(word完整版)高中数学奥赛辅导教材第一讲

1、第一讲集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学(上)(试验本)课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件(或具有某种性质)的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背 景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目赛题精讲I.集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间

2、的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高 中数学竞赛题.请看下述几例.31 3 1、例1 ：求点集( x, y) 11g(x- y ) lg x lg y中元素的个数.39【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之313 1【略解】由所设知x 0,y 0,及x3 -y3 - xy,39由平均值不等式，有x3 1y3 1 33 (x3) (1y3) (1) xy,当且仅当x3ly3 1,即xJ1,y31(虚根舍去)时，等号成立3993故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例 2：已知 A y | y x2 4x 3,x

3、 R, B y | yx2 2x 2, x R求 A B.【思路分析】先进一步确定集合A、B.【略解】y (x 2)2 1 1,又 y (x 1)2 3 3.-A=y|y 1, B y|y 3,故A B y| 1 y 3.【评述】此题应避免如下错误解法:联立方程组2-y x 4x 3,22消去y,2x 2x 10.因方程无实根，故 A B .y x 2x 2.这里的错因是将 A、B的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例 3：已知集合 A (x,y)|x| |y| a,a 0, B (x,y)|xy| 1 |x| | y |.若A B是平面上正八边形的顶

4、点所构成的集合，则 a的值为.【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集A是顶点为(a,0),(0,a),(a,0),(0, a)的正方形的四条边构成(如图 I 1 11).将|xy| 1 | x| |y|,变形为(|x| 1)(| y | 1) 0,所以，集合B是由四条直线x 1, y 1构成.欲使A B为正八边形的顶点所构成，只有a2或1 a 2这两种情况.(1)当a 2时，由于正八形的边长只能为2,显然有 J2a 2J2 2,42故 a 22.(2)当1 a 2时，设正八形边长为1,则2 11cos45 ,1 2 2 2, 2这时，a 1 -2.2综上所述，a的值为2 近或也如

5、图 I 1 1 1 中 a(T2,0), b(2 V2,0).【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.n.集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系(即子、交、并、补) ，往往能形成一些颇具技巧的集合 综合题.请看下述几例.n1n 1 .例 4：设集合 A |n Z, B n|n Z, C n -| n Z, D - - |n Z,则 223 6在下列关系中，成立的是()A. A B C DB. A B ,C DC. A B C,C DD. A B B,C D【思路分析】应注意数的特征，即【解法1】 . A n|n Z, Bn|n2n

6、 1 n 1 2n 1 ,n23 66、一，1、Z，C n 51n Z, DZ.3|nZ， A B C,C D .故应选 C.【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令A n71n Z, B n |n Z, C n -|n Z, D n- -|n Z.2236结论仍然不变，显然 A为终边在坐标轴上的角的集合， B为终边在x轴上的角的集合，C为终边在y轴上的角的集合，D为终边在y轴上及在直线y x上的角的集3合，故应选(C).【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解例5：设有集合 A x|x2 x

7、 2和B x|x| 2,求A B和A B (其中x表示不超过实数x之值的最大整数).【思路分析】应首先确定集合A与B.从而 1 x 2.显然,2 A A B x| 2 x 2.若 x A B,则 x2 x 2,x 1,0, 1, 2),从而得出 x内(x 1)或x1(x1).于是 A B 1,73【评述】此题中集合B中元素x满足“ |x|n,由递增易知有f(m) f(n) m n 我们证明自然数集 N可以分析为若干条 f链，并且对任意自然数mn,成立(从而f(n 1) f(n),并且每两条链无公共元素).方法是用归纳法构造链(参见单博著数学 竞赛研究教程江苏教育出版社)设已有若干条f链，满足，

8、而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义f(k 1) f(k) 1 这链中其余的数由逐一确定对于mn,如果m、n同属于新链，显然成立，设m、n中恰有一个属于新链.若m属于新链，在 m=k+1 时，f(m) f (n)f (k)1 f (n)k n1 m n,设对于 m,成立，则 f(f(m)f (n)f (m) m f (n) m n mf (m) n由易知2m f (m).即对新链上一切 m,成立.若n属于新链，在 n=k+1时，f (m) f (n) f (m) f (k) 1 m k 1 m n.设对于n,成立，在 mn时，m不为原有链的链首。记m f(x)，则在 m f(n)日t,

9、f (m) f (f (n) s m (f (n) n) m f (n) (s n).而在 s n, f (n) f (s) n s 0,与m f(n)矛盾，所以 s n, f (m) f (f (n) m f (n).即对新链上一切，成立.因而添入一条新链后，仍成立.这样继续添加，直到所有自然数均在链中出现，所得函数f : N N即为所求.1 .【解法2令f(n) (n 1) n,其中 -(5 1),x表示x的整数部分.显然f (n)严格递增，并且f (1) 2. 又由于 (1) 1, f(f(n) f (n) (f(n) 1)f(n)(n1) (n1)-24f(n)(n1) (n1) (n

