(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.5绝对值不等式讲义(含解析)

1、§ 2.5 绝对值不等式取新考明考情考向分析1 .会解 |x+b|wc, | x+ b| > c, |xa|十|x b|>c, |xa|十|xb|wc 型不等式.2 . 了解不等式| a| - | b| < 1 a + b| < 1 a| +| b|.绝对值小等式的解法，利用绝对值小等式求 最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和 数列、函数的结合是常见题型，解答题居多， 难度为中局档.基础知识自主学习阿Ml基毗知,训海星航眩目知识梳理1 ,绝对值三角不等式(1)定理1：如果a, b是实数，则|a+b| < |a| +| b| ,当且仅当ago时,等号成立

2、.(2)定理 2：如果 a, b, c是实数，那么 | a一 c| w | a b| +1 b c| ,当且仅当(a b)( b c) no 时，等号成立.2.绝对值不等式的解法 含绝对值白不等式| x|< a与| x|> a的解集：不等式a>0a= 0a<01 x1< a(a, a)?|x|>a(一巴a) U ( a, +0°)(巴 0) U (0 , +OO)R(2)| ax+ b| < c(c>0)和 | ax+ b| >c( c>0)型不等式的解法： I ax+ b| < c? cw ax+ bw c;I ax

3、+ b| >c? ax+bc 或 ax + bw c.:概念方法微思考】| xa| + |xb| rc(c>0)和|x a| + | xb| w c(c>0)型不等式有哪些解法?各体现了什么数学思想？提示(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.21基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)| x+2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离.(X(2)| x|> a 的解集是x| x>a 或

4、x< a. ( x )(3)| a+b| = | a| + | b| 成立的条件是 ab>0.( V )(4)若 ab<0,则 |a+b|<| a- b|.( V )(5)对一切 xCR,不等式 |xa| + |xb|>| a b| 恒成立.( x )题组二教材改编集为()B. (2,1 U (4,7D. -2,1) U (4,72. P20T7不等式 3<|5 -2x| <9A. -2,1) U 4,7)C. (-2, -1 U 4,7)答案 D|2x-5| <9,解析由题意得|2x-5|>3 ,一9W2 x一5W9,2x 5>3

5、或 2x 5< 3,2a xW 7,解得 一不等式的解集为x>4或x<1,3. P20T8不等式 | x1| |x5|<2A.(巴 4)C. (1,4)-2,1) U (4,7的解集是()B.(巴 1)D. (1,5)答案 A1 x (5 x)<2 ,.4<2,不等式恒成立，x< 1.当1<x<5时，原不等式可化为 x-1-(5 -x)<2 ,. x<4, 1- 1<x<4,当x>5时，原不等式可化为 x- 1-(x-5)<2 , ，4v2,此时无解.综上，原不等式的解集为(8, 4).解析 当x<

6、l时，原不等式可化为题组三易错自纠4 . （2018 浙江源清中学月考）已知a, b R,则a+ b|03"是a| +| b| W3"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 | a+ b| < | a| + | b| ,由 | a| 十 | b| w 3 可得 | a+ b| w 3,又当 a=-4, b=2 时，|a+b|03 成立，而| a| + | b| <3不成立，故a+ b| < 3"是“ | a| + | b| < 3"的必要不充分条件.5 .若存在实数x使|xa|+

7、| x 1|03成立，则实数a的取值范围是（）A. 2,4B. 1,2C. -2,4D. -4, -2答案 C解析 | x-a| + | x-1| >|（ x-a） -（x-1）| = | a- 1| ,要使 I xa| +|x-1|<3 有解,则| a 11 w3, 30 a 1 w3, 1 2w a=c4.0 16,若不等式|2x-1| + |x + 2| >a+-a+2对任意实数 x恒成立，则实数 a的取值范围是1答案 一1,万解析设 y= |2x- 1| +|x+2|-3x - 1, x< - 2,1_-x+3, -2< x13x+ 1, x>-当

