(完整)高中立体几何证明平行的专题

1、(第1题图)分析:取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形立体几何一一平行的证明【例1】如图，四棱锥 PABCD的底面是平行四边形，点 E、F分 别为棱AB、 PD 的中点.求证：AF/平面PCE;分析：取PC的中点G,连EG., FG,则易证AEGF是平行四边形【例 2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB/CD, AB ±BC, AB = 1, BC=2, CD = 1十曲,过A作AECD,垂足为E, G、F分别为AD、CE的中点，现将 ADE沿AE折叠，使得DEL EC。(I)求证：BC±m CDE;(n)求证：FG/面 BCD;6(I) C1DXBC;

2、(n) C1D /平面 B1FM.【例3】已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点, M为BE的中点，ACXBE.求证：分析：连EA ,易证C1EAD是平行四边形，于是 MF/EA【例4】如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD,CD AD,CD=2AB, E为PC的中点,证明：EB/平面PAD ;分析：取PD的中点F,连EF,AF则易证 ABEF是平行 四边形(2)利用三角形中位线的性质【例5】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱求证:AM / 平面 EFG。分析:连 MD交GF于H ,易证 EH是 AMD 的中位线AD、【例6

3、】如图，ABCD是正方形，。是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA /平面BDE【例7】如图,占八、.三棱柱ABCAiBiCi 中，D 为 AC 的中求证：ABi/面 BDCi;分析：连BiC交BCi于点E,易证ED是BiAC的中位线AiAG, H分别为FA, FD的中点(.3)利用平行四边形的性质求证:DiO/平面 AiBCi;【例8】如图，平面 ABEF 平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,011BAD FAB 90 , BC / AD , BE 一 AF , 22(I)证明：四边形 BCHG是平行四边形；(n) C, D, F, E四点是否共面？为什么？分析：连DiB

4、i交AiCi于Oi点，易证四边形 OBBiOi是平行四边形5XiC【例i0在四棱锥 P-ABCD中，AB/ CD AB=i DC； E为PD中点2求证：AE/平面PBC分析：取PC的中点F,连EF则易证 ABFE 是平行四边形【例ii】在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为平行四边形，Z ACB= 90EF/AB,FG/BC, EG/ AC .AB=2EF。若 M 是线段 AD 的中点，求证：GM/平面ABFE ；【例9】正方体ABCDAiBiCiDi中。为正方形ABCD的中心，M为BBi的中点,(I)证法因为 EF/AB , FG/BC , EG/AC , ACB 90 ,所以 EGF 9

5、0 , ABCs EFG.由于 AB=2EF ,因此，BC=2FC,、一，一 一 一 一1 一连接 AF ,由于 FG/BC , FG -BC21在YABCD中，m是线段AD的中点，则 AM/BC ,且AM - BC2因此FG/AM且FG=AM ,所以四边形 AFGM为平行四边形，因此 GM/FA。又FA 平面 ABFE , GM 平面ABFE ,所以 GM/平面AB。(4)利用对应线段成比例【例12如图：S是平行四边形 ABCD平面外一点, 分别是SA、BD上的点，且叶=%，SM ND求证：MN /平面SDC分析：过 M作ME/AD，过 N作NF/AD利用相似比易证 MNFE是平行四边形【例13如图正方形 ABCD与ABEF交于AB , M, 求证：MN /平面BEC分析：过 M作MG/AB，过 N作NH/ABN分别为AC和BF上的点且AM=FN利用相似比易证 MNHG是平行四边形【例14如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中， M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.，(2)若N是BC的中点，求证:AN / 平面 CME ;(1)求出该几何体的体积;加左j视图(3)求证：平面 BDE，平面BCD.【例15】直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，