10、 1)(x x x为x的分数部分)f(n)n1 (n 1)f (n) n.因此，(n 1) n就是满足要求的函数.第三讲函数的概念和性质知识、方法、技能I .函数的定义设A , B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f: A一 B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x),其中x C A , y C B,原象集合，A叫做函数f(x)的定 义域，象的集合 C叫做函数的值域，显然 C B.II .函数的性质(1)奇偶性 设函数f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集.若对任意的xCD, 都有f( - x)= - f(x),则称f(x)是奇函数；若对任意的 xC D,都

11、有f( -x)=f(x),则称f(x)是偶函 数.(2)函数的增减性 设函数f(x)在区间D上满足：对任意 xi, x2CD,并且xix2时, 总有f(x i)f(x 2)，则称f(x)在区间D上的增函数(减函数)，区间D称为f(x)的 一个单调增(减)区间.III .函数的周期性对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T,使得当 x取定义域中的每个数时，f(x+T尸f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有 周期中存在最小值 T。，称To为周期函数f(x)的最小值正周期.IV .高斯函数对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为x,通常称函数

12、 y=x为取整函数，又称高 斯函数.进一步，记x=x x,则函数y=x称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.性质1对任意x e R ,均有x 1x & xx+1.性质2对任意xCR,函数y=x的值域为0,1).性质3高斯函数是一个不减函数，即对任意x1 , x2 R ,若x1 x2,则x1 nx性质 6 若 nCN*, x C R,则?凶.n nx性质7若nC N*, x C R+,则在区间1,x内，恰有x个整数是n的倍数.n性质8设p为质数，n C N*,在p在n!的质因数分解式中的哥次为P(n!) n4P P赛题精讲函数是高中数学，也是高等数学的基

13、础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容 下面分类介绍此类题目.I函数的定义域和值域例i当x为何值时，、lig Jg jg jgjlgjigx才有意义.【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求 出x的范围.【略解】由ig，ig弧Jig如强 0,得jgqigig如Mx 110210102102 10【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。例2 设A=a|a=7p,p N*,在A上定义函数f如下：若aC A ,则f(a)表示a的数字之和， 例如f(7)=7 , f(42)=6 ,设函数f的值域是集合 M.求证：M=n|n N*, n

14、2.【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明【略解】先证 M n|n N*,n 2.任取xCM,即x是被7整除的正整数的数字之和，由于 7X10n, n=0, 1,2,，所以x 的数字之和是大于1的正整数，因此 xCn|nCN*, nA2.所以M n|n N*,n 2.再证n|nCN*, n2 M.任取xC n|n N*,n 2,即x是大于1的正整数.下面分两种情形：当x=2k(k N*)时，由于7|100|,于是取a= 10011001 1001,k 个 1001则 7|a,且 f(a)=2k,所以 xC M.当 x=2k+1(k CN*)时，由于 7|100|, 7|21,于是取 b=1

15、0011001 100121,k- 1 个 1001则 7|b,且 f(b)=2(k 1)+3=2k+1,故 xC M,故 xC M.所以n|n N*, n 2 M.因此 M=n|n N*, n 2.【评述】此类题目的证明严谨、科学 .例3设正实数x, y满足xy=1 ,求函数f(x, y)=xy x y 1的值域.(其中(x表示不超过x的最大整数)【思路分析】由 x、y的对称性，不妨设 xy,则有x2 1,必分x=1与x1两种情况 讨论.【详解】不妨设 xy,则x21,x1.有下面两种情形：(1)当 x=1 时，y=1 ,此时 f(x,y尸 1 .2(2)当 x1 时，设x=n , x=x

16、x= a ,则 x=n+ a ,0K 1.于是，y= 1时是递增的和0w 0 时，f(x)0 且 f(1)= 2.( 1 )证明：f(x) 是奇函数；(2)求f(x)在-3, 3上的最大值和最小值.【思路分析】因为 xC R,由区间的特殊点，即 x=0入手，是解题的出发点.【略解】 ( 1)令 x=y=0, 则有f(0)=f(0)+f(0),. f(0)=0.再令 y= -x,得 f(0)=f(x)+f( x),- f(0)=0, .f(-x)=-f(x),.f(x)是奇函数.(2)设 x1，x2C R ,且 xixi, - x2 xi0.由已知得f(x 2 x1)0,f(x 2)0,1 ig

17、a=0,故 a=10.【评述】利用“函数与方程的思想”来解题依然是本题的主线，但函数是奇函数是出发点。应注意找好每道题解题的出发点.例8已知定义在 R上的单调函数f(x)满足f(x+y尸f(x)+f(y)且f(1)=2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)当t2时，不等式f(klog2t)+f(log 2t log22t2)0恒成立，求实数k的取值范围.【思路分析】由f(x)的定义域为R,从其特殊点，即x=y=0入手来解此题.【略解】(1)令x=y=0得f(0)=2f(0),f(0)=0.再令 y= x,得 f(0)=f(x)+f( - x), f( x)= f(x),即 f(x)为奇函数.(

