(名师导学)2020版高考数学总复习参数方程练习理(含解析)新人教A版选修4_4

1、21第74讲参数方程夯实基础【P168】【学习目标】1 . 了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解 决有关的问题.2 .掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程.【基础检测】2八x=2+sin 9, ，一 ，_ 、一1 .将参数方程2（ 0为参数）化为普通方程为（）y = sin 0A. y = x2 B. y = x+2C. y = x-2（2<x<3） D. y = x+2（0<y<1）【解析】消去参数，转化为普通方程得y = x-2,其中xC2, 3, yC0, 1.故选C【答案】Cx=t +1.

2、2.参数方程t （t为参数）表示的曲线是 .y = 2【解析】由x= t+；知xR2或xw 2,，曲线方程为y= 2（x >2或xW - 2）,表示两条射线.【答案】两条射线3.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆x= 2cos 0 ,y = 43sin 0为参数）的右焦点，且与直线x=42t , y=3 t（t为参数）平行的直线截椭圆所得的弦长为【解析】椭圆的普通方程为 Xr+y7=1,则右焦点的坐标为（1 , 0）.43直线的普通方程为x- 2y+2 = 0,过点（1, 0）与直线x 2y+2=0平行的直线方程为 x-2y-1 = 0.2r7由 43 得 4x 2x 11 = 0,所以所

3、求的弦长为1 + 2 x = 1 2t , x= s, 4.已知直线11：（t为参数）与直线12：（s为参数）垂直，求k的y = 2+kty=1 2s值.k 4 kk【解析】直线11的普通方程为y=- kx + 4-2-,斜率为直线12的普通方程为y=- 2x+1,斜率为2.: 1 1与1 2垂直, k _ 2x（2）= 1? k = - 1.【知识要点】1 .参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数 t的函数，即x= f_Ct-_,并且对于t的每一个允许值，由该万程组所确定的点M（x, y）都在这条曲y = g （t）线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参

4、数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称F(x, y)=0叫做普通方程.参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程2 .参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数_,消参数的方法有代入法、加减 (或乘除)消元法、三角代换法等.如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x = f(t),把它代入、八 、土,x = f(t),，、土普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么就是曲线的参数方程，y = g (t)在参数方程与普通方程白互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.3.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y y0=

5、tan a (x x0)汽，、5手工,点斜式x = x0+1 cos 0 ,(t)y = yo+tsin 0圆(x a)2 + (y b) 2= r2x = a + r cos 0 ,(0)y = b + rsin 0椭圆22*+ b2= 1(a>b>0)x= acos 0 , (0)y= bsin0双曲线x2Y2-1a? - b? 1aX A，/一cos 0( 0)y= btan 0抛物线y2= 2Px(p>0)2x= 2pt ，(t r»)y = 2pt*典例剖析 P168考点1参数方程与普通方程的互化，,，、一 x = 2cos 0 ,，,，、一例1已知曲线

6、C的参数万程是(0为参数)，曲线C的参数万程是y = sin 0x= 3 t ,4 + 2t (t为参数).v=F(1)将曲线G, G的参数方程化为普通方程；(2)求曲线。上的点到曲线 C2的距离的最大值和最小值.x= 2cos 0 ,【解析】(1)曲线Ci的参数方程是(0为参数)，y= sin 0x则 cos。=2"，. sin 2 0 + cos2 0 = 1,X2 ,2可得7+ y = 1，X22曲线C1的普通方程是- + y2=1;4x = 3 t ,曲线G的参数方程是4+2t (t为参数)，消去参数t ,v=F4+2 (3 x)t =3-x,代入 y =,即 2x+3y 1

7、0=0,3曲线C2的普通方程是2x+3y10=0.(2)设点P(2cos 0 , sin 0 )为曲线。上任意一点，则点P到直线2x+3y10=0的距 离为d,则14cos 0 +3sin 0 -10| |5sin ( 0 + 4 ) 10|d =J1=" =!尸",13；13,. sin ( 0 +() -1, 1,，de室，等, 13，13 amax _13 , dmin- 13 .【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.考点2直线与圆的参