8、x<2 时，y= - 3x- 1>5;15当一2<x<5时，-<y=- x+3<5;当 时，y = 3x+1>|,5故函数y= |2 x- 1| + | x+ 2|的最小值为-因为不等式|2x 1|+|x+ 2|>a2+；a+2对任意实数x恒成立,所以a?+ 2a+ 2.解不等式 2> a + 2-a2,得1w aw2,1故实数a的取值范围为 一1,2.题型分类深度剖析n时物/谯度别折王点用点至曾探究题型一绝对值不等式的解法自主演绦1 . （2018 浙江嘉兴七校期中）不等式1W|2 x-1| <2的解集为（.1,3A. 2, 0 U

9、 1, 2-1.3C. -2, 0 U 1 , 2B.1 3 一2 2D. ( 8, 0 U 1 , +OO)答案 C解析 不等式等价于1W2x1<2或2<2x1W 1,.3 ,、1.解得 1Wx<2 或2<xW0.2.（2018 宁波北仑中学期中则实数a的取值范围是（）若关于x的不等式|x1| |x 3|> a23a的解集为非空数集,A. 1<a<2C. a<1 或 a>2D. awi 或 a>2答案 B解析'' (| x 1| | x 3|) max= 2,.a23a<2,得3.不等式| x- 1| + |x

10、 + 2| >5的解集为 .答案x|xw 3 或 x>2解析 方法一 要去掉绝对值符号， 需要对x与-2和1进行大小比较，-2和1可以把数轴 分成三部分.当 x<2时，不等式等价于一（x1） （x + 2）>5,解得 x< 3;当一2Wx<1 时，不等式等价于一（x 1）+（x+ 2） >5,即3>5,无解；当x>l时，不等式等价于 x- 1 + x + 2>5,解得x>2.综上，不等式的解集为 x| xw3或x>2.方法二 | x 1| 十 | x+ 2|表示数轴上的点 x到点1和点一2的距离的和，如图所示，数轴上 到点

11、1和点一2的距离的和为5的点有一3和2,故满足不等式| x1| 十|x + 2| >5的x的取 值范围为x<- 3或x>2,所以不等式的解集为x|xw3或x>2. 311一 L一 1-3-2-1 0 12-'31 一4,设不等式|x 2|<a(ae N)的解集为A,且,£ A, -?A<,则a =.答案 13.1斛析:/A,且2?a,13 一 一*解得 2<2忘5，又aeN,，a=1.思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方

12、法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.题型二利用绝对值不等式求最值师生共研例1 (1)(2018 浙江温州十校联考)对于任意实数a和b(bw0),不等式|a+b| + |a b| > I b|(| x1|+ |x2|)恒成立，则实数 x的取值范围是 .| a+ b| + | a b| a+ b| + | a b|解析 原不等式可化为1|61L >|x-1| +|x- 2|恒成立，令m= | :匹L.由| a+ b| + | a- b| >|( a+ b) (a b)| = 2| b| ,得 n>2,当且仅当(| a| + |

13、b|) (| a| 一.一 .一 一.一 15 | b|) <0,即| a| w | b|时，取等号，所以有| x-1| + |x-2| <2,解得WxW2,即实数x的取一 1 5值氾围是2，2 .(2)(2018 温州联考 Emaxp, q=" 设 Mx, y) = max| x2+y+1| , | y2-x + q, p<q,1|,其中x, ye R,则Mx, y)的最小值是 .3答案 ；4解析 由已知得 Mx, y) >I x2+y+ 1| , Mx, y) >I y2-x+ 1| ,则 2Mx, y) >I x2+y+ 1| +| y2 x

14、+ 1|>1( x2+ y+ 1) +(y2-x+ 1)| = | x2x+y2+y+2|1 2.,12.33=x-2 + y+2 +2 )2,L3则 Mx, y) >4.113当 x=, y= 2时,Mx, y) =4,一.一 .3所以Mx, y)的取小值为-.4思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即 | a| + | b户| a± b| >| a| -| b|.(3)利用零点分区间法.跟踪训练1 (1)(2018 浙江金华一中模拟)若关于 x的不等式|x + t22| +|x+t2+2t 1&l

