(江苏专用)2019高考数学二轮复习第一篇第4练数学文化试题(理)

1、第4练数学文化.2.题目难度：中档难度.明晰考情1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有聚焦核心各个击域考点一 算法、数列中的数学文化【方法技巧（1）和算法结合的数学文化，要读懂流程图，按流程图依次执行；（2）数学文化中 蕴含的数列，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型1 .张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为16亚汽d= 390,解得d=

2、26.229答案 29 29解析 依题意设每天多织 d尺，依题意得 $0=30X5+2 .如图所示的流程图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该流程图，若输入的 a, b分别为14,18,则输出的a为.0呻第-划答案 2解析 由题意可知输出的 a是18,14的最大公约数2.3 .20世纪70年代，流行一种游戏一一角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数 n,按照以下的规律进行变换：如果 n是个奇数，则下一步变成 3n+1；如果n是个偶数，则下一步变成n,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底， 更准确的说是落入底部的4-2-1循环，而永远也

3、跳不出这个圈子，下面流程图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6,则输入的n值为.答案 5或32解析 当n= 5时，执行流程图，i =1, n= 16, i=2, n = 8, i =3, n=4, i =4, n= 2, i =5,n=1, i =6,结束循环，输出i =6;当n = 32时，执行流程图，i =1, n=16, i=2, n = 8, i =3, n=4, i =4, n=2, i =5,n=1, i =6,结束循环，输出i = 6.易知当n=4时，不符合，故 n=5或n=32.4 .名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何

4、日而长等，如图是源于其思想的一个流程图，若输入的a, b分别为5,2 ,则输出的n=/输入占卜/答案 4一 ，-15一一八解析 当n=1时，a=y, b=4,满足进行循环的条件,45当n = 2时，a=7, b= 8,满足进行循环的条件,当n = 3时，a=, b= 16,满足进行循环的条件,8,405当n = 4时，a= 诂，b= 32,不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.5 .我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金第，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5尺，一头粗，一头 细，在粗的一端截下 1尺，重4斤；在细的

5、一端截下 1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少 斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M现将该金杖截成长度相等的10段，记第 i 段的重量为 ai(i = 1,2,，10),且 a1a2一，a10,若 48ai = 5M 则 i=.答案 6解析 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an,设公差为d,a1 + a2 = 2 ,151则解得21 =石，d = d，a9+ao = 4,168所以该金杖的总重量 M= 10X 15 + 10=x1= 15,因为48a =5M 所以48 11+ i - 1 x；=162816875,即 39+6i =75,解得 i =6.6 .(2018 浙江

6、)我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，x+ y+z= 100,鸡母，鸡雏个数分别为 x, y, z,则1当z= 81时，x=,5x+3y+-z= 100,3y=答案 8 11解析方法由题意，得x+y + 81 = 100,一八 1、 一5x+ 3y+3x 81= 100,x+y=19,x=8,即解得5x+ 3y= 73,y= 11.方法二10081= 19（只），81 + 3= 27（元）,100 27= 73（元）.假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5X19= 95（元）.因为 9

7、573= 22（元），所以鸡母：22+（5 3） =11（只）,鸡翁：19 11 = 8（只）.考点二 三角函数与几何中的数学文化【方法技巧】 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7 .我国古代数学名著九章算术在“勾股” 一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？” .意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 步.答案 6解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15,则得其斜边长为17,设其内切圆半径为r,一，8r 15r 17r 1则有万十三十三=

8、'* 8X15（等积法），解得r = 3,故其直径为6步.8 .如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角答案解析由题意得，大正方形的边长为10,小正方形的边长为2,，2=10cos a10sin13aSin a =5,又a为锐角,勿求信tan a = 4.9 .我国南北朝时代的数学家祖附I提出体积的计算原理（祖的I原理）：“哥势既同，则积不容异”.“势”即是高，“哥”是面积 .意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的 截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等

