(完整word版)勾股定理(知识点+题型分类练习)(2),推荐文档

1、勾股定理（知识点）【知识要点】1 .勾股定理的概念:AB CD=AC BC如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。常用关系式由三角形面积公式可得:2 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a, b,c有下面关系：a2 + b2=c2,那么这个三角形是直角三角形， 其中c为斜边。3 .勾股数：满足a2+b2= c2的三个正整数 叫做勾股数（注意： 若 a, b, c、为勾股数，那么 ka, kb, kc同样也是勾股数组。）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,2

2、4,25 ; 8,15,17等用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （n 2, n 为正整数）；2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n 为正整数）4 .判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的

3、一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）;（2）若c2=a2+b2,则 ABC是以/ C为直角的三角形；若a2+b2vc2,则此三角形为钝角三角形（其中 c为最大边）；若a2+ b2>c2,则此三角形为锐角三角形（其中 c为最大边）5 .直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：/C=90°ZA+Z B=90°1 / 11(2)在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。/ A=30° )可表示如下：B BC =1AB2/ C=90°(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。/ ACB=90 、可表示如下： CD =1

4、 AB = BD = AD2JD为AB的中点6 .数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和 第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。15 / 11勾股定理专项练习、基本应用 考点1:勾股定理1 .下列是勾股数的一组是（D ）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,352 . 4ABC中，/A:/B:/C=2 1:1, a, b,c分别是/ A、/B、/C的对边，则下列各等式中成立的是 （A.a2+b2=c2B

5、.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a223 .矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为60 cm4 .如图，在4ABC中，/BAC=90o AB=1§ AC=2QADL BC垂足为D,则4ABC斜边上的高 AD= 125 .已知等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cmx则腰上的高为（A.12cmB.60 cm13C.120 cm13D.10cm136 . 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为8,107 .（易错题）已知直角三角形的两边x, y的长满足| x-4 | 十"V 3=0,则第三边的长为8 .若直角三角形的三边长

6、分别为2,4, x,则x的可能值有（A.1个B.2C.3D.49 .已知直角三角形两边长分别为3、4,则第三边长为10.已知直角三角形的两直角边之比为3:4,斜边为10,则直角三角形的两直角边的长分别为11 .如图，分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式_S 1+S2=S3.12 .（易错题）如图，已知在 RtABC中Z ACB=90 , AB=4,分另以AC, BC为直径作半圆，面积分别记为S, S2,则S1+S的值等于2兀.13 .如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7

7、cm,则正方形A, B, C, D的面积之和为 49 cm第4题第11题第12题第13题14 .在 RtAAB(C /C=90(1)已知 c=17, b=8,求 a。(a=15)(2)已知 a : b=1 ： 2, c=5,求 a。(a=v5)(3)已知 b=15, /A=30° ,求 a, c。(a=5v3, c=10v)15.若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求 n。 (n=2)16.若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。（S=96）考点2.勾股定理逆定理1 .以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 ,能构成直角三角形的是 .

8、（填序号）3, 4, 5 1 , 3, 4 4 , 4, 6 6,8, 10 5 , 7, 2 13,5, 12 7 , 25, 242 .在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ）A.a=9, b=41, c=40B.a=b=5, c=5j2 C.a : b： c=3 ： 4 ： 5 D.a=11, b=12, c=153 .若一个三角形三边长的平方分别为：3： 4： x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是（D ）A. 42 B. 52C .7 D . 52 或 74 .下列说法不正确的是（B ）A.三个角的度数之比为1 ：3 ： 4的三角形是直角三角形

9、B.三个角的度数之比为 3 ：4 ： 5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3 ： 4 ： 5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为5 ： 12 ： 13的三角形是直角三角形5 .若4ABC的三边 a、b、c,满足（a-b） （a2+b2- c2） =0,则 ABC是（C ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6 .有下列说法：若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形； 在 ABC中，a、b、c分别是/ A、ZB> /C的对边，若a2+b2>c2,则 ABC是钝角三角形； 在 ABC中，a、b、c分别是/ A /日/ C的对

10、边，若 b2+c2=a2,则/ C=900;在 ABC中，a、b、c分别是/ A、/日/ C的对边，/ C900,则a2+b2wc2。其中正确的是( D )A. B. C. D. 7 .下列说法中正确的有()如果/A+Z B+Z C=3:4:5,则 ABC是直角三角形；如果/A+ZB=ZC,那么 ABC是直角三角形；如果三角形三边之比为6: 8: 10,则ABC是直角三角形；如果三边长分别是n2-1 , 2n, n2+1 (n>1),则 ABC是直角三角形。A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8 .若Jc 13+|a-12|+(b-5)2=0，则以a、b、c为三边的三角形是直角三

