纤维首先达到屈服,y h/2M /1bh26这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩,矩，它等于Me 1 Ybh2 e 6对应的曲率可由式（4）求得（5）即为弹性极限弯（6）Me/ El2 Y/Eh当M Me时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y不再增加,塑性区将逐渐向内扩大。弹塑性的交界面距中性面为ye 2（°丨丨1）在弹性区：0 y ye，h在塑性区：ye y 2，在弹塑性区的交界处，Y ；Y ；yeYY，因而E （ Y，由此可求出此时的曲率和弯矩分别为2 Y 1Ehe/(8)(9)从这两个式子消去，可得M Me时的弯矩-曲率关

4、系为132(10)3 2MMe1(12)当M继续增加使得0时，截面全部进入塑性状态。这时 M 3Me，而2。当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯 矩。可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为1 2MpYbh（ 13）4采用以下量纲为一的量：m M / Me，/ e（ 14）矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成m,m 1 （15）1/ . 3 2m,1 m 1.52.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁，若I h （本例中丄10满足 h此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹 塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的

5、弹塑性弯曲问题本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A点与B点）应力的绝对值最大。当F增加时，A、B点将进入塑性，这时的载荷是 梁的弹性极限载荷(16)FeMe/IYbh2/6I当F Fe时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。设在 x x处有F（l x） Me， 则x l （Me/F）。在x x范围内的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9） 可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于1 1（3 2M）2 3 迥（17）MeFel其中已用到M Fl x。式（17）证明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线。3当F Fy |Fe Ybh2/4l时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯

6、矩，即M FyI Mp 3Me,这时梁内塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性2区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。这时，由于根部的曲率可 以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。因此， Fy Mp/I即为悬臂梁的 极限载荷，悬臂梁不能承受超过FY的载荷。图4受集中力作用的悬臂梁在小挠度情形下，利用y"的关系可以求得梁的挠度。具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以 M F I x带入式（15）可得其中，mm p(11.、3 2m/M),1 - 1P1/.3 2p 3p ,0F/Fe，X/I，y(18)¥，利用边界条件y（0）y（0）0和在 1-丄处的关于y

7、和y'的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端P挠度 y（i）的表达式e5 （3 f）.3 2p/f2（ 19）其中e是f=1 （即F Fe ）时的，可按材料力学方法求出为(20)e el2/3当f 3 (即F220p 6 eFy訊）时，式（给出相应的梁端挠度为（21）代入题目所给数据可得到3. 有限元分析3.1有限元模型此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析 模型，其长度l=10m，高度h=1m3.2材料属性定义圆筒材料为钢材，弹性模量 200Gpa,屈服强度380Mpa,泊松比0.3，截面 属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。3.3 分析步的

8、定义由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析， 最小分 析步取 0.05，最大分析步取 0.1，输出要求采用默认输出。3.4 载荷施加和边界条件布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支， 右上端顶点施加集中力载荷。3.5 网格划分按照四节点四边形平面应力单元 CPS4I （如图5）划分网格，定义不同大小 位移载荷进行分析计算，分析采用 Mises 准则。图 5 悬臂梁的有限元网格3.6 结果及分析3.6.1 弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定当取 F 6.76 106N 时，等效塑性应变分布如图 6所示， 结构的等效塑性应 变均为 0，可以看出系统处于弹性状态并未产生

9、塑性应变，此时悬臂梁处于弹性 阶段。图 6 F 6.76 106 N 等效塑性应变云图当取 F 6.77 106N 时，等效塑性应变分布如图 7 所示， 最大等效塑性应变 均为3.811e-6,最小等效塑性应变为0,可以看出系统部分处于弹性状态，部分 处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。图 7 F 6.77 106 N 等效塑性应变云图当取 F 9.84 106N 时，应力分布如图 8 所示，可以看出根部还没有形成塑 性铰，即根部还没有完全进入塑性， 也就是说系统部分处于弹性状态， 部分处于 塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。图 8 F 9.84 106N 应力云图当取F 9.85 106

10、N时，应力分布如图9所示，可以看出根部形成塑性铰, 悬臂梁不能再承受超过F 9.85 106N的载荷。图9 F 9.85 106N应力云图综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在 6.76 106 6.77 106N之间，塑性极限载荷在9.84 106 9.85 106N之间。与理论解相比，有限元所得弹性极限载荷的误差大约为逬驚6.9%，有限元所得塑性极限压力的误差大9 85-9 50约为9.85 9.50 3.6%，与理论解相比，误差较小。不仅如此，图9表明，弹塑9.50性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。3.6.2悬臂梁弹塑性弯曲过程分析对于这种悬臂梁在端部受集中力

11、的问题，在ABAQUS中施加位移载荷模拟,取位移30mm，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示，图10有限元所得的载荷-位移曲线将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变 形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性 阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载 的能力。由上图也可看出，Fe大约为6.77 106N，Fy大约为9.85 106N，同时可以得到e大约为13.6mm， p大约为30.0mm，与理论解相比，弹性极限位移误差大约为13.6 12.7 7.1%，塑性极限位移误差大约为 3°°-28.2 6.4%，位移误 12.728.2差相对于载荷误差较大。原因可能有：一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大挠度情形；二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。4. 总结首先，本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