9、 .类比祖的I原理，如图所示，在平面直角坐标系中， 图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取0,3上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图 1的面积为 .9答案219,解析类比祖晅原理可得两个图形的面积相等，梯形面积为S= 2（1 +2）X3=1 所以图1的.，9面积为2这是我国现存最早的有系10 .算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术： 置如其周，令相乘也.又以高乘之,卜六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积 V的近似公式 V-±L2h,它实际36上是

10、将圆锥体积公式中的圆周率兀近似取为3.那么,，一2 2 r r近似公式”为Lh相当于将圆锥体积公式中的兀近似取为答案25T解析由题意可知:r = = ,圆锥体积2兀V=-Sh=兀 r2卜=一 兀2h= 12兀222,L h= 75L h,故一一12兀 75'25兀y 8 .11.我国古代数学名著 张邱建算经 中有如下问题:“今有粟二百五十斛委注平地,下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？（注：1斛=1.62立方尺，n -3）尺.若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约

11、为 答案 21.2解析 设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2 71r = 54, r=9.粟米 250 斛，则体积为 250X 1.62 = 1X 兀><9 2Xh, h= 5.3谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.则 R2=（h-R）2+r2,解得 R-10.6（尺）.2 R-21.2（尺）.12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行.若用2C1和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道i和n的长轴长，给出下列式

12、子：ai + c = a2+C2； ai c= a2C2；«i a 一<一； ca2>aiC2.ai a其中正确的式子的序号是 .答案解析由题图知2ai>2a2,2ci>2c2,即 ai>&, ci>C2,，ai+Ci>a2+C2,，不正确.aiCi= PF, a C2=PF,ai-Ci = a2-C2,，正确.: ai>a2>0, Ci>C2>0,a1>a2, C2>C2.又 aiCi = a2C2,即 ai + C2=az+Ci,2222即 ai + C2+ 2aiC2= a2+ Ci + 2&

13、amp;Ci, .22 .22 .ai-Ci + C2- a2+ 2aiC2= 2a2Ci,即(ai Ci)( ai +Ci) (a2 C2)( a2+C2)+2aiC2= 2a2Ci, 整理得(ai Ci)( ai - 82+ Ci - C2) + 2aiC2= 2a2C.ai>Ci, ai >a2, Ci>C2,，2 aiC2<2a2Ci,即Cia2>aiC2,，正确.: Cia2>aiC2, ai>0, a2>0,Cia2 aiC2C2.>,即>一,aia2 aia2' aia2.不正确.正确式子的序号是.考点三 概率统

14、计与推理证明中的数学文化【方法技巧（i）概率统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型；（2）推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论 i3.我国古代数学名著 九章算术有“米谷粒分”题： 粮仓开仓收粮，有人送来米i560石, 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为 石. 答案 i95. 32解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为Xi 560= i95（石）.256i4.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如 343,12521等，两位数的回文数有11,22,33 ,，9

15、9共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .答案9解析 三位数的回文数为 ABAA共有1到9共9种可能，即1B1,2 B2,3 B3,，B共有0到9共10种可能，即A0A, A1A, A2A, A3A,，共有 9X10= 90（个）；其中偶数为 A是偶数，共4种可能，即2B2,4 B4,6 B6,8 B8,B共有0到9共10种可能，即A0A, A1A, A2A, A3A,，其有 4X10= 40（个）, 404，三位数的回又数中，偶数的概率P>=-.90 915 .我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2 ,，9填入3X3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15

16、 （如图）.一般地，将连续的正整数1,2,3 ,，n2填入nx n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn （如：在3阶幻方中，N=15）,则N10=答案 505解析 n阶幻方共有n2个数，其和为2 n2(n2+1)1 + 2+ - + n =2丁门阶幻万共有 n行,n n2+12，n2 n2+ 12，每行的和为n即Nn=10X 102+ 1Ni0=2= 505.16 .九章算术勾股章有一 “引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心

