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1、浅谈用数形结合求最值著名数学家庞加莱先生说：“感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。”由此可知，数形结合可以给我们带来美的感受。  所谓数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。中外数学家对数形结合解题均非常重视。华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘：几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”前苏联数学家柯尔莫戈罗夫也曾说：“在只要有

2、可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用几何直观的问题。”这些话明确地指出了解数学问题时运用数形结合以及相互转化的重要性，切记“以形助数”与“以数辅形”，寻找简捷灵活的解题方法。教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题，解决问题，从而提高学生的数学能力。许多代数最值问题，潜在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，画一个图形给出问题的几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系。启发思维，难题巧解。一合理构造，创造情境例1：正数满足条件，且，则的最小值 分析：本题用换元法处理，比较繁琐若用数形结合，巧妙利用勾股定理,构造

3、几何图形（如图1）., .要求的最小值，即变成求DE+CE的最小值。 m n 很显然，只需D、C、E成一直线，即得解。这时E为AB的中点，所求的最小值=5.图1 二适当联想，揭示共性 例2：已知实数满足，求的最值分析：联想式子的几何意义：圆上的点与点的连线的斜率（如图所示）解：令，过点P作圆的两条切线PA、PB，则，设过点P切线方程为：则圆心到切线的距离等于半径： 图2，可得：所以：三细心观察，适当变形。例3：已知实数满足条件，求+ 的最大值分析：本题可用三角代换求解，但计算稍复杂。若利用数形结合，把条件化为：，联想椭圆方程求解，比较容易解：如图：与分别表示椭圆上的动点与椭圆的右焦点，椭圆内的定点的距离 O问题转化为求的最大值由椭圆的定义可知：图，则+ ，由三角形两边之差小于第三边，得，所以，当P，A三点共线且时，+ 取得最大值+反思：若求其最小值，结果又如何？是总之，引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，从而解决问题。用“数”的准确澄清“形”的

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