8、数方程及应用X= tcos a ,例2在直角坐标系xOy中，曲线G:(t为参数，t W0 ),其中0W a v兀.y=tsin a在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： p =2sin 。，G: p =2j3cos 0 .(1)求C2与C3的交点的直角坐标；(2)若C1与Q相交于点A,。与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y = 0,曲线。的直角坐标方程为 x2+y2-23x=0.x2+ y2-2y= 0,联乂 x2+y22小x=0,3x=乎，x = 0,2解得 或y = 0,3y=2.所以。与Q交点的直角坐标为(0, 0

9、)和喙,3 .(2)曲线0的极坐标方程为 0 = a(pCR, pW0),其中0W a V兀.因此A的极坐标为(2sin a , a ) , B的极坐标为(2 43cos a , a ).所以 | AB = |2sin a 213cos a | = 4 Sin a 5兀一当a="6-时，|AB取得最大值，最大值为 4.X = X0+ t CoS a ,【点评】(1)过定点P0(Xo,yo)，倾斜角为a的直线参数方程的标准式为y = yo+1 sin a(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(xo, yo)的数量，即111 = | PP|时为距离.使用该式时直线上任意两点P1

10、、P对应的参数分别为tl、t2,则| R国=| tl t2| , P1P2的中点对1应的参数为2(ti+t2).(2)对于形如X-X0+at，(t为参数)，当a2+b2wi时，应先化为标准形式后才能利用ty = yo + bt的几何意义解题.考点3参数方程与极坐标方程的综合问题例3在直角坐标系xOy中，直线l过点P( -4, 0),倾斜角为a ,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是4P 2sin 20 + p 2cos2 0 -4=0.(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于不同的两点 A B,当|PA| |PB|最大时，

11、求出直线l的直角 坐标方程.x = 4 + tcos【解析】(1)直线l的参数方程为y = tsin a, x= p cos 0 , r一一 、，把代入曲线C的极坐标方程可得直角坐标方程为y= p sin 0+ cos 2 a )t 2 ( 8cos a )t(2)设A, B对应的参数分别为t1, t2,把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得(4sin2a+ 12 = 0,因为有两个交点,所以 A = 64cos2 a 48( 4sin 2 a + cos2 a ) >0,解得 0w sin 2 a12.1叫1PB1 =|t 1t2|=4sin2a+COS2a123sin 2a

12、+ 1，当 sin a = 0 时，|PA| |PB| 最大，此时 k = tan a =0,所以直线l的直角坐标方程为y=0.方法总结【P169】1 .选取参数时的一般原则是：（1）x, y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一确定x, y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数； 此外，也常用线段的长度、 倾斜角、斜率、 截距等作为参数.2 .求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点 P（x,y）; （2）选择适当白参数；（3）找出x, y与参数的关系，列出解析式；（4）证明

13、（常常省略）.3 .根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M, M2为l上任意两点，M, M对应t的值分别为t1, t2,则|M1M| = |t 1-t2| ; （2）若M0为线段MM的中点， 则有t1+t2=0; （3）若线段 MM2的中点为 M 则MM= tM=力著.一般地，若点P分线段 MM 所成的比为入，则tP=t4".b斜率为一的直aI十人4.直线的参数方程的一般式x = xo + at ,（t为参数），是过点M（x。, y。）， y = yo + bt线的参数方程.当且仅当a2+b2=1且b>0时,才是标准方程，t才具有标准方程中的几何x

14、= x。+ at ,意义.将非标准方程化为标准方程是y = y0+ btx = x。± J? 2t，,a +b(t ' CR ),式中 “土”b| 一尸yo+E t号，当a, b同号时取正；当 a, b异号时取负.5 .参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.6 .在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥曲线位置关系

15、问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x, y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.）走进高考pi7o, ，一一一 _ .X= 3cos 0 ,1. （2017 全国卷I ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为（0为y= sin 0，一 一、x= a+4t,参数），直线l的参数万程为（t为参数）.y= 1 t（1）若a= 1,求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为 小7,求a.x22【解析】（1）曲线C的普通方程为x + y2=1.9当a= 1时，直线l的普通方程为x+4y

