分形插值函数与其分数阶微积分函数图像维数的关系

1、梁芸芸太原理工大学数学系，太原 (030024）E-mail:摘 要：分形插值函数是由迭代函数系统生成的一种特殊的分形函数,用分数阶微积分去研究它具有重要的意义，本文利用生成分形插值函数的迭代系统给出了其Riemann-Liouville分数阶微积分函数的迭代函数系统，进而讨论了分形插值函数的图像维数和分形插值函数分数阶微积分的图像维数的关系，即：分数阶积分会减小维数，分数阶微分会增大维数. 关键词：分形插值函数；分数阶微积分；图像维数中图分类号: O174 文献标识码：A1 引言2 预备知识2.1 Riemann-Liouville分数阶微积分1x(xt)1f(t)dt为f(x)的v阶Rie

2、mann- 区间上可积，则对x>0,称Df(x)=(v)0Liouville分数阶积分(简称R-L积分).2.2 分形维数和函数图像下面只对分形维数中最重要的盒维数进行详细介绍.BF=logN(F)，0log-1-中国科技论文在线dimBF=limlogN(F)， 0log盒维数有许多等价的定义，如上定义的N(F)可以用下列四个数中的任意一个替代:(i)覆盖F的半径为的最少闭球数;(ii)覆盖F的边长为的最少的立方体数;(iii)与F相交的-网立方体的个数;(iv)球心在F上，半径为的相互不交的球的最多个数.a,b称为f的图像.3 分形插值函数的基本理论Li(x0)=xi1，Li(xN)

3、=xi，i=1,2"N.再设Fi=Fi(x,y)是定义在I×R上的二元函数，它关于自变量x连续，关于自变量y压缩，并且满足：Fi(x0,y0)=yi1，Fi(xN,yN)=yi，i=1,2"N.定义映射：wi:I×RI×R为wi(x,y)=(Li(x),Fi(x,y),xI,yR.这样可以得到一个迭代函数系统(IFS)：I×R:w1,w2",wN.f(xi)=yi,i=0,1,2"N，则称此连续函数f(x)为由(IFS)I×R:w1,w2",wN所定义的分形插值函数(FIF).本文讨论的分形插值

4、函数f(x)由下面迭代函数系统生成：Li(x)=aix+bi，xI=x0,xN，(i=1,2"N)，满足：-2-中国科技论文在线Fi(x,y)=diy+i(x)，xI,yR，(i=1,2"N)，其中di<1，di为自由变量，称为垂直压缩因子，i(x)为x的连续函数，并且满足：Fi(x0,y0)=yi1，Fi(xN,yN)=yi，定义映射：wi:I×RI×R为wi(x,y)=(Li(x),Fi(x,y),xI,yR， 则称IFSI×R:w1,w2",wN为仿射IFS.4 分形插值函数的分数阶微积分以下令I=x0,xN,x0=0.定

5、理3.13 令f(x)是由IFSLi(x),Fi(x,y)i=1生成的FIF，其中Li(x)=aix+bi，NFi(x,y)=diy+i(x)，则Dvf(x)是由IFSLi(x),Fi,(x,y)i=1生成的FIF. N其中 Li(x)=aix+biFi,(x,y)=af(x)+i,v(x) idiDi,v(x)=yi,+fi,(x)+aiDi(x)yi,=Df(xi)1xi1fi,(x)=(Li(x)t)1(xi1t)1f(t)dt ()0定理3.2 令f(x)是由IFSLi(x),Fi(x,y)i=1生成的FIF，其中Li(x)=aix+bi，NFi(x,y)=diy+i(x),设

6、1;>0,m=µ+1, =mµ，若Df(x),i,v(x) Cmx0,xN，则Dµf(x)=DmDf(x)是由IFSLi(x),Fi,µ(x,y)i=1生成的FIF. N其中 Li(x)=aix+bi， Fi,µ(x,y)=diµ1mDf(x)+(x). µmi,aiai证明 对任意的i=1,2"N，任意的x,yxi1,xi，存在x,yx0,xN使得：x=aix+bi，Df(x)=Df(aix+bi)=af(x)+i,v(x). idiDy=aiy+bi，Df(y)=Df(aiy+bi)=af(y)+i,v(

