2019届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三下学期联合数学(理)试题(教师版)

1、2019年江西省名校临川一中南昌二中联合考试数学试卷（理科）第I卷（选择题共60分）、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A2x 1cc2，x R x 2a x a 1的取值范围是（）A. 1,【答案】B【解析】【分析】B. 0,C. 0,D. 1,解分式不等式求得集合 A,对a进行分类讨论，结合 eRA I B,求得实数a 取值范围.11 2x 1 2x详解由1 0,上土 02x 1 2x 1 2x 1 2x 12x 2x 10x2x 1 01,、八一,一或x 0 .所以 2A x |x ，八.1所以eRAx| -2由

2、 x 2axx 2a或当a 1时,的取值范围是0,故选：B2 . a2 1x | 2a x2 a 2a,当 a 1 时,2a2a【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算2果求参数的取值范围，属于中档题2.已知复数z满足：（2+i） z=1 i,其中i是虚数单位，则z的共轲复数为（1A.一53.i 51B.一5+ 3i5,满足eRAIB0且a 1.综上C.D-i3【分析】把等式变形，根据复数的运算先求出z,再根据共轲复数的定义得出答案【详解】由(2+ i ) z= 1 i ,得z =1 i (1 i)(2 i) 12 i (2 i)(2 i) 5

3、3.i5z = 1 + 3i. 55故选：B.【点睛】本题考查复数的运算法则、共轲复数的定义3.已知等比数列an ，若a1 a2a31, a7 a8a? La9(A. 4B. 6C. 8D. 8根据等比数列性质求得a5,由此求得a1 a2L为的值.由于等比数列an满足ai a2a3a9a1 a2a33a2a21a7% a93a8a822百2a5a2 %a512三所以a1 a2L a99a5123故选：D【点睛】本小题主要考查等4.点M1,1到抛物线yA. 1C.一或812492a的值为（）ax准线的距0两种情况进行分类讨论，结合抛物线的定义求得列的性质,础题1 -D.一或4对a分成a 0和aa

4、的值.【详解】依题意可知，1 八、，21a 0,抛物线的标准方程为 x2 y2a18a1-1 2 ,解 8a当a 0时，抛物线的准线方程为 y1， 一, 1 一 一、,，点M 1,1到y 的距离为18a8a89124当a 0时，抛物线的准线方程为 y1， 一, 1 一 一、,，点M 1,1到y的距离为18a8a18a8a2, m1解得a .8所以a的值为1或.824故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题5 .如图所示的程序框图，若输出的结果为4,则输入的实数X的取值范围是（以=j? +11 8A. 一,一27 9B.8 19,27C.2,9D.X12,否,3x 12,

5、否，x3x9x 4 ；3,否，x9x27x 13；4,x>12,是,27x13 12；解不等式27x1 , x127,且满足9x4 12, x综上所述，若输出的结果为4,则输入的实数x的取值范围是271点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项6 .在 ABC中，角A, B, C所对边长分别为a, b, c,若a b 2c,则cosC的最小值为（）A.1 B.-2C.D. _32利用余弦定理表示 cosC ,

6、再利用基本不等式求得 cosC的最小值.22,2 a b【详解】由余弦定理得a2 b2 c2 a bFcosC J3 a2 b22ab8ab2ab2ab3 2ab 2ab 1，当且仅当a b时等号成立.8ab 2故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，属于基础题7 .已知两点A 2,0 , B 2,0以及圆C： x 4uur uuuPA PB 0，则的取值范围是（）22y 3 r （r 0）,若圆C上存在点P,满足A. 3,6B. 3,7C. 4,7D. 4,6【答案】B【解析】【分析】求得以AB为直径的圆。的圆心和半径，根据圆O与圆C有公共点列不等式， 解不等式

7、求得r的取值范围uuu uuu【详解】由于圆 C上存在点P,满足PA PB 0，故以AB为直径的圆。与圆C有公共点.圆。的圆心为0,0 ,半径为2 .圆C的圆心为 4,3 ,半径为r所以r 2 OC r 2 ,而oc 442325 ,所以r 2 5r 2 ,解得3 r 7.故选：B【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8 .给出下列说法：设 x 0, y R,则“ x y”是“ x y ”的充分不必要条件；若.1f x x，则X00, ，使得fX01；an为等比数列，则“现a2a3 ”是x 1“a a5”的充分不必要条件

