《数形结合思想》在解题中的应用

1、浅谈数形结合思想在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。现举例如下：若直线y = xk与曲线恰有一个公共点，求k的取值范围.解：(代数法)曲线方程可化为x2y2=1(x_0),把y = xk代入x2 y2zi 1(x_0)可得：Zx2+2kx+k2-1 =0( xZO),由题意可知方程仅有一个非负根当方程有等根时，即厶=(2k)8(k21)=o,可得k二丿2,当k二衣2时，方程可化为2x2 A2xA0,得x =不合题意；当k - - 2时，方

2、程为2x22、2x 1 = 0得x-符合题意，可知2；2当方程根为x = 0时，得k2-1 =0, k =一1,当k二-1时，方程为2x2-2x = 0,得方 程两个根为& =0, x2= 1不合题意应舍去；当k= 1时，方程为2x22A0,得方程两个根为捲=0, X2 = -1适合题意，可知;当方程根为一正一负时，只需NX?1：0,可得-必1。综上所述：所求k的取值范围为k二或-1：:k乞1。(几何法)曲线x = . 1是单位圆x2y2=1的右半圆(x0), k是直线x k在y轴上的截距.在同一坐标系屮画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，k2,由图形：可得kV2或1：k乞1。上述两种

3、解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形 结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽彖问题具体化，它在数学解题屮具有极为独特的指导作 用。二、数形结合思想的概述数与形是数学屮两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其

4、实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。三、数形结合思想解题方法指导1转换数与形的三条途径：1通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。2转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。3构造，比

5、如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：1“由形化数”:就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形屮蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。2“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。3“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。四、数形结合思想方法的应用1化静为动用图像例1已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为(-1,1),(2,2),若直线I : x

6、 mAm = 0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围。分析：题中直线l:xmy m = 0是一条过定点的动直线系，而有向线段PQ是一条定的有向线段，要使直线I与有向线段PQ延长线相交，可先找到I过一个临界点Q,再从运动观点促使直线I的斜率在某一范围内，从而可求实数m的取值范围。1解：直线I的方程I : x my0可化为点斜式：y 1 (x- 0),易知直线I过定m1点M(0,1)且斜率为,因为I与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ13m平行时，直线的斜率趋近于最小；当过点M,Q时，直线I的斜率趋近于最大，又kpQ二kMQ= 2,设直线丨的斜率为k,由kPQ : k : k

7、g1132得所以_ 3： ： ：m 3m23评注：含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程本题是1化为点斜式方程后，可看出交点M(0,1)和斜率，此类题目一般结合图形化静为动，m以动求解，可判断出斜率的取值范围。2、破解疑难构图像sin x + 2例2求函数y的值域。cosx - 2分析：本题可以把函数化为关于X的三角函数，然后利用其有界性求值域，但其运算量大，对学生的运算能力有较高要求，有一定难度。此题可看成过两点M( cosx,si nx),P(2,-2)构成直线的斜率的范围，又M ( cosx,sinx)在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域。解：二sinx

8、2的形式类似于斜率公式k=y2*COSX-2血-Xisin x + 2y =-表示过两点M(cosx,sin x), P(2,-2)构成直线的斜率cosx -2“9O山丁点M在单位恻x +y =1?如图,显然kpA MyMkpB，设过P的圆的切线方程为y + 2 = k(x-2)忖 5 宀“-4 - v7 .+、亍- 2- V三-2-二 S 土二33评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在联系，考查学生的数形结合的能力。 在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图象之屮，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观

9、地 表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。3、寻求正解配图像函数值域为例3设A=X| -2乞xAa, B=y| y = 2x 3,x A, c=z| z = x2,x A,若C B,求实数a的取值范围。分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合C,进而用不等式将CB这一集合语言加以转化。解:y二2x3在-2, a上是增函数，B= y|乞y乞2a 3。作出函数的图象，其定义域右端点x = a有三种不同的位置关系：图1图2图31当一2乞&0时，如图1,聲乞乙乞4,即z|护空z乞4o1要使C B,必须且只需2a3_4,解得3,与乞a乞0矛盾。_ 22当0：: a乞2时，如图

10、2, 0乞z乞4,即z|0乞z空4.n2a + 3Z41要使C5 B,必须且只需,解得a乞2。QEa兰223当3.-2.时，女口图3, 0 Z 3勺即z | 0 - Z聲oa2兰2勺+3要使C B,必须且只需，解得2： ： ：3乞3。124当a：时，A二(r,此时B=C=_ , C二B成立。1综上所述，a的取值范围是(:,2). ,3 o评注：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，借助图象的直观形彖，达到解决问题的

11、目的。4、观其意义想图像例4已知复数z满足z-2-2i,求z的模的最大值、最小值。分析：由复数z满足z-2-2i = J2,可知有明显的几何意义，即复数z在以(2,2)为圆心，以,2为半径的圆上，通过数形结合，进而可求z的模的最大值、最小值。解：由条件可知复数z有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数2 2i对应的点之 间的距离，因此满足z-2-2i = J2的复数z对应的点乙 应在以（2,2）为圆心，以为 半径的圆上，如图所示：而z表示复数z对应的点Z到原点0的距离，显然，当点Z、圆心C、点0三点共线时，z取得最值，此时図斷2, |z|maX = 3、2,评注：本题还可以令z = abi

12、,利用代数思想求解模的最值。但是利用复 数的几何意义，借助图形利用数形结合是解决复数最值问题最有效的途径， 它将代数问题转化为几何问题，求解直观、形象，优化了解 题过程。5、结论模糊画图像x_1,wAC丨例5一（08年高考湖南卷理3改编）已知变量X、y满足条件X-yAO,X 2y _9 _ 0,求x y的最大值.分析：本题实质是线性规划问题，运用图像画平面区域，再求线性目标函数的最值。解：如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），贝Uz=xy在A点处取得最大值,fx - V = 0由y得A （3, 3）,故最大值为3+ 3=6.v o/.Q_n评注：二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域可以求目标函数的最值，属于典型的数形结合的案例。值得注意的是，目标函数对应的直线与边界直线斜 率的大小关系用于确定最优解的正确位置应仔细观察各直线的倾斜程度，准确判定可行域内的最优解。总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的的