2020年吉林省吉林市高三第三次调研测试4月理科数学试题-含答案

1、保密2020年吉林省吉林市高三第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。注意事项：1 .答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2 .选择题答案使用 2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号在各题的答题区域 （黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案 无效。4 .作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .

2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。、选择题:本大题共 12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有3个是符合题目要求。1.已知集合A -1,0,1,2,B x|ylg(1则AI B2.3.4.A. 2已知复数1 A.21 C.2已知向量A.已知B. 1,0C.1D. 1,0,1z满足1.i21.i2.3B.3B.D.12121.i21.i2m,n为两条不重合直线,A. m / n,m,nrb在向重aC. 1方向上的投影为D.为两个不重合平面， 下列条件中,B. m / n,m,n的充分条件5.6.C.n,m /,n /D.一个几何体的三视

3、图如右图所示，则该几何体的体积为A.C.10T83B. 3函数f (x) cos(2x7D.一32 y)的对称轴不可能为A.B.C.n,m,n-2 f|侧视图D. x7.8.9.A.18已知数列A.1318B.18an为等比数列，若a6 a7B.1836C.D.A.1501的焦点为B.a826,C.13F1F2,点P在椭圆上，若| PF2 |135C.120cc，136 ,则a6D.2,则D.as13F1PF2的大小为90已知f(x)为定义在R上的奇函数，且满足 f(x 4) f(x)，当x (0,2)时,2.f(x) 2x ,则 f(3)A.B.cabC. a c bD.10 .已知a (1

4、)0.2,b log102c ab,则a,b,c的大小关系是22A.2 1313B.1311 .赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了勾股圆方图”，又称赵爽弦图(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图(1),类比 赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由 6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设 A F 2F A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率C.2-747D. y2212. 已知F1F2分别为双曲线C：，L 1的左、右焦点，点 P是其一条渐近线上一

5、点, a b且以F1F2为直径的圆经过点 P ,若 PF1F2的面积为22b2，则双曲线的离心率为A. 3 3B. 2C. 5D. 3二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 二项式(2 x)5的展开式中X3的系数为(用数字作答) 14. 已知两圆相交于两点A(a,3), B( 1,1),若两圆圆心都在直线x y b 0上，则a b的值是15. 若点P(cos ,sin )在直线y2x上，则cos(2-)的值等于1an 且 a1 1,设 f (x) ex e2 x 1 ,则44f(log2a1)f(log2a2) L Lf (log 2 a7)的值

6、等于16. 已知数列an的前n项和Sn三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17: 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分17. (12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 J3a b(sin C J3cosC).(1)求角B的大小；(2)若A ,D为 ABC外一点，DB 2,CD 1,求四边形ABDC面积的最大值 318. (12 分)在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习

7、时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45名学生进行跟踪问卷， 其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占_8 ,统计成绩后得到如下 2 213列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于 5小时419线上学习时间不足 5小时合计45(1)请完成上面2 2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”；(2) (I)按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取 9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足 5小时的人数是 X, 求X

8、的分布列(概率用组合数算式表示) ；(n)若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.(下面的临界值表供参考)P(K2 k。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad bc)2 苴中n(a b)(c d)(a c)(b d)八19. (12 分) 1如图所不，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD , AD AB -CD, DAB 60，点 2E ,F分别为CD,AP的中点.(1)证明：PC /面 BEF ;

9、(2)若PA PD,且PA PD,面PAD 面ABCD，求二面角F BE A的余弦20. (12 分)已知倾斜角为 一的直线经过抛物线 C : x2 2py(p 0)的焦点F ,与抛物线 C相交于 4A、B两点，且 |AB| 8.(1)求抛物线C的方程；(2)设P为抛物线C上任意一点(异于顶点)，过P做倾斜角互补的两条直线 11、12, 交抛物线C于另两点C、D ,记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为 ，直线CD的倾斜角 为，求证： 与互补.21. (12 分)已知函数 f(x) ln x ax2 (a b 1)x b 1(a,b R).(1)若a 0 ,试讨论f (x)的单调性；(2)若0 a

10、 2,b 1 ,实数Xi,X2为方程f (x) m ax2的两不等实根，1 1 一求证：一 一 4 2a.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22. (10 分)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为 x 近8s ( 为参数)，以原点o为 y sin极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin( ) 2 .6(1)求曲线Ci的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；(2)设A,B为曲线Ci上位于第一，二象限的两个动点， 且 AOB ,射线OA,OB交 2曲线C2分别于D,C ,求 AOB面积的最小值，并求此时

11、四边形 ABCD的面积.23. (10 分)已知a,b,c均为正实数，函数.111 ,一.f(x) |x2I |x -212的最小值为1.ab 4c证明：(1) a2 b2 4c2 9；(2)1ab112bc 2acx1x2713参考答案、选择题123456789101112BBADADCACBDB、填空题13. - 40;14. -1;15.- ;16. 75三、解答题17.解：(1) Q 73a b(sin C 33 cosC)，由正弦定理得：,3sin A sin B(sin C 、3cosC),3sin(BC) sin Bsin C . 3sin BcosC即 3cosBsinC si