11、角形.29 .如果4ABC的二边a,b,c满足关系式 a 2b 18 + (b-18) +c 30=0则ABC是 二角形。10 .已知:a、b、c为乙ABC的三边，且满足a2c2-b 2c2=a4-b 4,试判断 ABC的形状.解:a2c2-b 2c2=a4-b 4, c2(a2-b 2)=(a 2+b2)(a 2-b 2).c2=a2+b2.ABC是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误 ？请写出该步的代号：(2)错误的原因为除数可能为零；11 .已知 ABC的三边为a、65且2加通1:172 ,求三角形三个内角度数的比(/ A /B: /C=1:1: : J2)- 2

12、12 . ABC的三边a、b、c满足1a b 5017a b 32 (c 40)0 ,试判断 ABC的形状.(直角三角形)13 .已知 ABC的三边为a、b、c,且a+b=4, ab=1 , c=v14 ,试判定 ABC的形状。(直角三角形)14 .若 ABC的三边a, b, c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定 ABC的形状.（直角三角形）则三边长分别为多少米？此三角形的形状为?15 .一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形,（6; 8; 10;直角三角形）3 a2b+ab2 ac2+bc2 b3=016 .若ABC勺三边长为a, b,c,根据下列条件判

13、断 ABC勺形状.(1) a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a考点3.数轴表示无理数 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1 .用圆规与尺子在数轴上作出表示尺的点，并补充完整作图方法-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 62 .在数轴上画出表示 V17的点?-5-4-3-2-101234563 .在数轴上作出表示 3- <2的点-5-4-3-2-10123456考点4:勾股定理几何应用1 .如图在矩形 ABCM ,M是CD中点，AB=8, AD=3 （1）求AM的长；（2） AMA配直角三角形吗？为什么?（AM=5不是直角三角形）2 .如图所示，在 RtAB

14、C中，/ ACB=90 , CD> AB边上高，若 AD=8, BD=2求.VCD (CD=4求木箱端点E距地面AC的高度EF。（EF=3）3 .一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时， AB=3m已知木箱高BE=J3m,斜面坡角为30° ,4 .有一块土地形状如图所示 ，/ B=Z D=90° ,AB=20米,BC=15米,CD=7米，请计算这块地的面积.（S=234）5 .四边形 ABCDK / B=90° , AB=3, BC=4, CD=12 AD=13,求四边形 ABCM面积。(6 .如图，在四边形 ABCD43,AB=12 cm,BC=3

15、 cm,CD=4 cm, / C=90° 求 BD的长；(BD=5 (2)当 AD为多少时，/ ABD=90 ? (AD=13)7 .农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD他量得边长 AB=90m BC=120m CD=130m DA=140m且边AB(S=13800)BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。8 .如图所示的一块地， AD=12m CD=9m /ADC=90 , AB=39m BC=36m 求这块地的面积.（二）、实际应用:1.梯子滑动问题:1 .一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），

16、如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ,那么梯子底端将向左滑动0.8 米2 .如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离V5T-13 .小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m当他把绳子的下端拉开 5米后,发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为12 米4 .如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是18。5 .如图，一个3米长的梯子 AB斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO的距离为2.5米.求梯子的底端B距墙角O多少米？ （1.66）如果梯的顶端A沿墙下滑动的

17、距离近似值（结果保留两位小数）.（0.58）6 .如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根O的距离为2m,梯子的顶端B到地面的距离为 7m现将梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端 A到墙根。的距离为3m,同时梯子的顶端B下降到B',那么BB'也等于1m吗？（不等于1,小于1）7 .爬行距离最短问题：1 .如图，正方体盒子的棱长为 2, AB中点为M 一只蚂蚁从点 M沿正方体的表面爬到点 C ,蚂蚁爬行的最 短距离是（B ）A. 13 B. 17 C. .5 D. 2. 52 .如图，一块砖宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点F距地面的高 FD=8

18、cm,地面上 A处的一只蚂蚁到 F 处吃食，要爬行的最短路线是17 cm3 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm 3dm. 2dm, A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 25 分米?4 .一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的 A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是10 .5 .在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且AD木块的正视图是边长为 0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点 A处，到达C处需要走的最短路2.63.方向问题:因水流原

19、因，到达南岸后，发现1 . 一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了 3 <34 米.2 . 一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为（ D ）A.100mB.500mC.1 240mD.1 000m3 .有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛M,测彳导/ MAN= 30° ,当他至|J B点时，测得/ MBNh 45° , AB= 100米，你能算出 AM的长吗？ （ x=50+50通）M4 .“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号每小日航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航，乙船以每小时5 .一轮船在大