【高2数学】11-平面向量的分解定理与向量的应用

1、平面向量的分解定理与向量的应用基础概念1、 基础知识概述 本周首先学习了平面向量的分解定理，主要是通过定理用两个不共线的向量来表示另一个向量或将一个向量分解成两个向量，并且了解定理分解的条件其次学习了向量的应用，向量是一个非常重要的知识点，在解析几何、立体几何、代数、物理方面都有着广泛的应用2、 重难点知识归纳（一）平面向量分解定理： 定理：如果、是同一平面内两个不平行的向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使 基：不平行的与叫做平面内表示所有向量的一组基说明：（1）基向量肯定是非零向量，且基并不唯一，只要不平行就行（2）由定理可将任一向量按基方向分解且分解形成唯一（二）向量的应

2、用：（1）向量知识在不等式中的应用： 利用向量数量积的一个重要性质，变形为，可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易（2）向量知识在物理中的应用： 利用向量分解定理进行分解，与物理性质相结合典型例题例1、如图所示，已知梯形中，、分别是、边上的中点，且，试以、为基表示、分析： 我们首先应根据且，用表示，然后反复采用向量和与差的三角形法则就可计算出所求向量解答： 且， ， ， ， ， 例2、如图所示，中，交于，是边上的中线，交于，设，用，分别表示向量、解析： 本题主要考查向量的加法、减法的三角形法则及数乘向量的混合运算能力 利用，再用三角形法则求解 ，

3、 由得， 由是的中线，得， 而且 例3、已知、，且，求证：证明： ， 故只要证明不等式即可 为此，构造向量， 由向量数量积性质：，得 从而所以原不等式成立例4、一个物体受到同一平面内三个力、的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东；，方向为东偏北；，方向为西偏北，求合力所做的功解析： 以为原点，正东方向为轴的正半轴建立直角坐标系，则： ， 所以 又位移，故合力所做的功为： 答：合力所做的功为例5、已知，求证：分析： 比较条件等式和欲证等式可知，关键在于证明，即证，于是由条件等式容易联想到向量和的模，故可考虑向量法来证明证明： 由已知得， 构造向量，与的夹角为， 则，故 又，从而， 即，

4、即与同向从而， 即， 所以课外拓展例6、设，且 求证：介于与之间，且更接近于解析： 把、看成轴上的三个点，设分、所成的比为， 则 ，从而可知介于与之间，且更接近于点评： 证明某数在两数之间是不等式证明中的一类常见题型，常见的证法是分别比较大小，显得较为繁琐，本题通过构造的方法给出解这类问题的一个简捷巧妙的证法，请学习掌握例7、以原点和点为两个顶点作等腰直角三角形，试求点和的坐标分析： 本题并没有说明中哪个角是直角，故需对直角的位置进行分类讨论解析：（1）当顶点为等腰直角三角形的直角顶点时， 设点的坐标为， 等腰直角三角形，且，于是 ，化简得 解得或 点的坐标为或，或（2）当顶点为等腰直角三角形

5、的直角顶点时，且， 设点的坐标为， ，解得或 点的坐标是或，或（3）当顶点为等腰直角三角形的直角顶点时，且， 设点的坐标为， ，解得或 点的坐标是或，或基础练习1、 选择题1、 、是表示平面内所有向量的一组基，则下列各组向量中，不能作为平面向量一组基的是（ ）A 和 B和C和 D和2、 若，则等于（ ）A B C D3、 若是的重心，、分别是、的中点，则等于（ ）A B C D4、 在平面直角坐标系中，为原点，对任意一点，它关于的对称点为，关于点的对称点为，则用、表示为（ ）A B C D5、为平面上一动点，、是平面上不共线的三点，且满足，则点轨迹必过的（ ）A 垂心 B外心 C重心 D内心6、设平面上有4个互异的点、，已知，则的形状是（ ）A 直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形7、设，且，则锐角的值可能是（ ）A B C D8、已知，直线与线段相交于，且，则等于（ ）A B2 C2或 D或49、 已知、，把向量按向量平移后得，则下列向量中能与垂直的是（ ）A B C D以上都不是10、 已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点、），则等于（ ）A BC D2、 填空题11、 在点和上分别放置质量为2和8的两个质点，则它们的重心坐标为_12、 设和是两个不共线的向量，且，若、三点共线，则的值为_13