12、nBsin CQsinC0,J3cosB sinB 即 tanBQ B (0,),(2)在 VBCD 中,BD 2,CD 1BC21222 21 2 cos D5 4cosD又 A ,则 VABC 3为等边SVABC2bc2.sin 一3-3cosD又 SVBDC8分1-一BD DC2sin Dsin D ，Sabcd盛 sinD43cosD 5732sin( D10分5一时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为业2. 12分418.解:(1)分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于 5小时15419线上学习时间不足 5小时101626合计2520453 分2“245(15

13、16 10 4)2 cc cc”QK27.29 6.63525 20 19 26有99%的把握认为高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”-5分20(2) (I)由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取 9 4人6分45X的可能取值为0, 1,2,3,4.c4c3cLP(X 0) 汁，P(X 1) M6,P(XC20C201 34P(X8分3)C4416，P(X 4) C146C20C20(II )从全校不少于120分的学生中随机抽取1人此人每周上线时间不少于5小时的概率为设从全校不少于120分的学生中随机抽取 0.610 分2520人，这些人中每周线上学习时间不少于时 的 人 数 为

14、Y , 则 Y : B(20,0.6), 故E(Y) 20 0.6 12,D(Y) 20 0.6 (1 0.6) 4.8 12 分19.解“(1)证明：连接AC交BE于H,连接FHQ AB CE, HAB HCE, BHA CHAABH 且 CEHAH CH FH PPC 2 分Q FH 面 FBE,PC 面 FBEPC P面 FBE4 分(2)取 AD 中点。，连 PO , OB .由 PA PD, PO ADQ 面 PAD 面 ABCDPO 面 ABCD,又由 DAB 60, AD ABOB AD-6分依题意,uur EB uuur BFur电uu%2xo-x03y02令V。33,解得ur

15、Z0uu6/(0, .3,6)10分uruucos - ni ,n2nin22.3913因为二面角为锐角，故其余弦值为2.39八 -12 分1320.解:(1)由题意设直线 AB的方程为y令 A(x,y1)、B(x2,y2),联立x卫 92得y22py3pyyiy23p,根据抛物线的定义得故所求抛物线方程为AByiy2AB8,4p 8,p 2x2 4y-5分以OA,OB,OP分别为X ,Y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系222依题意，设 P(Xo, ) , C(Xc , C) , D (Xd , D) 4442设li的方程为y 匣 k(x xo),与x2 4y联立4消去 y 得 x2 4kx

16、4kx0 x； 0 7 分x0 xC 4k ,同理 x0 xD 4k 8 分X2 Xi1 ,1Xc xd2Xo , 直 线 CD 的 斜 率 Kcd= (Xc xd ) Xo4(X2 Xi)42io 分 1切线l的斜率Ki y x 3X0。由Ki Kcd 0,得 与 互补 12分21.解：1(1)依题意 x 0,当 a 0时，f (x) (b 1) x1 分当b 1时，f (x) 0恒成立，此时f (x)在定义域上单调递增;3 分一-41_1当 b1 时，若 x 0, , f (x) 0;若 x, f (x) 0b 1b 1故此时f(x)的单调增、减区间分别为035 分(2)方法 1 ：由 f

17、 (x) m ax2得 in x (a 2)x 2 m 0gd) m令 g(x) in x (a 2)x 2 ,则 g(x1)依题意有ln x1(a 2)xiIn X2 (a 2)x2,X2ln -2 - 8 分XiX21 要证一X14 2a ,只需证X2x1x2KX22(2a)XiX2(不妨设Xi X2),即证二X2X2X1x22ln X110分令AX1t(t1),g(t)2ln t1t t, Qg(t)12(-1)0,g(t)(1,）单调递g(t)g(1)有-X14 2a12方法2：由f （x） m_ 2,ax 得 ln x(a2)x令 g(x)ln x(a 2)x 2g(x) gd)g

18、(x)当 X (0,X2(2 a)故 g(x)在(0,1 (F-）上单调递增，在 a(2不妨设x1x2,X2，）上单调递减,-8 1要1E X12a ,只需证X1X2X2g(x) g(10(4 2a)x2 1，易知X2(4 2a)x2 1(0,a)X2(4 2a)x2 1即证 g%) g(令 h(x) g(x)g(x) ，( x(4 2a)x 119则 h (x) g (x)4 2axi2gg(x(4 2a) x1)1 (2 a)xx(2 a)x 124(2 a) 2 a x 124 2a x 14 2ax11分(也可代入后再求导)上单调递减,h(x)h(故对于时，总有g (x)g(x(4 2a)x 1,-1由此得2a22.解:12(1)由曲线C1的参数方程为x 、3 cosy sin为参数)曲线C2的极坐标方程为sin()2 即 sin 6cos6x22消去参数得上3cos sin 一 6x 、.3y 4 0(2)依题意得C1的极坐标方程为2 2cos32 . 2sin设 A( 1, ),B(3,),C(4,221sin