(word完整版)高中数学小结论

1、1 .常见的数值：e=2.72, V2 = 1.41 , V3 = 1.73ln2 =0.69 , ln3 =1.102 .类似“ vn + 1-1 ”的式子都可以写成n项和的形式，在一些证明题中会有应用：vn + 1-1=( vn + 1-vn)+( vn- vn - 1)+.+( v2-M 户 ”=1 (vk + 1 - vk)3 .几何平均不等式：洋1 a产na2a3.an4 .组合数的性质：cn+1 =cm + cm-1组合数性质的推论：cn + cn+1 +. +cn+m =cn+m+15 .正四面体中，外接球半径：内接球半径=3:16 .圆台的侧面积：S侧=兀(+i)1 (r 、r

2、1为上下底圆的半 径，l为母线长。特殊的，当 1=0时，即为圆锥时，有 Sw=兀 rl)7 .圆台的体积公式：V=1(S+vS(+S1)h38 .矩形ABCM对角线AC与BC CD所成的角分别为a、B , 贝U有 sin 2 a +sin 2 B =1AD类比推理有长方体 ABCD-ABGD中，体对角线 BD1与 AR BB、BC所成角分别为a、B、丫贝U有 cos2 a +cos2 B +cos2 Y =1sin+sin 2 0 +sin 2 丫 =29 . ,+产且q, 一般为周期数列丫%+h10 .重要不等式的推论：exnx+1, ex-1 Ax, exex11 .发生的概率等于1的事件

3、不一定为必然事件12 . A?=(x 1, y1)，A3C=(X2, y2),贝U Saab(= |x1 y2 - X2y1|13.泰勒展开：？?= ：+?+12+?3+?-oo ?在下方时是 sin-cos 0 0在下方时sin 0 +cos 0 4f(Xi) + f(X2)+ f(X3)+ f(X4)22 . (X-a) 2+(lnX-2a) 2 具有几何意义：表示(X,lnX) 与(a,2a) 两点间的距离平方23 .在证明题中，1+；+；+.+ !通常进行裂项处理22 32n2aX24 . g(X)=下二为可函数eX+125 . sin2 a =-2-, cos2 a =1-t2 ,

4、tan2 a =-2-, (t=tan a) 1+t21+t21-t2cc E 1-cos a sin a26.tan -=2 sin a 1+cos a27 . 1 sin2 a =(sin a cos a ) 228 . 若 a+B=45 ,则有(1+tan a )(1+tan B )=229 . 类似 cos20 cos40 cos60 cos80 这样 cos 连乘的式子，且角度为公比为 2的等比数列，可采用同时乘除sin 9的形式，连续用倍角公式30 .在MBC中,A(x1, y。, B(x2,均、C(x3, yj 则4ABC的重心 o为(X1+X2+X3, y1+y2+y3) 33

5、31.在 ABC 中,GA+GB+GC=0,则G为 ABC的重心O?32 .在4ABC中，OA? OB = OA? OC= OB.ABC的垂心33 .在 ABC中，a、b、c分别为三角形的三条边，若有aOA+bOB+?cOC=0,则 O为4ABC的内心34 .若G是三角形的重心，有 OG=1( O?+OB )35 .若P、G Q三点共线，则有 OP=邀3G(1-以)O?后面系数和要为1),其中以,1-以 n+mn+m36 . P、A、B、C 四点满足，OP=x0A+y OB+ zOC, x+y+z=1 , 则P、A、B、C四点共面37 .角平分线定理：dc为/bca的角平分线，则有ad = b

6、c38 . 在4OAB中，OC是/AOB的内角平分线， ON是/ AOB 的外角平分线。39.若O为动点，则O的轨迹是以/ CON=90ANBN若以iOA+以2OB +CN为直径的圆，因为以3OC=?,O为 ABC中任意一点，则有&$2$3=以1：以2：以340 . xS (0, /,则有sinx vxvtanx ,同时三个函数在 x=0 相切，k=141 .表示a所在方向的单位向量同42 .数列1,11,111.的通项公式为4二二943 .若数列前n项和为二次函数，则数列为等差数列。不 过要尤其注意的是！若二次函数带有常数项，则从第二 项开始为等差数列，a1要分开来写，即数列要分段44 .广

