(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)(精华版)

1、高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的）1.向量 a=（2x,1,3）, b= （1, 2y,9）,若 a与 b共线，则（）1 一 1A. x=1, y= 1B. x= 2, 丫= 2-13-12C. x= 6, y=-2d. x= _ 6，y=3解析 由 a/ b 知，a=也 2x=入 1 = -2 入 y,= 9Z,入=2，x= , y= f.362答案 C2 .已知 a=(- 3,2,5), b=(1, x, 1),且 a b=2

2、,则 x 的值是()A. 6 B. 5 C. 4 D. 3解析 a b= 3 + 2x5=2,x= 5.答案 B3 .设1i的方向向量为a=（1,2, 2）, l2的方向向量为b=（2,3, m）,若ldl2,则实数m的值为（）-1A. 3 B. 2 C. 1D.2解析1i±12,a±b, a b = 0, /. -2+ 6-2m= 0, . m= 2.答案 B4.若a, b均为非零向量，则 a b=|a|b|是a与b共线的（）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 a b= |a|b|cosa, b，而 a b= |a|b|

3、.cosa, b> = 1,a, b> = 0.，a与b共线.反之，若a与b共线,也可能 ab=一 |a|b|,因此应选 B.21A.3b+3c-1 -答案 B5.在 ABC 中，AB=c, AC=b.若点D 满足 BD = 2DC,贝U AD=(工 1.C.3b 一 3c12D.3b +3c解析如图，AD=AB + BD “c 2”=AB+ -BC3ff f“c 2 - “c=AB +-(AC-AB)3= -AB+-AC33=3c+3b.答案 A6 .已知a, b, c是空间的一个基底，设 p=a+b, q=ab,则下列向量中可以与 p, q的另一个基底的是（）A. a B. b

4、 C. c D.以上都不对解析 a, b, c不共面，a+b, a- b, c不共面，p, q, c可构成空间的一个基底.答案 C起构成空间7 .已知4ABC的三个顶点A(3,3,2), B(4, 3,7),C（0,5,1）,则BC边上的中线长为（64A . 2 B. 3 C. 7c 65D.7解析 BC的中点D的坐标为（2,1,4）,-AD = (-1, 2,2).|AD|=*/l + 4+ = 3.答案 B8.与向量a =（2,3,6）共线的单位向量是（）2B. (7,2 3 6A. (-, 7, 7)37'6-2 -236/236236/236c. (7, 一7)和(7, 7 7

5、)d. (7, 7, 7)和(一力一一融解析同=，22 + 32 + 62 = 7, 与a共线的单位向量是g(2,3,6),故应选D.答案 D9.已知向量 a= (2,4, x), b=(2, y,2),若 |a|=6 且 a,b,则 乂 + 丫为()A. 3 或 1 B. 3 或1 C. -3 D. 1解析由冏=6, a±b,4+16+x2=36,x=4,得解得4+4y+2x=0,y=- 3,x= - 4, 或y=i.x+ y= 1,或一3.答案 A10 .已知a=(x,2,0), b= (3,2-x, x2),且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()A. x>4B.

6、x< 4C, 0<x<4D, - 4<x<0.解析 : a, b> 为钝角，. a b= |a|b|cosa, b> <0,即 3x+2(2 x)<0,，x< 4.答案 B11 .已知空间四个点 A(1,1,1), B(4,0,2), C(-3, 1, 0), D( 1,0,4),则直线 AD 与平面 ABC 所成 的角为()A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°解析 设平面ABC的一个法向量为 n=(x, v, z),AB= (-5, 1,1), AC= (-4, -2, -

7、1),由 n AB = 0 及 n AC = 0,得5x y+ z= 0,令 z= 1,4x 2y z= 0,得 x=2, y=- 2, 5 = (2, -2, 1).又AD = (2, 1,3),设AD与平面ABC所成的角为 &则sin 0=一 ，3c|AD n| T+2+3一 一一.14|AD|n| 屈 212'-10 -0= 30°.答案 A12 .已知二面角 al 3的大小为50°, P为空间中任意一点，则过点P且与平面a和平面3所成的角都是25°的直线的条数为()A. 2 B. 3C. 4 D. 5解析 过点P分别作平面 a, 3的垂线l

8、i和12,则11与12所成的角为130 °或50°,问题转化为过点 P与直线11, 12成65 °角的直线有几条，与11 , 12共面的有一条，不共面的有2条.因此，共有 3条.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上)13 .已知i, j, k为单位正交基底，且a=i + j+3k, b=2i-3j-2k,则向量a+b与向量a2b的坐标分别是; .解析 依题意知，a=(1,1,3), b=(2, 3, 2),则 a+ b=(1, 2,1),a2b=(1,1,3) 2(2, 3, 2)=(5,7,7).答案 (1, 2,1)

9、 (-5,7,7)14 .在 ABC 中，已知 AB=(2,4,0), BC=(1,3,0),则/ ABC=解析 cosAB, BC>AB BC 10V2一 一10.2 2，|AB|BC|AB, BC>_K4, 一兀/ ABC=L4 =答案3r415 .正方体 ABCD A1B1C1D1中，面 ABD1与面B1BD1所夹角的大小为 解析建立空间直角坐标系Dxyz,如图.设正方体的棱长为1,则 A(1,0,0), B(1,1,0), Bi(1,1,1), Di(0,0,1). -DiA=(1,0, 1), DiB=(1,1, 1), DiBi=(1,1,0).设平面ABDi的法向量为