16、3 = 0,x + 4y - 3 = 0,由 x1 2 ,9+y = 1，x = 3,解得 或y = 021x=- 25,24y=25.从而C与l的交点坐标为(3 , 0),21 2425，25 .(2)直线l的普通方程为x+4ya4=0,故C上的点(3cos 0 , sin 0 )到l的距离为13cos 0 +4sin 0 a 4|J7当a>4时，d的最大值为a+ 9,17.a= 8；.兀 .当 a w-2"时，记 tan<1,解得k< 1 或 k>1,即a 9由题设得一二肝,所以17r,，一 a+1当a< 4时，d的最大值为. ,17a -I- 1一

17、由题设得0 =肝,所以a=- 16.J7综上，a=8 或 a=16. 一 一一一 一， x= cos 8 , 一2. (2018 全国卷出)在平面直角坐标系xOy中，0O的参数万程为(0为y= sin 0参数)，过点(0,啦)且倾斜角为a的直线l与。O交于A B两点.(1)求a的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】(1)。O的直角坐标方程为 x2+y2= 1.Tt . . 一， _ 、.当a =5时，l与。O父于两点.a=k,则l的方程为y=kx ，2. l与。O交于两点当且仅当综上，”的取值范围是手.(2) l的参数方程为x = t COs a , y = 42 +1 si

18、nt为参数, a7t4<a <74设A, B, P对应的参数分别为tA, tB, tP,则tP=上广，且tA, tB满足t222tsin a+ 1 = 0.X = t pCOS a , 于是 t a+ t b= 2j2sin a, t p= J2sin a .又点 P 的坐标（x, y）满足_yyy =十+tpsina.所以点P的轨迹的参数方程是2 y=- 2a为参数,7<a <7【P278】A组题1 .求直线（t为参数）被曲线x= cos 0y= /3sin（e为参数）所截得的弦长. e【解析】直线方程可化为 ，3x + y 43=0,曲线方程可化为x2 + y- =

19、 1.3y = - V3x + 北,由 2 y2得 x2x= 0,. x=。或 x=1."I1，可得交点为 A（0 ,木）,B（1 , 0）.AB= l + 3 =2.所截得的弦长为 2.x=4+at, , , ，一 x=2+/3cos 0 ,2 .直线（t为参数）与圆V（0为参数）相切，求切线的倾y=bty = 斓sin0斜角.【解析】直线的普通方程为bx- ay-4b=0,圆的普通方程为（x 2）2+y2=3,直线与圆相切，则圆心（2, 0）到直线的距离为 小,从而有 斓=|2 b一a±2 4b|,即3a2+3b2=4b2, a b，b=±y3a,而直线的倾斜

20、角的正切值为tan a =1,tan “=±43,因此切线的倾斜角 为3-或2 x= 2 t -艰，3 .已知直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程：_（t为参数），以直角y邛坐标系的原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程.【解析】:直线l的直角坐标方程为 x y+，2=0.原点到直线的距离 r= '2=1. 2以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为p=1.4.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l1 x=t-f,的极坐标方程为 p （sin 0 3cos 0）=0,曲线C的参

21、数方程为（t为参数），l.1y=t +与C相交于A, B两点，求AB的长.【解析】直线l的极坐标方程p （sin 03cos 0）=0化为直角坐标方程为 3x-y = 0,1 x = t - t, 曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2-x2=4,1 y=t + .2x='，3x y = 0,2联立y2：24解得3 2或y=- 2x一巫x- 2 ,所以| AB =32 322 =2 5.5.已知曲线Cix = 4 + cos t ,x = 8cos(t为参数)，G:y=3+sin ty = 3sin（1）化G, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; 兀 .（