7、义的对勾函数，f(x)=ax+ J勾点为二者相等时，即 _cxax=,解得 x=Vb cxac45 .要证明数列前n项和小于某个常数，要不就是某个等 比数列的前n项和，要不就是裂项46 . 若ax2+bx+c=0的两根为a、B ,贝U1 1cx 2+bx+a=0的两根为一、-a 0cx 2-bx+a=0的两根为-L -1a 0247 .对于分子为二次项，分子为一次项，即y=ax +bx+c ,通dx+e过长除法可以化成 y=(dx+e)+ q+k的形式dx+e48 . Sn=l+l+l+.+ 1为发散数列，故前 n项和趋近无穷大 203 n49 . S直观图=S原图450 .正四面体可以补形成

8、正方体，三对对棱长相等可补形 成长方体51 .两条异面直线有唯一一条公垂线52 . 在三棱锥中有：三条侧棱互相垂直，顶点P到底面的射影为三角形垂心若三对侧棱两两垂直（两对也可以），则P在底面的投影 为垂心若三条侧棱相等，则 P到底面的射影为外心若三个侧面与底面的夹角相等时，若P在底面的射影O在形内，则O为内心；若射影在形外，则O为旁心53 .若M为4ABC的重心，则有O?您邂?邂？354 .若二面角为6 ,则 DB2=m2+n2+l 2-2mncos 0 （形式类似余弦定理）55 .已知PCX面ABC有三余弦定理：cos / PAB=cos/ PAC.cos/ BAC（/ BAC和 / CAP

9、只能为锐 角）56 .正方体ABCD-ABGD中，AiC交面BDC于G点，有1-CG=AiC357 .面民上存在不共线的三点到B的距离相等，则a / B , 这是一个假命题。58 .圆内接三角形面积最大时，为等边三角形证明：S=1absinC=12RsinA. 2RsinB. sinC=2R2sinA. sinB. sinCw 22sinA+sinB+sinCA+B+C 3 -2R2(3) 3b0)中，P(xo,yo)为椭圆上的一点, a2 b2左右焦点为Fi, F2,焦半径ri二|PF1|, r 2=|PF2|,则有:r 产a+ex0, 2=a-ex 0证明:r1=A/(X0 + c)+y2

10、=V(x0+c)+ b2 - b2x2 =(a + exo) =a+exo(最后一i步直接硬说)64 .双曲线的焦半径为r=e1x。 a,根据象限判断绝对值 要不要开， a看长短，长的+a,短的-a65 .椭圆的焦点三角形面积：S=b2tan 2( 9 =/ FiPF2)66 .双曲线的焦点三角形面积：S=b2cot 2( 9 =/ FiPF2)67 .垂直于长轴的焦点弦为通径，通径是最短的弦l=2ba2而所有有心二次曲线的通径均为组a68 .两点间距离公式：|AB| = V1 + k2|x1 - x2| (tan 0=k)(可通过三角函数证明)A1. ki!.69 .对双曲线使用点差法时，得

11、到结果要带回去检验，因 为对双曲线点差，是针对 b2x2-a2y2=2b2的点差，当以=0 时，双曲线退化为渐近线，此时求得的点在渐近线上。70 .等轴双曲线重要特点：可化为平方差形式71 .过抛物线y2=2px的线段|AB|有: |AB| 二2pL+，=22sin 2 9 |AF| |BF| p八72 .恒过抛物线对称轴上的一点，则与对称轴垂直的弦为 恒过该点的最短弦73 .判断两个二次曲线有无交点，不能将二者联立，然后 用？判断，因为二次曲线的 x、y均有限制条件74 .直线与圆锥曲线联立，令 ？= 0,能判断直线与圆锥曲 线相切，但是不能判断是否只有一个交点。例如，直线 与双曲线的渐近线

