第一章定解问题

1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿牛顿重点1 1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法；2 2、系统的边界条件和初始条件的写法。、系统的边界条件和初始条件的写法。第一章第一章 数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题数学物理思想数学物理思想 数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数

2、方程，主要指偏微分方程和积分方程数方程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的许多的许多物理物理现象现象和和普遍规律普遍规律. .2声振动是研究声源与声波声振动是研究声源与声波场之间的关系场之间的关系热传导是研究热源与温度热传导是研究热源与温度场之间的关系场之间的关系泊松泊松（S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法国数学家）法国数学家）方程表示的是电势（或电场）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系和电

3、荷分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系3多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足热传导方程热传导方程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方程或拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程一、数学物理方程-泛定方程泛定方程: :物理规律的数学表示物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和

4、时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。件无关。45二、边界问题-边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿

5、第二定律。定解问题的完整提法定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。6具体的问题的求解的一般过程：具体的问题的求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出

6、泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须用的求解所必须用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分离变量法等行波法、分离变量法等分离变量法分离变量法偏微分方程偏微分方程标准的常微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特标准解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法1.1 1.1 数学模型数学模型( (方程）的建立方程）的建立7建模步骤：建模步骤：1 1、确定表征过程的物理量、确定表征过程的物理量u u（代求函数）；（代求函数）； 2 2

7、、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部、从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的关系及相互作用，用含分与它的关系及相互作用，用含u u的算术式表达此的算术式表达此作用；作用；3 3、对算式进行化简得到最终方程，此方程为、对算式进行化简得到最终方程，此方程为某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。某一类物理过程的通用方程（泛定方程）。8模型（方程）类型：模型（方程）类型：1 1、波动方程（描述振动和波动特征）；、波动方程（描述振动和波动特征）； 2 2、热传导方程（反映输运过程）；、热传导方程（反映输运过程）；3 3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定

8、过程）。程）。（一）均匀弦横振动方程（一）均匀弦横振动方程(一维波动方程）一维波动方程）弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为坐标为x 的点在的点在t时刻沿时刻沿垂线方向垂线方向的位移的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律9波动方程的导出建立方程建立方程（1）确定物理变量）确定物理变量位移位移u(x,t)（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）关系（建立等式）10 选取不包括端点的一微元选取

9、不包括端点的一微元(x, x+dx), 弦长弦长dx ，研究对象研究对象: (4) (4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力 ，力密度为：，力密度为：( , )F x t简化假设：简化假设： (1) (1)弦是柔软的弦是柔软的 ( (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2) (2)振幅极小振幅极小, , 张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3) (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。弦的重量与张力相比很小，可以忽略。( , )( , )/

10、f x tF x t 质量线密度质量线密度 ，u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xF11弦的原长：弦的原长：sx 振动拉伸后：振动拉伸后：sxuxx22()()d u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBF弦长弦长dx ，质量线密度质量线密度 ，B段段的质量为的质量为m= dx12核心等式关系：牛顿第二定律F=ma13沿水平方向，不出现平移沿水平方向，不出现平移2211coscos0TT受力分析：受力分析：14u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBF（1 1）分竖直和水平方向考虑分竖直和水平方向考虑0水平即F21TT 由由（1）式可得弦中各点的张力相等式可得弦中各点

11、的张力相等1 21 20, cos1. ，在微小振动近似下：在微小振动近似下：即张力为常数，记为即张力为常数，记为T沿竖直方向沿竖直方向11sintanxxxuux 22sintanxxxu 15u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBF12sinsinTTF竖直即)sin(sin12T对于小振动，有对于小振动，有)(xxxxuxuTF竖直)(1221xxxxxuT），使内至少存在一个则在可导，连续，在朗日中值定理：（注：上式利用了拉格)()()(),(),(,)(fabafbfbababaxf16竖直方向上满足牛顿第二定律：竖直方向上满足牛顿第二定律：由前知弦长由前知弦长x(dx）

12、，质量线密度质量线密度 ，质量为质量为m= xatu代替处的加速度故用其中任一点近似相等，很短，其上每点加速度由于所取弦长2222x)(2222xxxtuxma故maF竖直综合前式，有212222tuxxxuT 上式即为通过核心等式关系建立的研究对象u(x,t)所满足的方程式。（3）对等式进行化简得到最终方程（泛定方程）172/aT 其中其中令令x0，得到，得到22222xuatu（2 2）（2）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。18若有外力作用在弦上，方向垂直于若有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设单位长轴，设单位长度弦受力度弦受力F（x，t），由

13、于弦段很小，其上各点外），由于弦段很小，其上各点外力近似相等，故该段所受外力为力近似相等，故该段所受外力为)(),(33xxxxtFF外maFF拉竖直外19此时竖直方向上的牛顿第二定律为此时竖直方向上的牛顿第二定律为同样利用前面关系代换，有同样利用前面关系代换，有2122322),(tuxxtFxxuT( , )( , )/f x tF x t 两边约去两边约去x，并令，并令x0，得到，得到其中其中),(22222txfxuatu（3 3）（3）式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。）式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。20波动方程可统一表示为：波动方程可统一表示为：21类似可得到二维波动方程（