18、2) f(0)=0, f(1)=2，且f(x)是R上的单调函数，故 f(x)是R上的单调递增函数.又f(x) 是奇函数.由 f(klog2t) f(log2t 10g2t 2) f (log 2t log 2t 2)得 klog 2t0,.(k+1)280,2 2 k+12 .2 , 1 2 2 k 1+2 22 .故使不等式恒成立的实数k的范围是(1 -21对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象例2 比较下列各题中两个值的大小:33(1)(初 5 与(3) 5 ；24()3与()522(3.14/与()3;(4) log23 与 log23.1.

19、【思路分析】（1）中两数有相同的指数一3-，故可将这两者看做同一函数53y x 5的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小【略解】（1）因为y35 一x 是(一8, 0)上的减函数，又 2瓜所以33（、2） 5（ .3） 5 .2（2）因为y*3是（，0）上的减函数又（3）因为y= x是（，）上的增函数223.14，所以(3.14户(户；-24-)33,2,所以()3535（4）因为 y=log2x 是（0, +8）上的增函数，又 33.1,所以 log230.a1时，上式等价于1OgaX1,即xa.0a1时，上式等价于 01ogaxxa .所以，当a1时，函数定义域为（a,+8）；而当0

20、a1时，函数定义域为（a,1）（2）据题意有39(1)x33x 210g 0.1 二2x 10,即0.1(1)x 9333x 2 0 2x 1即1.3x 22x 13x 22x 12中,0,10.2x -3 r 2 ,、1112解得 x 或x, 即x 3.323所以函数定义域为(?3.x 3.【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数 对数符号后不等号是否改向.例4解方程：a与1的大小，从而确定去掉指数、(1) (3 2j2)x (3 21,则f(x)=y y是y的增函数.所以yy=1212只有惟一解y=12.即原方程有解x 62.例5比较下列各组数的大小：(1) sin48 , cos31

21、3 ;(2) cos96 , sin96 , tan69 .【思路分析】比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量(如 0, 1)等.【略解】(1) cos313 =cos(360 47 )=cos47 =sin43 sin48 所以 cos313 sin48 (2)因为钝角的余弦小于0,正弦大于0,所以cos96 0, 0sin96 tan45 =1 所以 cos96 sin96 tan69 .例 6 已知 xC 0,比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小.【略解】cos(sinx)sin( sinx)当x 0,

22、时，一 1 一 sinx , 1 cosx 1.222又因为sinx cosx 22一，且y sintM 一,一上的增函数，22 2所以 cosx sinx. 2所 以 sin(cosx) sin( sinx) 即 sin(cosx) cos(sinx).例7已知0 b 1,0一,比较下列三数的大小:4xlogbsin(sin ), y(cos)log b cos , zlog b cos(sin ).解0一0、，2sin cos 1.又 0 b 1,42log b sinlog b cos 0log b sinlog b cos(sin )(sin )即x z.log b cos0,f(t)

23、 t10gbe0s是(0,)上的增函数.又 sin cos.logb cos(sin )log b cos(cos )即z y.x zy.例8求下列函数的最小正周期:(11) y=tanx cotx;(12) y=sin(cosx);(13) y=cos(sinx).【略解】(1)因为tanx cot x.2 sin x2cos xsin xcosxcos2x彳2ctg2xsin 2x2所以函数y=tanxcotx的最小正周期 T=2(2)因为sin(cos(x+2兀)=sin(cosx),所以2兀是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为 T,若 0T2 兀，贝U sincos(x+

24、T尸sin(cosx)特别地，令 x=0, sin(cosT尸sinl.而另一方面，0T2兀，1 w cosT1,由正弦函数的单调性和sin(cosT)sinl ,与 sin(cosT)=sinl矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx)的最小正周期为 27t.(3)因为 cos(sin(兀+x)=cos( sinx尸cos(sinx),所以兀是函数 y=cos(sinx)的周期，仿(2) 可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为兀.【评述】(1)求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.(2)对于由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数f(g(x)，如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为 那么，f(g(x)也是周期 函数，且仍是f(g(x)的一个周期，但未必是它的最小正周期 .例9判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期 (1) y=2sin 5x+3cos6x；2(2) y=sin 兀 x+cos2x .【略解】(1) y=2sin x和y=3cos6x的最小正周期分别是 和一，因此,一的最25353小公倍数4兀是y=2sin 5x+3cos6x的周期.可以证明4兀也是它的最小正周期.2(2) y=sin兀x和cox2x的周期分别为2和兀，因为 不是有理数，所以 2和兀没有