15、t;3t无解，则实数t的取值范围是()A. -5 1B.(-巴 05C. (8, 1D. (8, 5答案 C解析 由题意，得当two时，该不等式无解；当t >0时，因为| x+ t2-2| + |x+t2+2t-1| >| x + t2-2-(x+t2+2t - 1)| =2t + 1,要使原不等式无解，则需 3tW2t+1,解得0<tW1.综 上所述，实数t的取值范围为(8, 1,故选C. x, x<y, 一, 一(2)(2018 浙江第二次联盟校联考)定义minx, y=已知x是不为2或8的y, x>y,，4 -21一，一一，实数，若S= min |x_2|

16、, x_8| ,则S的最大值为 .-1答案 221-2-1_2解析 由题意可得，因为 S= min . v , 1 丫 ,所以0<Sw"且0<S<-,得士| x 2| x 8| x2| x8| S>|x2| 且 |x8|,所以 I x2| 十 | x 8| >6.当且仅当(x 2) ( x8)<0 时等号成 SSr -1 一 一1立，得g2，所以S的最大值为2.题型三绝对值不等式的综合应用,师生共研例2(2018 浙江省杭州重点中学期中)已知函数f(x) = x|x-a| -1.(1)当a=1时，解不等式f(x)<x 1； (2)当xe(0,

17、l时，f(x)w；x2恒成立，求实数a的取值范围.解 当 a=i 时，f( x) = x| x- 1| - 1, 由不等式 f (x)<x1,得 x| x1|<x.当x>l时，不等式化为x(x- 1)<x, 2即 x 2x<0,解得 1Wx<2.当x<1时，不等式化为 x(1 -x)< x,即一x2<0,解得 x<1.综上，不等式的解集是x| x<2.1 2(2)由题息得x| x- a| < 2x + 1当xC (0,1时恒成立,所以| x- a| w ；x +1当x e (0,1时恒成立, 2 x即:xw aw ?x+1

18、当 x C (0,1时恒成立.2 x 2 x令g(x)=1x J,则g(x)在(0,1上单调递增, 2 x 1故 g(x)< g(1) =- 2.21°X-x+ ->22 x3 2x当且仅当-x =即x='-时等号成立, 2 x3一,1所以一2 0 aw(6, m所以实数a的取值范围为 一2,。6 .例3(2018 湖州市五校模拟)已知对任意的 xC1,4,I x1| 十x+-m -x+ mc4 恒成 x立，则答案解析由xC1,4,可知x 1>0恒成立，可得x1+ x+- m -x+ me4,即 x+' m x' xm的取值范围为9OO -，

19、2+ m- 1<4,令t =x + 4 4,5,即|t m+m- 1<4, tC4,5恒成立，由绝对值的几何意 x所以Ma)=34-8a, 3< a<4, 2, a>4.、-一 99 一，.乂知，当2时，11 m max= 5 m 即 5 mvF rn_1 w 4 怕成、/.,当 m>2时，11 m max= rn- 4,rrrr9 一“ 人"一即m-4+m-K4,即rmc/,不符合题息，9综上m的取值范围是me I思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题.(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决.(3)和绝对

20、值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩.(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数.跟踪训练 2(2016 浙江)已知 a>3,函数 F(x) = min2| x-1| ,x2-2ax+ 4a2,其中 min p,P，pwq,q=q, P>q.(1)求使得等式F(x) =x .=a + 4a 2,所以，由F(x)的定义知n(a) = min f 1 , g a ,0, 3< a<2+J2,即m( a) =2厂a + 4a2, a>2 + 42.当 0WxW2 时，F(x)<f(x)&

21、lt;maxf 0 , f 2 = 2 = F(2),当 2<xW6 时，F(x) < g(x) wmaxf g 2 , g 6 =ma) 2, 34 8a = ma) F 2 , F 6 .当 a>4 时，348aw2；当 3wa<4 时，348a>2,2ax+4a 2成立的x的取值范围；(2)求F( x)的最小值 m a);求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解 (1)由于 a>3,故当 xwi 时，(x2-2ax+ 4a2) 2| x1| =x2+2(a 1)(2 -x) >0,2当 x>1 时，(x 2ax+4a 2) 2| x 1