12、平行，与双曲线只有一个交点，但是0;抛物线中，与对称轴平行的直线，与抛物线只有一 个交点，但？ 075 .不能联立两个极坐标方程求交点，因为极坐标的点有 多样性，一个点有很多表示，不唯一。要求交点必须先 化成直角坐标系，联立直角坐标方程来求交点，最后再 化回极坐标。76 .可以联立两个极坐标方程，求交点与原点所成直线的 角度。77 .抛物线中，以过焦点的弦为直径作圆，圆会与准线相 切。78 .对于二次曲线的切线方程，切点为 (x 0,y 0),x2改写成 xx0y2改写成yy。x改成写x+尸 y改写成 千79 . TA与圆相切，AC AE与圆相交 切割线定理：|AT|2二|AB|. |AC|割

13、线定理：|AB|. |AC|=|AD|. |AE|80 .抛物线中，过焦点的直线 AB,准线与x轴交于M,则 x轴为/ AMB勺角平分线81 .等差数列前 n项和Sn=an2+bn,其中a=-282 .等比数列前n项和6, Sn=cqn-c83 .若圆与直线相切，将二者写成圆系方程，则可以表示 所有过相切点且与直线相切的圆。当圆无限小，小成一 个点，也会符合圆系方程。故如果知道圆的切线以及切 点，可以把切点当成半径为 0的圆，一样可以写圆系方 程，表示所有过相切点且与直线相切的圆。84 .若圆x2+y2=r2,过圆外一点 P(x0,y 0)做两条圆的切点, 分别交于C、D,则直线CD的方程为x

14、xo+yy0=r2,该性 质适用于其他二次曲线85 .等差数列和等比数列可以互相转化。86 .若an为等比数列，则lna n为等差数列(取对数)87 .若an为等差数列，则aan(a0, a+0)为等比数列88 .等比数列与等差数列类比推理时，等差的“ +”，对应于等比的“x” ；等差的“x”，对应等比的次方；等 差的“ 一 ”，对应等比的开方(开几次方看分母，分母是多少就开多少次方，不需要对分母中的符号做任何变化)89 .棣莫弗定理：两个复数 zi, Z2,复数用三角函数形式 表示 Zi=r i(cos 0 i, isin 0 i) , Z2=2(cos 0 2, isin 0 2)zi.z

15、 2=i2(cos( 81+82), isin( 0 1+ 0 2)唯广： z=a+bi , z=r(cos 0 , isin 0 ), 其中 r= Va2 + b2 , tan e =b, e与(a,b)所在象限一致a贝U有 zn=rn( cos(n 0 )+ isin(n 0)90 .正多面体是底面是正多边形，顶点的射影在正多边形 中心的多面体91.根据小懿，可类比推理得，VP-A 1B 1cl =PA1.PB1.PC1Vp-ABC - PA.PB.PC92 . y=f(x)关于y=x对称的函数为 x=f(y);关于y=-x对称 的函数为-x=f(-y)93 .有关复数的模的运算：|z1.

16、Z2| = |Zl|.|Z2| 1%胃1zn| = |Z1n94 .立体几何中，面方程的求法：0面ABg x轴交于(a,0,0),y 轴交于(0,b,0),z 轴交于(0,0 , c),则类比直线方程，面ABC的方程为：x+ y +a bz-=1c面ABC中，A(a,b,c),设面中任意一点 P为(x,y,z), 面 ABC的法向量n为(n,m,k),则根据AP. n=0,可得面方程 为：n(x-a)+m(y-b)+k(z-c)=095 .立体几何中，直线方程的求法：直线AT中A(a,b,c), 设T为(x,y,z),AT与n共线，n为(n,m,k),则有胃噜胃，故直线AT的参数方程为：x =

17、 a + nty = b + mt (t为参数)，故类似平面直线的参数方程， z = c + It前面的常数为直线上的一点，而 t前的系数为方向量。96 .函数渐近线分为三种：O 1水平渐近线O垂直渐近线。3 斜渐近线，其中斜渐近线的求法：若函数y=f(x)存在斜渐近线y=kx+b ,则：lim f(x) - kxx +OOk= lim 幽，b= xf +OO X97 .积化和差：cos= 2sin ( a+ B) + sin ( a- B)i _=2【coscos+ + cos(民-B)sin民cos C 1 .sin a sin = - 2 cos( a+ B) - cos( a- B)若