17、生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为2129解析 如图所示，设水深为 x尺，由题意得（x+2）2=x2+52,求解关于实数 x的方程，可得21 r ,，21，29、一一,21x =,即水深为 丁尺，又葭长为 了尺，则所求问题的概率为P>= 17.庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场” 节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动， 如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、甲、每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前, 预测，预测结果如下

18、：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：丙说：“我或乙能中奖”；丁说：游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖， 奖的同学是.答案甲解析 由四人的预测可得下表：.庙会大多在春节、元宵如"砸金蛋"（游玩者每次砸碎一颗金蛋, 乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会， 乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了“丁能中奖”；“甲不能中奖”.且只有一位同学的预测结果是正确的，则中中奖人预测结果甲乙丙1甲VXXX乙VXVV丙XXVV1XVXV由分析可知，中奖者是甲1高考押题冲剌练隔港高考精准发力1.南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人

19、，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？" .7答案 78 78解析 设第十等人得金 ai斤，第九等人得金 比斤，以此类推，第一等人得金如斤，则数列4ai + 6d= 3,3ai + 24d = 4,an构成等差数列，设公差为 d,则每一等人比下一等人多得d斤金，ai + a2+ a3+ a4=3, 由题意得a8+ a9+ aio= 4,解得d=78.每一等人比下一等人多得 三斤金.782 .朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十

20、四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日” .其大意为“官府陆续派遣 i864 人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7人，修筑堤 坝的每人每天分发大米 3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在该问题中前 5 天共分发了 升大米.答案 3300解析 设第n天派出的人数为an,则an是以64为首项，7为公差的等差数列，则第 n天修 n n- i筑堤坝的人数为 &= ai+a2+ an=64n+2一X7,所以前5天共分发的大米数为 3(Si+ S2+S3+S4+S5)=3(i +2+3+4+5) X64+ (i +

21、3+6+i0) X7 = 3300.3 .我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两 鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第 天相逢.答案 4解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以i为首项，以2为公比的等比数列，一，一、一,2n i n刖n天打侗之和为-=2 i;2 i1 同理，小老鼠前n天打洞的距离为 11一2，2n1 + 2白=10,解得 nC (3,4),取 n=4.即两鼠在第4天相逢.4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池.若盆中积水深盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸

22、，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸九寸，则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸答案解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为 6寸，高为18寸.,积水深9寸,1.水面半径为2（14+6） =10（寸），则盆中水的体积为 1兀X 9（6 2+ 102 + 6X 10） =588兀（立方寸）.3588兀，平地降雨量等于丫 4= 3（寸）.兀X 145.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒” “李白街上走,提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，

23、三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的流程图，若输出的S值为0,则开始输入的 S值为S+25-I结束)解析 模拟程序的运行，可得当i = 1时，S= 2S 1, i =1满足条件i <3,执行循环体；当 i =2 时，S= 2(2 S 1)-1,i = 2满足条件i<3,执行循环体；当 i=3 时，S= 22(2 S 1) - 1 - 1 ,i =3不满足条件i <3,退出循环体，输出S= 0, .22(2 S 1) -1 -1 = 0,-7-S= R. 86 .我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直

24、角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是解析 不妨设两条直角边为 3,1 ,故斜边,2,故概率为即大正方形的边长为 可32+12 =/10,小正方形边长为7 .欧阳修在卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴落入孔中的概率为答案 解析 由题意可得直径为 4 cm的圆的面积为ttX

25、 1 2=4 % (cm2),而边长为1 cm的正方形的面积为1X1= I(cm2),根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P= J.4兀8 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五 尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四 棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 平方尺.答案 138兀解析 设四棱锥的外接球半径为 r,则(2)2=72+ 52+ 82= 138, ，这个四棱锥的外接球的表面积为4兀2= 138兀.9 .原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为 了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已 经出生 天.答案 510解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为 1 X7 3+3X7 2 +2X 7+ 6= 510.10 .书章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人