14、薄膜振动）和三维波动类似可得到二维波动方程（薄膜振动）和三维波动方程（电磁波、声波的传播）：方程（电磁波、声波的传播）：),()(2222222tyxfyuxuatu),()(222222222tzyxfzuyuxuatufuautt2其中其中为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，时为齐次方程，f0时时为非齐次方程。为非齐次方程。热传导方程热传导方程 热传导现象：热传导现象：系统的温度系统的温度 u(x,y,z,t) 不均匀时，将不均匀时，将出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导出现热量从温度高处到温度低处的流动，叫热传导。22建立方程建立方程（1）确定物理变量）确定物理变

15、量温度温度u(x,t)（2）系统中取一小部分，分析临近部分与之）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）关系（建立等式）核心等式：核心等式：流动热量温度变化QQ23xx1x2xA横截面积为横截面积为A的均匀细杆，的均匀细杆，杆长方向有温差，侧面绝热。杆长方向有温差，侧面绝热。热量守恒热量守恒 假设假设t时间内时间内x温度升高，则温度升高，则其中其中c为比热容（即单位质量升高单位温度所需为比热容（即单位质量升高单位温度所需热量），热量），m为质量。为质量。),(),(21txutxumcQ温度变化xAvm24xx1x2xAtuttxutxut),(),(021时，在tutxAcQ温度

16、变化故Q流动热量流动热量满足傅立叶实验定律：满足傅立叶实验定律：物体在无穷小时段物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积内流过一个无穷小面积ds的的热量热量dQ与物体温度沿曲面与物体温度沿曲面ds法线方向导数成正比。法线方向导数成正比。其中其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常数，取数，取“-”是因为热量流向与温度梯度方向相反（温度是因为热量流向与温度梯度方向相反（温度梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方向）。向）。dtdsnukdQ即25则则t时间内由时间内由ox轴正向流入的热量为轴正

17、向流入的热量为tAxukQxx1流入26xx1x2xA而而t时间内由时间内由ox轴正向流出的热量为轴正向流出的热量为tAxukQxx2流出流出流入流动热量QQQ-)12xxxxxuxutAk（由核心等式有由核心等式有)12xxxxxuxutAktutxAc（27xx1x2xAxtxutxxucktuxx),(),(11即222xuatu（4 4）（4）式即为一维齐次热传导方程（其中）式即为一维齐次热传导方程（其中a2=k/cp)。若杆内部有热源，设热源密度若杆内部有热源，设热源密度F（x，t）（单位时间内）（单位时间内单位体积放出热量）。单位体积放出热量）。txAtxFQ),(热源则热源流动热

18、量温度变化此时QQQ28ctxFxucktu),(22),(222txfxuatu即（5 5）（5）式即为一维非齐次热传导方程。）式即为一维非齐次热传导方程。同理有二维（薄片）及三维热传导方程同理有二维（薄片）及三维热传导方程29),()(22222tyxfyuxuatu),()(2222222tzyxfzuyuxuatu热传导方程可统一表示为：热传导方程可统一表示为：30fuaut2其中其中为拉普拉斯算子，为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，时为齐次方程，f0时时为非齐次方程。为非齐次方程。（注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程，（注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程，u为浓度。）为

19、浓度。）泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。 （6）式即为拉普拉斯方程。 0tu0u（6 6） （7）式为非齐次拉普拉斯方程或泊松方程。 fu（7 7）311.2 1.2 定解条件定解条件 前面的方程反映了同一类物理过程（泛定方程）。前面的方程反映了同一类物理过程（泛定方程）。 为了得到物理（数学）上的唯一确定解，需要引入为了得到物理（数学）上的唯一确定解，需要引入定解条件。定解条件。定解条件=初始条件+边界条件（注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条（注：有时还需要其他条件，如不同媒质界面处衔接条件，物理上的合理性条件等。）件，

20、物理上的合理性条件等。）32 物理上，某个具体过程还与初始状态和边界上的约物理上，某个具体过程还与初始状态和边界上的约束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，束情况相关；数学上，当变量个数大于方程个数的时候，方程没有唯一确定的解。方程没有唯一确定的解。初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件C C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件初始条件初始条件=无（描述稳定状态，与无（描述稳定状态，与t无关）无关）A A、 波动方程的初始条件波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt描述系统的初始状态描述系

21、统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度（一）（一） 初始条件初始条件)(),(0 xtxut33和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )(), thlxxlu x thllxxll34注意注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一一根长为根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉在中点位置将弦沿着横向拉开距离开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，

22、试写出初始条件。如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 l x l/2h解：解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移（二）边界条件（二）边界条件 定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。 A.A.第一类边界条件第一类边界条件即直接给出系统边界上物理量的函数形式。即直接给出系统边界上物理量的函数形式。直接给出边界值直接给出边界值35常见的线性边界条件分为三类：常见的线性边界条件分为三类：弦振动方程：端点位置已知弦振动方程：端点位置已知0

23、0( , )xu x t0( , )x lu x t和和36如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动)(),(, )(),(210tutxututxulxx即0 xlx 37热传导方程：端点温度已知热传导方程：端点温度已知)(),(, )(),(210tutxututxulxx即如：两端温度恒定的热传导如：两端温度恒定的热传导210),(),(utxuutxulxx和38泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数值已知泊松方程（拉普拉斯方程）：边界上函数值已知210)(,)(uxuuxulxx即（注：由于与（注：由于与t无关，故边界上函数值确定）无关，故边界上函数值确定）B.B.第二类边界条件第二类边界条件给出待求函数在边界上的导数值给出待求函数在边界上的导数值39弦振动方程：边界张力沿垂直方向分量已知弦振动方程：边界张力沿垂直方向分量已知)(