10、 m=(xi,yi,zi),平面BiBDi的法向量为n = (x2,y2,Z2),则由mDiA= 0,_ 一 一 一2. ., 一 一. . 一m n 1m DiB=0,可得 m = (1,0,1),由 n DiB=0, n DiBi=0,得 n = (1, 1,0), cosm, n= m|n|=2.所求二平面的大小为 60 :答案 60016. 在下列命题中：若 a, b共线，则a, b所在的直线平行；若 a, b所在的直线是异面直线， 则a, b一定不共面；若 a, b, c三向量两两共面，则 a, b, c三向量一定也共面；已知三向量a, b,c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为

11、p = xa+ yb+zc,其中不正确的命题为 .解析 a, b共线，包括a与b重合，所以 错.空间任意两个向量均共面，所以 错.以空间向量的一组基底a, b, c为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以 错.当与a, b, c共面时，不成立，所以 错.答案三、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤)17. (10分)如图，空间四边形 OABC中，E, F分别为OA, BC的中点,设OA=a, OB=b, OC=c,试用 a, b, c表示 EF.111a + /b +2c.“一11解 EF = EO+OF = - OA+ 2(OB+ OC)=1

12、8. (12 分)设 a1=2i-j+ k, a2=i+3j-2k, a3=-2i+j-3k, a4=3i+2j+5k,试问是否存在实数a,b, c使a4= aa +ba2+ca3成立？如果存在，求出 a, b, c的值；如果不存在，请说明理由.解 假设a4 = aa1 + ba2 + ca3成立.由已知 a = (2, 1,1), a2=(1,3, 2),a3=(2,1, 3), a4= (3,2,5),可得(2a+ b-2c, - a+3b+c, a-2b-3c)= (3,2,5).2a+b-2c= 3,a+3b+c=2,a-2b-3c= 5,解得：a=2, b=1, c= 3.故有 a4

13、= 2a1+a23a3.综上知，满足题意的实数存在，且 a= - 2, b=1, c= 3.19. (12 分)四棱柱 ABCD AB'CD'中,AB=5, AD = 3, AA = 7, Z BAD=60°, /BAA'= / DAA'= 45°, 求AC '的长. 解 AC 工 AB+ BC+ CC '= AB + AD + AA .(AC')2= (AB + AD + AA)2 = AB2+AD2+AA2+2(AB AD +AB AA'+ AD AA )= 25+9+49+2(5 3tos60 +

14、6;5 X7cos45 +°3 >7cos45 ) °= 98+56 .2.|AC )=98+562,即AC的长为98+56/2.20. (12分)如图所示，PD垂直于正方形 ABCD所在的平面， AB=2, PC与平面 ABCD所成角是 45°, F是AD的中点，M是 PC的中点.求证：DM /平面PFB.证明以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由 PC与平面 ABCD所成的角为45 °,即/PCD = 45；得PD=2,则P(0,0,2), C(0,2,0), B(2,2,0), F(1,0,0), D(0,0,0), M(0,1,1),-

15、FB= (1,2,0), FP=(1,0,2), DM =(0,1,1).设平面PFB的法向量为n = (x, v, z),则FB n = 0, x+2y=0, 即一一x+2z=0.FP n = 0,令 y= 1,贝U x= - 2, z= 1.故平面PFB的一个法向量为 n = (-2,1, - 1).DM n=0, .DM ±n.又DM?平面PFB,则DM /平面PFB.21 . (12 分)如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 = 2AB=4,点 E 在 C1C 上，且 C1E= 3EC.(1)证明A1CL平面BED;(2)求二面角 A1DE B的余弦值.解 以

16、D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.依题设 B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,2,1), Ai(2,0,4).DE= (0,2,1), DB = (2,2,0),AiC=(2,2, -4), DAi = (2,0,4). (1)AiC DB=0, AiC DE = 0, AiCXBD, AiC± DE.又 DB ADE=D,AiC,平面 DBE.(2)设向量n=(x, y, z)是平面DAiE的法向量，则n±DAi.,2y+z=0,2x+4z= 0.令 y=i,则 z= 2, x= 4,.n = (4,i , - 2

17、). n AiC VT4 .cosn, AiC=： = 242-.|n|AiC|i4一面角Ai-DE-B的余弦值为 42 .n, AiC等于二面角 AiDE B的平面角,22. (i2 分)正方体 ABCDAiBiCiDi 中，E, F 分别是BBi, CD的中点.(1)证明：平面 AED，平面 AiFDi;(2)在AE上求一点 M,使得 AiM，平面 DAE.解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0), Ai(2,0,2), Di(0,0,2).设平面 AED的法向量为 ni = (xi, yi, zi),则ni DA=xi,yi,zi- 2, 0,0=0,ni DE=xi,yi,zi- 2, 2, 1=0.2xi = 0, 2xi+ 2yi