7、y). idiDDf(x)Df(y)af(x)Df(y)1i,(x)i,(y)idiD所以有:=.+. xyaixyaixy当xy时，xy，由Df(x)的可微性，可得：D1Df(x)=di11DDf(x)i,(x) +1aiai-3-中国科技论文在线D1Df(x)=di1111DDf(L(x)i,(L+ii(x) 1aiaidi1111DDf(L(x)(L+ii1i,i(xi1) 1aiaiD1Df(xi)=di1111DDf(L(x)(L+iii,i(xi) 1aiaidi11DDf(x)i,(xN) +N1aiaidiµ1m11Df(L(x)+(Li(x). imi,µ

8、aiai同理对D1Df(x)求m1次导数可得： Dµf(x)=DmDf(x)=DmDf(x)=µ所以Df(x)是由迭代系统Li(x)=aix+bi,Fi,µ(x,y)=注：IFSLi(x),Fi,(x,y)diµ1mDf(x)+(x)生成的. mi,µaiaiN和IFSLi(x),Fi,µ(x,y)i=1N称为IFSLi(x),Fi(x,y)i=1的关联i=1NIFS.5 分形插值函数及其分数阶微积分函数的图像维数5.1分形插值函数的图像维数Fi(x,y)=diy+i(x)，若|di|>1且dimB(i)=1(1iN)，则： i

9、=1NdimB(f)=D(ai,di)或1,其中D(ai,di)(1,2)是方程ai=1Ns1i|di|=1关于s的唯一解.5.2 分形插值函数分数阶微积分的图像维数Fi(x,y)=diy+i(x),设-4-|di=1Ni|>1且dimB(f)=D(ai,di)，i 则对任意的0<<D(ai,di)1，若dimB(D)=1,1iN,dimB(Df)>1，有：dimB(Df)=dimB(f).1xi11证明 定义fi,(x)=(L(x)t)f(t)dt，则fi,(x)在(x0,xN上是连续可微i()x0的，且limf(x)=fi,(x0)有界，易知dimB()=1. i,

10、f+xx0i,因为fi,(x)=1xi1(Li(x)t)1(xi1t)1f(t)dt， ()x01xi11(xt)f(t)dt在x0,xN上是常数，所以 i1x0()i所以fi,(x)fi,(x)=dimB(fi,)=1，因为i,v(x)=Df(xi1)+fi,(x)+aiDi(x)，dimB(D)=1，Df(xi1)是常数.由D(ai,di)的定义可知ai=1ND(ai,di)1iN|di|=1，又因为0<<D(ai,di)1，则 ai=1Ni|di|>1，由ai=1Ns1i|aidi|=ais+1|di|=1，可得： i=1D(ai,di)=D(ai,aidi)+，dim

11、B(Df)=D(ai,aidi)=D(ai,di)=dimB(f).Fi(x,y)=diy+i(x)生成的FIF，设|di=1Ni|>1且dimB(f)=D(ai,di)，1则对任意的0<µ<2dimB(f)，设=1µ，若i,v(x)Cx0,xN，有：dimB(Dµf)=dimB(f)+µ.证明 由i,v(x)Cx0,xN，可知dimB(i,)=1，因为i,µ=11i,，所以 aidimB(i,µ)=1，又因为aiD(ai,di)1|di|=1，所以i=1N-5-中国科技论文在线由ai=1Ns1iNdi|=ais&#

12、181;1|di|=1，可得： aii=1D(ai,di)=D(ai,di=D(ai,di)+µ=dimB(f)+µ. µaidimB(Dµf)=D(ai,6 总结本文讨论了分形插值函数R-L分数阶微积分的迭代函数系统与原迭代函数系统的关系，并由此给出了分形插值函数的图像维数与分形插值函数分数阶微积分函数的图像维数的关系，但对此关系的图像模拟还有待进一步的研究.参考文献3 Huo-Jun Ruan,Wei-Yi Su,Kui Yao,Box dimension and fractional integral of linear fractal inter

13、polation functionsJ. Approx.Theory ,2008.5 K.J. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and ApplicationsM. New York, Wiley, 1990.The Relationship of Graphics Dimention between Fractal Interpolation Function and Fractional Calculus of FractalInterpolation FunctionLiang YunyunDepartment of

14、 Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan (030024)AbstractFractal interpolation function（FIF for short）, generated by the iterated function system, is a special fractal function, it is of great significance to use the fractional calculus to study it. In this paper ,we give the iterated function systems of Riemann-Liouville fractional calculus of FIF using the iterated function system of generating FIF .Furthermore, we discuss the relationship of graphics dimension between FIF