18、积为异名，则用sin ；若为同名，则用 cos同名时，cos用“+”，sin用“-”98 .和差化积：sin + sin = 2sin -cos-222sin - sin = 2cos -sin -r22cos 廿 cos = 2cos-cos-22cos - cos p= -2sin -+-自和只能是同名的 “sin+ ” 时，对应 sin 在前，cos在后“sin- ”时，对应cos在前，sin在后 cos+” 时，对应 +cos “cos- ” 时，对应 -sin99 .对于复杂的三角函数，若给的是和的形式，则周期为 各项周期的最小公倍数；若给的是积的形式，则要用积 化和差，化为和的形式

19、，再用上述结论。100 .立体几何中，三个面相交，三条交线有两种情况：O 1 平行。交于一点101 . ?/c是（a. b）. c=?.（?. c）的充要条件102 .经过正方体体心的面，具面积为定值103 .直角梯形中，DC=AE=EB则。为BD靠D的三等分点, 可通过 DOO AAOB证明AEa-b / a+b104. vab1,则为双曲 1-ecos 9线；e=1,则为抛物线；0vev1,则为椭圆。p为焦准 距，椭圆与双曲线的p=(焦点与准线的距离，准线为对于椭圆： -c=; 对于双曲线： c-= ) c cc c106 .若/ POAh POB在直线 OP上任意一点做面a的垂线, 垂足

20、P1 一定在/ AOB的角平分线上。107 .四棱柱的特点是是个侧面都是平行四边形108 .防止洛必达被扣分的写法(实际上就是推导了一遍)：例如 f(x尸(x-2 )e 2+e设 f1(x)= (x- 2)ex+ e(x-1) 2f2(x)= (x - 1)2，3(1)= f 2(1) = 0xim+f(x) =J叫f1(1) I.-= limf2(1) x +f1(x)-f 1(1)x-1f2(xf 2(1 )x-1=!im+ 器109 .抛物线 y2=2px 中，若 OAL OB,则 C 为(2p,0)110 .抛物线中，AO交准线于D, AB过焦点，则BD平行x 轴(逆过程也成立，即 A

21、D会过原点)111 . f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为 f(x)，则 “任意 X1、X26R,且 X1X2,1x1)-f(x 2)|V2017” 是X 1-X 2“|f(x)|v 2017”的充分不必要条件。可从 f(x)=x 3 去理解，1f(；)：2)10,而 |f(x)旧0112 .托密勒不等式：对于凸四边形有AD.BC+DC.A&AC.BD113 . tanx的中心对称点还包括了不存在的点，即x=：+ k兀所以tanx的中心对称点为x=k2114 .若 a+B + 丫 =90 ,贝U tan( a + B )tan 丫 =1115 .椭圆中，kPA.kPB为定值116 .若

22、过准线的直线 AB和CD关于x轴对称，则直线 AC和 BD交于焦点117 .正方体中，类似墙角的三条边，AB AD AA会与类似 ABD这样的等边三角形所成角相等Al CB118 .圆柱被平面截开得到的几何体，具展开图形大致为正 弦曲线119 . sao=s2 s aeof=S3 s aao=s4 ,证明：s2 = S2 + s2 + S4即证：s1(s2+S3 +s4)=s2 +s2+s2下面证 & = s2S1S3 = s2 gs3 = S3根据射影定理有 PH2=HO.HF,即1 PH2.AE2=1 HO.HF.AE2一 44(；AE.PH)2=(；AE.HO).( 1AE.HF) - S2=S1S2120 .奇函数的导数为偶函数121 .残差图中反映回归模型拟合精度教高的体现是残差的点都是在水平线附近。如果残差的点呈y=kx+b(k 0)趋势变化，则表明残差随 x的增大而增大，但是这种误差是可以修正的,只需要在回归方程中减去一个（kx+b）即可。122 .抛物线y2=2px的参数方程为x = 2pt （t为参数）, y = 2pt其中t表示除顶点外