22、| = (x- 2)( x- 2a).所以，使得等式 F(x) =x22ax+4a 2成立的x的取值范围是2,2 a.2(2)设函数 f(x) = 2|x 1|, g(x) =x 2ax+4a 2,贝 U f (x) min= f (1) = 0, g(x)min=g(a)课时作业力基础保分练1 .不等式|2x-1|<3的解集是()A. (1,2)B. ( 1,2)C. (-2, - 1)D. (8, - 2) U (2 , i)答案 B解析 |2 x- 1|<3 ? -3<2x-1<3? - 1<x<2.2.不等式|2x-1| -|x-2|<0的解集

23、是()A. x| - 1<x<1B. x|x<1C. x|x>1D. x|x<1 或 x>1答案 A解析 方法一 原不等式即为|2 x-1|<| x-2| , ,224x 4x+ 1<x -4x+ 4, ,3x,1不等式组无解，由得 2<x<1,由得一1<xW2.综上可得1<x<1,原不等式的解集为x|1<x<1.3.若集合 A= x| x-1| <1, B= 2, - 1,0,1,2,则集合 AH B 等于()A. 0,2B. -2,2C. 0,1,2D. -2, - 1,0答案 C 解析 由 |

24、x1|W1 得 0WxW2,所以集合 A= x|0<x<2,所以 An B= 0,1,2,故选 C. 4. (2018 嘉兴市教学测试)已知数列an为等差数列，且38=1,则2| a9| +|310|的最小值为 ()A. 3B. 2C. 1D. 0答案 C<3, 1<x<1.方法二原不等式等价于不等式组x>2, 2x- 1 - x-2 <0或1 八2Vx<2,2x 1 + x- 2 <01x<,或 22x- 1 + x-2 <0.解析 记 y = 2| a9| + | ai0| ,设数列an的公差为 d,则 a9=i+d, ai

25、0=l + 2d,所以 y=2|1 + d| +|1 +2d|= |2 +2d|+ |1 +2d|河(2 + 2d)- (1 +2d)|= 1,当且仅当(2 + 2d)(1+2d)<0时，取等号，故选 C.5.(2018 浙江名校协作体联考)设函数f(x) = |2x 1| ,若不等式f(x) >|a+1|,-|2 a-11对| a|任意实数awo恒成立，则x的取值范围是()A.(8, 1U3,)B.(8, 1U2,+8)C.(8, 3U1,+8 )D.(8,- 2 U 1 ,+8)答案 B解析 不等式f(x)>|a+1| -|2a-1| a|对任意实数 awo 恒成立，|

26、a+1| 一|2 a1|Fa|max.因为 1a+"12aT1 = 1 + 1 2,<3, | a|a a '所以 f(x) >3,即 |2x-1| >3,即 2x-1>3 或 2x 1W 3,即x>2或xw 1,故选B.6 .已知 f (x) = 2x24x1,设有 n 个不同的数 xi( i = 1,2 ,，n)满足 0Wxyx2<v xn<3,则满足 | f (x1) f (x2)| + | f(x2) f (x3)| + | f (xn 1) -f (xn)| WM的 M 的最小值是()A. 10B. 8C. 6D. 2答案

27、A解析 由二次函数的性质得 f (x) = 2x2-4x-1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且 f (0) = - 1, f (1) = - 3, f (3) =5,则当 x1= 0, xn= 3,且存在 xi = 1 时，| f (x。一 f (x2)| 十 | f(x2) - f(x3)| + | f (xn 1) -f (xn)| 取得最大值，最大值为| f 国)一 f (Xi )| + | f (X ) f (xn)| = | 1 ( 3)| + | 3 5| =10,所以M的最小值为10,故选A.2cos -z-x. | x| w 1.7 . (2018 浙江联盟校联

28、考)设函数f(x)=2若|f(x)+f(x+l)x2-1, |x|>1.2| +|f(x)-f(x+ l )|>2( l >0)对任意白实数x都成立，则正数l的取值范围为()A. (0,2 小)B. (2 时 +8)C. (0,2 币D. 2+oo)答案 B解析 因为 | f (x)+f (x + l) 2| + | f(x) f (x+l )| >max|2 f (x) 2| , |2 f (x+l) 2|,所 以 12 f (x) 2|>2 或 12 f (x+ l) 2|>2 ,即 f(x)>2 或 f (x+ l )>2 的解集为 R,解

