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1、 量子力学期中考试试题及答案 1（33分）一维无限深势阱，微观粒子质量为，能量本征值为：，相应本征函数为：，；已知时，初态波函数为：；1.1)将初态波函数：归一化，求出归一化因子；（5分）1.2)求波函数（5分）1.3)求几率密度：（5分）1.4)求位置的平均值：（8分）1.5)求动量的平均值：；（）（5分）1.6)求能量平均值：；（）（5分）解：1.1)；1.2)1.3) 1.4) 利用：利用公式：计算：所以：1.5) 利用：，所以：由1.4)问结果：可见满足Ehrenfest定理：量子力学中物理量的平均值按经典方程变动。（曾谨言 卷I 第252页）：；1.6) 2（34分）角动量算符定义为

2、：；在直角坐标系中，三个分量分别表示为算符形式：2.1）证明：（6分）2.2）由于对易，存在共同本征函数，记作：，相应本征方程为：，；定义算符：，证明：（5分）；（5分）2.3）利用；证明：（4分）；利用；证明：（4分）；可见波函数仍然是的共同本征态，的本征值不变，本征值增加或减少，可解释为“升算符”，使本征值增加，可解释为“降算符”，使本征值减少；2.4）是“升算符”，有：，多次左乘共同本征态使本征值不断增加：；由于是角动量的分量，本征值不能无限增加下去（至少不能大于角动量的模，），即本征值存在上限，记为：，满足：；利用：，证明的本征值：（10分）解：1)2)3)4)*）一般记作，本征方程为

3、：，；假设：正交归一：，求归一因子，利用：，假设：，3（33分）中微子振荡(neutrino oscillation)：实验发现电子中微子(electron neutrino)可以转变为缪子中微子(muon neutrino)。我们用波函数表示电子中微子，表示缪子中微子，用非对角项不为零的矩阵表示哈密顿量，计算表明中微子将在电子中微子态和缪子中微子态间振荡。假设：，中微子波函数可表示为：，中微子哈密顿量的矩阵表示：，其中和都是实数；波函数随时间的演化满足薛定谔方程：3.1)中微子哈密顿的本征方程是，求对应本征值和归一化本征矢量（16分）；3.2)假设时，全部是电子中微子：；证明时，中微子波函数是（14分）；求时电子中微子转变为缪子中微子的几率（3分）解：1)，本征方程：，2)，构成一组正交基，也构成一组正交归一基；在以，为基矢的表象中，哈密顿是对角化的，本征值在对角项上，非对角项为0；即：

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