2018届高考数学(文)大一轮复习：第10章第1节随机事件的概率

1、第十章概率深研高考备考导航为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点2016 年2015 年2014 年2013 年2012 年随机事件的概率全国卷n T18全国卷n - T18全国卷n T19全国卷 T18古典概型全国卷I T3全国卷m T5全国卷I - T4全国卷I - T13全国卷n - T13全国卷I T3全国卷n T13几何概型全国卷n T8重点关注综合近5年的全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1 .从考查题型看：一般有 1个客观题或1个解答题；从考查分值看，占517分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查应用意识、转化与化归思想及运算求解

2、能力.2 .从考查知识点看：主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型.3.从命题思路上看：(1)随机事件的概率与统计知识相结合考查.(2)概率的计算主要考查古典概型的应用.导学心语1 .全面系统复习，深刻理解知识本质(1)深刻把握随机事件、互斥事件、对立事件、古典概型、几何概型的概念，复习时可以通过选择一 些易错易混的小题进行强化.(2)重视古典概型概率公式、几何概型概率公式、互斥及对立事件概率公式的理解和应用，注意公式 适用的条件.2 .熟练掌握解决以下问题的方法与规律(1)随机事件的概率、互斥事件概率、对立事件概率的求法.(2)古典概型概率与几何概型概率的计算.利用强化训练，总结规律方法

3、，提升认识.3 .重视转化与化归思想的应用(1)需要将实际问题的概率计算转化为某概率类型进而求解.(2)将古典概型概率计算转化为计数问题；将几何概型概率计算转化为长度、面积的计算；将复杂事件的概率计算转化为互斥事件或对立事件的概率计算等.(3)将图表信息转化为概率计算需要的数量，进而求解，并重视与统计知识交汇渗透.第一节随机事件的概率考纲传真1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2 了解两个互斥事件的概率加法公式.抓基础自主学习理教材.双基自主测评知识梳理*4 .概率和频率(1)在相同白条件 S下重复n次试验，观察某一事件 A是否出现，称n次试验中事件

4、A出现的次数nAnA , 一， ,为事件A出现的频数，称事件 A出现的比例fn(A)=%为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件 A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).5 .事件的关系与运算定义付万表/、包含关系若事件A 七 则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B? A（或 A? B）相等关系若B? A,且A? B,那么称事件 A与事件B相等A= B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AU B（或 A+ B）父事件

5、(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)APB（或 AB）互斥事件若AAB为不可能事件,那么称事件 A与事件B互斥AA B= ?对立事件若AA B为不可能事件，AU B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件An B= ?且 AU B= Q3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0W P(A) w 1(2)必然事件的概率 P(E) = 1.(3)不可能事件的概率P(F) = 0.(4)互斥事件概率的加法公式.如果事件 A与事件B互斥，则 P(A U B) = P(A) + P(B);若事件B与事件A互为对立事件，则 P(A)

6、= 1 P(B).学情自测6 .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.()(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()答案(1)X (2) V (3)，(4) X7 .(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取 3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有 1个白球和至少有 2个白球；至少有 1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是对立事件的为()A

7、SB.C.D.B 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，中两事件是对立事件.1 1 8 . (2016 天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是甲获胜的概率是则甲不输的概23率为()2B.55A.6c.61D.3A 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为；+ 1=5.2 3 69 . (2017 郑州调研)集合A=2,3 , B= 1,2,3,从A, B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是.1-从 A, B 中各取一个数有(2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 6 种情况， 3

8、其中和为4的有两种情况(2,2) , (3,1),2 1故所求事件的概率 P=-=- 6 310 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 .(填序号)至多有一次中靶；两次都中靶；只有一次中靶；两次都不中靶明考向题型突破|I"阿II|随机事件间的关系青鼐意收像例可 (2017 中山模拟)从1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有 个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是 奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.B.C.D.C 从1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数有 3

9、种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数， 其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件. 又中的事件可以同时发生，不是对立事件.规律方法1.本题中准确理解恰有两个奇数 (偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数 (偶数)是求解的关 键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.11 准确把握互斥事件与对立事件的概念.(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生.变式训练1 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出 2球，事件A=

10、"取出 的2球同色”，B= "取出的2球中至少有1个黄球”，C= "取出的2球至少有1个白球"，D= "取出 的2球不同色"，E= "取出的2球中至多有1个白球”.下列判断中正确的序号为 .【导学号：31222392】A与D为对立事件； B与C是互斥事件； C与E是对立事件； P(CU E) = 1;P(B) = P(C).当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确.当取出的2个球中恰有一个白球时， 事件C与E都发生，则不正确.显然 A与D是对立事件，正确；CU E为必然事件，正确.由于 P(B)=4, P(C)=3,

11、所以不正确. 55随机事件的频率与概率(2016 全国卷n )某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234>5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160% ,求P(B)的估计(3)求续保人本年度平均保费的估计

12、值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率60+50200=0.55 ,故P(A)的估计值为 0.55.4 分1且小于4的频率为30+302000.3 ,故P(B)的估计值为0.3.8 分(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.0510分调查的 200名续保人的平均保费为0.85a X 0.30 +ax 0.25 + 1.25a x 0.15 + 1.5a x 0.15 + 1.75a

13、x 0.10 + 2aX0.05= 1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.12分规律方法1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.12 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验， 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.变式训练2 (2017 西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415不晴雨阴阴阴

14、雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4月份的一个晴天 开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.26 1330=宿5分解(1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26, 2分以频率估计概率，在 4月份任选一天，西安市不下雨的概率为(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对"(如，1日与2日，2日与3日等).这样，在4月份中，前一14 7天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有 14个，所以晴天

