1、用提公因式法把多项式进行因式分解

1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外 面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次哥。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1 .把下列各式因式分解2 m 2m 1m m3(1) a x abx acx ax(2) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)分析：(1)

2、若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项 系数是正数，在提出”号后，多项式的各项都要变号。分力2 m 2m 1mm 3m .23.解： a x abx acx ax ax (ax bx c x )(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a b)2n (b a)2n;(a b)2n 1 (b a)2n 1 ,是在因式分解过程中常用的因式 变换。解：a(ab)32a2(b a)22ab(ba)322a(ab)2a (ab)2ab(ab)2_a(ab)(a b)2a(ab) 2 b22a(a b)(3a2 4ab b2 2b)2. 利

3、用提公因式法简化计算过程 987例：计算1231368987268 -1368987987456 521 -13681368分析：算式中每一项都含有987.卫-,可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368“987解：原式1368987(123268 456 521)136813689873. 在多项式恒等变形中的应用2x y 3例：不解方程组，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y) 的值。5x 3y 2分析：不要求解方程组，我们可以把2x y和5x 3y看成整体，它们的值分别是和 2 ，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y

4、和5x 3y的式子，即可求出结果。解： (2x y)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x) (2x y)(5x 3y)把2x y和5x 3y分别为3和2带入上式，求得代数式的值是6。4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n, 3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍数。分析： 首先利用因式分解把代数式恒等变形，3n 22n 23n2 n3n 23n2n 2接着只需证明每一项都是2n10 的倍数即可。3n (32 1) 2n (22 1)10 3n5 2n对任意自然数n， 10 3n 和 5 2n 都是10的倍数。3n 2 2n 2 3n 2n一定是

5、10的倍数5、中考点拨：例 1。因式分解3x(x 2) (2 x)解： 3x(x 2) (2 x)3x(x 2) (x 2) (x 2)(3x 1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。32例 2分解因式：4q(1 p)3 2(p 1)232解： 4q(1 p) 2( p 1)324q(1 p)3 2(1 p)222(1 p)22q(1 p) 122(1 p)2(2q 2pq 1)说明： 在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例 1. 计算： 2000 20012001 20

6、01 20002000精析与解答：设 2000 a ，则 2001 a 12000 20012001 2001 20002000a10000(a 1) (a 1) (a 1)(10000a a)a(a 1) 10001 a(a 1) 10001a(a 1) (10001 10001)0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复出现，又有2001 2000 1 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。24242例 2. 已知： x bx c( b、 c 为整数)是x 6x25及 3x

7、 4x 28x 5的公因式，求 b、 c 的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注 意 到 x2 bx c 是 3(x4 6x2 25) 及 3x4 4x2 28x 5 的 因 式 。 因 而 也 是(3x4 4x228x 5) 的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。24242解： x bx c 是 3(x 6x 25) 及 3x 4x 28x 5的公因式也是多项式3(x4 6x2 25) (3x4 4x2 28x 5)的二次因式42422而 3(x4 6x2 25) (3x4 4x2 28x 5) 14(x2 2x 5)b、 c 为整

8、数22得： x bx c x 2x 5b2， c 5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2 28x 70 ，从而简便求得 x2 bx c。例 3. 设 x 为整数，试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数，请说明理由。解： 10 5x x(x 2)5(2 x) x(x 2) (x 2)(5 x)x 2， 5 x 都是大于1 的自然数(x 2)(5 x)是合数说明：在大于1 的正数中，除了1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1. 分解因式：( 1) 4m2n3 12m3n2 2mn2 n2n1nn1( 2) a x

9、 abx acx adx ( n 为正整数)3222( 3) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)22. 计算： ( 2) 11( 2)10的结果是()A. 2100B. 210C. 2D. 13. 已知x、 y 都是正整数，且x(x y) y(y x) 12，求 x、 y。4. 证明：817 279913能被45 整除。5. 化简：1 x x(1 x) x(1 x)2 x(1 x) 1995 ,且当x 0时，求原式的值。【试题答案】1. 分析与解答：2332（ 1） 4m n 12m n 2mn222mn(2mn 6m n 1)2）2 n2 axabxn 1n acxadxn3）原式n ax原式13(axbx2cxd)a(ab)32a2(a b)22ab(a b)2a(aa(a2b)2(a b) 2a2b) 2 (3a 3b)2b23a(a b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3. x(x y) y(y x) 12(x y)(x y) 12x、 y 是正整数12分解成1 12， 2 6， 3 4又 x y 与 x y 奇偶性相同，且x y x yxy2xy6x4y2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4. 证明：817 279 913328327326