22、2）若C上的点P对应的参数为t=2，Q为。上的动点，求PQ中点M到直线C3:x=3+2t ,（t为参数）距离的最小值.y=-2 + t【解析】(1) C: (x + 4)2+(y3)2=1,22x yG： 64+L。为圆心是（一4, 3）,半径是1的圆,G为中心是坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆.一、”.兀，一一八 -八(2)当 t =了时,R-4, 4) , Q8cos0, 3sin0),3 .故 M2+4cos 0, 2+2sin 0C3为直线 x-2y-7=0,M到G的距离d = ¥14cose3sin13|=$-5阿”>131，-芋，B孚,芋

23、3 ,什85从而当 cos 0 =, sin5e=-5时，d取得取小值干.，一一一一一 X=2+tc0Sa, ,6.在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数万程是(t为参数)，以Oy=tsin a为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为9 p 2cos2 0 + 16 P 2sin 2 0= 144,且直线l与曲线C交于P, Q两点.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线 l恒过的定点 A的坐标；(2)在(1)的条件下，若| Ap | AQ =9,求直线l的普通方程. 22【解析】(1)因为x= p cos 0 , y= p sin 0 ,所以C：白+1=1.直线l恒过的定点

24、为 16 9A(2 , 0).(2)把直线l的方程代入曲线 C的直角坐标方程中得：(9 +7sin 2a ) 12+36t cos a 9X12=0.的几何意义知| AP =|t1| ,|AQ = |t2|.因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根, 36X3一一 一 , 一 36X3所以t1t2=9,7sin2,因为 1AH, |AQ=|t 1t2|=9,即2=9,9十 7sin a9 十 7sin a所以2sin a7,因为 a e (0 ,),所以 tan a = ± 乎,因此，直线l的方程为y=±3 22-(x-2).B组题G的极坐标方程为112P =3cos2e+4

25、sin26，曲线°经过坐标变换x=2x , y=V3yx=2+坐,得到曲线G,直线l的参数方程为y=¥t(t为参数，t C R).(1)求直线l的普通方程和曲线G的直角坐标方程;(2)若P为曲线G上的点，求点P到直线l的距离的最大值.【解析】（1）直线l的普通方程为xy2= 0,曲线G的直角坐标方程为 3x2+4y2=12,22即、+ y=1.+ 1.（2）由题意知，曲线所以圆心G到直线C2的方程为l的距离d =2722+y，2=i,其圆心 G(0 , 0),半径 r = 1,= 42,所以点P到直线l的距离的最大值为 d+i =，28k八，x 1 + /，一 ,-八 x=

26、2 + tcos 0 , 一 ,2.已知曲线C：2 (k为参数)和直线l :(t为参数).2 (1 k )y=1+tsin 0y=1 + k2将曲线C的方程化为普通方程;(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点，且R2, 1）为弦AB的中点，求弦 AB所在直线的方程. 2,2 (1 k )小 y2【解析】(1)由y=1 +卜2-, 4导2= 1 +1+卜2,_y .2即 5 + 1 = 1+ k2.8kx 8k又 x- 1 + k2, 所以 k2y+4'代入 1+ k2x，8X x/日2y+ 4得2=x,x 21 +2y + 422整理得3+yr= i，16 4即曲线22c的普通方程为

27、”.22x y代入 16+ 4 = 1,x= 2 + t cos(2)将y= 1 +1 sin整理得(4sin 2 0 + cos2 0 ) 12+ (4cos 0 + 8sin 0 )t 8=0.,4.,.4cos 0 +8sin 0由 P为AB的中点,得 4sin2e+cos2e =°，1所以 cos 0 + 2sin 0 =0, IP tan 0 = 2,1 一 一 一 一故直线 AB y 1 = 2（x 2）,即 x+2y 4=0.所以所求直线的方程为x+2y 4=0.3.将圆x2 + y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的 3倍，得曲线C,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为：p sin 0 + =3小,且直线l在直角坐标系中与 x, y轴分别交于 A, B两点.(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；x= 4cos a（a为参数）, y= 3sin a(2)问在曲线C上是否存在点P,使得 ABP的面积8abp= 3,若存在，