15、的次日不下雨的频率f =76=8.10以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 八612分互斥事件与对立事件的概率例某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x, y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；【导学号：31222393】(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率).25+y+ 10=100X

16、55%解(1)由题意，得十X+30=45,解得x= 15,且y = 20.2分该超市所有顾客一次性购物的Z耨I时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计.= 1.9,2.5分钟、3分钟”.设A表示事件1X 15+1.5 X 30+2X25+20X 2.5 +10X3P(A)=1P( A)求解.当互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 题目涉及“至多” “至少”型问题，多考虑间接法.变式训练3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开

17、奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A, B, C,求：(1)P(A) , P(B), P(C);(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.1解(1)P(A)=1005，P(B) =0=, 2 分 ')1 000100'501P(C)=.1 000 20111,故事件A, B, C的概率分别为1000, , 20.5分(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M则 阳AU BU C. A, B, C两两互斥，P(M)= P(AU BU C)= P(A)

18、 + P(B) + P(C)1 + 10+5061、=81 0001 000 ' 8 刀, 一，,61故1张奖券的中奖概率约为 1000.则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,P(N)= 1-P(AU B) = 1 1989+I、1001 000 为对立事件, 989故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 1000.12思想与方法1 .对于给定的随机事件 A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).2 .对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.

19、3 .求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计 算.(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A) = 1 P(A),即运用逆向思维(正难则反).易错与防范1 .易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数.2 .正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事 件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3 .需准确理解题意，特别留心“至多” “至少” "不少于”等语句的含义.课时分层训练(六十一)随机事件的概率A组基础达标(建议用

20、时：30分钟)一、选择题1 .有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事 件.2 . (2017 湖南衡阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A= 抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件 C= 抽到三等品,且已知P(A)=0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1 ,则事件“抽到的产品不 是一等品”的概率为()A. 0.7B. 0.65C

21、. 0.35D. 0.3C 二.事件A= 抽到一等品,且P(A) = 0.65 ,，事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P= 1 P(A) = 1 0.65 =0.35.，一， ，一， ，1，一，一 12，3.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为都是白子的概率是 ,则735从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()【导学号：31222394】1A.712B.35D. 117C.35C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件 A, “从中取出2粒都是白子”为事件 B, “任意取出2粒 恰好是同一色”为事件 C,则C= AU B,且事件A与B互斥，故 P(C) = P(A) + P

22、(B) =1+1| = 17.7 35 354 .某袋中有编号为1,2,3,4,5,6 的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下 编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()B.-1A. 一 55C.635D-36C 设a, b分别为甲、乙摸出球的编号.由题意，摸球试验共有n = 6X6= 36种不同结果，满足 a=b的基本事件共有6种，所以摸出编号不同的概率 P= 1-6；= 5.36 65.如图10-1-1所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（）10-1

23、-12A.57B.i0c.4C 设被污损的数字为 X,则x 甲= 1(88 + 89+90+91 + 92) =90, 5一 1x 乙=工(83 + 83 + 87 + 99 + 90 + x),5若x甲=x乙，贝U x= 8.若x甲x乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,784 ,故 P= 5.二、填空题6.给出下列三个命题，其中正确命题有个.有一大批产品，已知次品率为10%从中任取100件，必有10件是次品；做 7次抛硬币的试验,结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.【导学号：31222395】0 错，不一一定是 10件次品；错,3

24、一7是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念.7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907966191 925 271 932 812 458 569683431257 393027 556 488 730 113537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为【导学号：31222396154 20组随机数中，恰有两次命

25、中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P=20 = 14.8 .抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A+B) =.9 将事件A+ B分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5” .10则C, D互斥，且 P(C)=1, P(D) = 1, 33P(A+ B) = P(C+ D) = P(C) + P(D) = 2.3三、解答题9 . (2015 北京高考节选)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下

26、统计表，其中表示购买，“X”表示未购买 商品顾客人数.甲乙丙丁100VXVV217XVXV200VVVX300VXVX85VXXX98XVXX(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.解(1)从统计表可以看出，在这 1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时200八购头乙和丙的频率为限=025分(2)从统计表可以看出，在这 1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率可以估计为100 + 2001

27、 000= 0.3.1210 .某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过 2人的概率为0.56 ,求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96 ,最少3人的概率为0.44,求y, z的值.解记事件“在竞赛中，有 k人获奖”为Ak(k 6 N, k<5),则事件 A彼此互斥.1分(1) .获奖人数不超过2人的概率为0.56,.P(Ao) + P(Ai) + P(A2)= 0.1 + 0.16+x= 0.56 ,解得x= 0.3.5分(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96 ,得P(A5) =

28、1 0.96 =0.04 ,即 z= 0.04.8 分由获奖人数最少 3人的概率为 0.44 ,得P(A3) + P(A4) + P(A5) = 0.44 ,即 y + 0.2 +0.04 =0.44 ,解得y= 0.2.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1 .掷一个骰子的试验，事件 A表示“出现小于5的偶数点”，事件 B表示“出现小于 5的点数”， 若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A+ 'B"发生的概率为()1B.一 25D.61A. 一3 2C.3C 掷一个骰子的试验有 6种可能结果.依题意 P(A)=| = g, P(B) =7 = 1, 6 36 3P(-B) = 1-P(B) = 1-|=1.3 3B表示“出现5点或6点”的事件,因此事件A与B互斥,从而 P(A+ B) = P(A)+P( B) =3 + 3=3.311135 由题息可知2017年仝气质重达到良或优的概率为p=w + 6+3=5.3. (2017 贵阳质检)某