29、 f (x)>2 得 x<一班或 x>q3,当小Vxv 3时，有 f（x+ l）>2,解得 x+l <（3或 x+l>q3,因为 l>0,所以由数形结合知一 d3+l>ql, l>2y3.所以正数l的取值范围为（243, +8）.8 . （2018 金华十校调研）若a, b, cCR,且|a|w1, | b| <1, | c| w 1,则下列说法正确的是（）A.3 ab+bc+ ca + .B.3 ab+bc+ ca + -a-b2C.3 ab+bc+ ca + -D.以上都不正确答案 A解析由题意知，一1Wab+ bc+ca<

30、3,对于选项31 a 1A, ab+bc+ ca+- >2,/，显然不等式成立，对a, b,c分别取特殊值，取 a=1, b=1, c=0,排除选项 B,取a=1,b= 0, c= 1,排除选项C,故选A.9 .若关于x的不等式|x|+|x+a|< b的解集为（一2,1）,则实数a=答案 1 3解析 由不等式与方程的关系知，一2,1恰为方程| x| + | x + a| = b的两根，故有b= 3.| 2| + | a-2| =b, 解得|1| +| a+1| =b,10.已知 f(x)x + - axx ：a + 2x2a（x>0）的最小值为|,则实数 a=答案4解析f (

31、x)=x- a +2x 2a xx + 1-axx-1- ax+ 2x- 2a=+ 2x 2a2八 =一十 2x 2a>2 xx - 2x-2a=4-2a.，2_ 一5 .经驯证，当x = 1, a=4时,x+ -axx-ax当且仅当一=2x,即x = 1时, x . 一 5由 4-2a=2，解得 a=7=x -|a - xaxx即两处不等号取等条件相同.11. （2018 嘉兴市基础测试）当1wxW3时，|3a+2b| |a2b|a| x+m+ 1对任意的实x数a, b都成立，则实数 m的取值范围是 .-9答案 t, 4解析 当a=0时，不等式恒成立；当 awo时，原问题可转化为当 1

32、wxw3时，x + m+ x1>|3a+2b| 一 | a2b|TO对任意的实数a, b都成立,因为|3a+ 2b| Ta2b|ra?4| a|a|=4,所以当 1WxW3 时，x+ m> 3,即 x(3x)恒成立.设 f (x) =x(3 x)( x C 1,3),易得 f(x)max x99.9=1，所以只需m f （x） max,即nB4.综上，实数 m的取值范围是 不+ 00 .12. （2018 浙江十校联盟适应性考试）对任意的 x, yC R |x1| 十|x| +|y1| 十|y+1|的最小值为x, y, z 满足 x2 + 2y2+ z2= 1,则 t =3/3xy

33、 + 2yz + xz 的最大值是答案3 -26解析由绝对值不等式的性质得|x-1|+|x| + |y-1| + |y+1|>|(1 x) +x| + |(1 y) +(1 +y)| =3,1 = x2 + 2y2+ z2=纪+ 3y2+ 2y21 21 21 2 c 上 c '3 c 6+ z +x +z >2X -3-xy + 2x-yz + 2xxz,当且仅当x=Wy = z时等号成立,2 .21316'3 、：32誉y+2遭yz+2与方1卷,即t = |V3xy +/yz + xz的最大值为力技能提升练13. （2018 金丽衢十二校模拟）设实数a, b,则

34、a b2| +| ba2| W1”是“1 b一 22 32 3” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A1 2123212132222斛析a 2 + b 2 w 2? a - a+b - b+4? a 一 a+b - bwi? b 一 a+a - bwi,令 b2-a= x, a2 b= y,I x| +| y| >| x+ y| >x+ y,I x| + | y| <1? x+y<l,而反之 x+ y< 1 ? | x| +1 y| < 1,故是充分不必要条件，故选 A.1一、14. (2018 浙江六校协作体联考 )已知函数f(x)=x1,若|f(x)1| 十-a>0对|f x一1 |任意的xC R且xw2恒成立，则实数 a的取值范围为 ;不等式| f(2x)| <5- | f(2x1)|的解集为.-1 C答案(一8, 2)21解析 因为| f (x) 1| + | f x_