8、；命题“ x R , x N，使得n x2 ”的否定形式是“ x R ,n N ，使得n x2” .其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】将“ x y”与“ x |y ”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断的正确性.利用基本不等式等号成立的条件，判断的正确性.将“ a1 a2 a3”与“a4 a5”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断的正确性.根据命题的否定的知识，判断的正确性.【详解】对于，当“ x y ”时，如12 ,结论1 | 2错误，“ x y ”不是“ x y ”的充分条件，故错误.对于，当x 0时，

9、f x x 1 1 21x1 1 1,当且仅当x 1 ,x0时等x 1. x 1x 1号成立，所以f x 1 ,故错误.对于，在等比数列an中，当“ a1a2a3”时，所以等比数列4 是单调递增数列，所以"a4a5”.当“ a4 a5”时，如1, 2,4, 8,16,L ,不能推出“ a a2 a3” .所以正确.对于，命题“ x R , x N，使得n x2”的否定形式是“ x R , n N ,使得n x2”，故错误.综上所述，正确说法个数为 1个.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查命题的否定，考查基本不等式等号成立的条件，属 于基础题.9.已知某几何体是两

10、个正四棱锥的组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为传祝图A. 8B. 4C. 2 2D. 2【解析】【分析】由此计算出外接球的表面积判断出球心和半径,由于正四棱锥的底面是正方形，由三视图可知，正方形的中心即外接球的球心，且正方形的对角线长的一半为外接球的半径，即外接球的半径为五.所以外接球的表面积为 4& 2 8故选：A【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球的表面积的求法，属于基础题10.不等式组0表示的点集记为A,不等式组xy 2 0表示的点集记为B,在2XA中任取点p,则B的概率为A. 49【答案】C. 2027D.工16画出点集A,B的图像，用阴影部分的面积

11、除以三角形ABC的面积，由此求得所求的概率【详解】点集 A表示的图像为如图所示三角形 ABC，点集B表示的图像为如图所示阴影部分 .由于三角形ABC 的 面12x 2 x dxi故选：C32x 11136阴 影 部 分 的 面9”.所以所求的概率为-23102027【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查定积分，考查不等式组表示区域的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题11.设直线l与抛物线y 1x2相交于A,B两点，与圆C： x24线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是22y 5 r r 0相切于点M ,且M为A. 1,3B. 1,4C. 2,3D. 2,4假设A、

12、B两点的坐标，圆心为 C,求出点M的坐标，由垂直关系，利用斜率之积为-1列式，得到 A B横坐标的关系，由 G M两点间距离为半径也可列式，得到A、B横坐标间关系，由韦达定理逆推解为A、B横坐标的方程，有两个根，由判别式求出半径的范围，当斜率不存在时，也有两条直线，故共四条直线，即1 2X2, X2 ,则点M的坐标为:422KX2 X1X22 ,8已求出半径范围 1 2【详解】设A、B两点的坐标分别为：x1,-x124圆心坐标为：C(0,5),由于相切，所以kAB kcM1,22x1 x2 x1 x2 40-22x1 x2即：一2-二一2 1 ,化简得：x2 x2 24,所以M 22,344

13、x1 x22由 CM 2 r2可得：10 上2 r2,化简得：x12xf2r2 20 2,222222所以t2 24t 2r2 200的两根分别为：x1、x2,222所以： 244 2r 200,解得：2 r 4,此时有两条直线，当斜率为0时，已知存在两条直线满足题意，共四条 故选D.【点睛】本题考查直线与圆和抛物线之间的关系，计算量较大，利用设而不求的方式解题，根据相切时的垂直与距离等于半径两条件列式,由直线只有四条作为限制条件，根据根的判别式求出范围x 2x 4,x 0_12.已知函数f x,若函数F x f x kx有且只有两个零点，则 k的取值范围ln 1 3x ,x 0为（）A. 3

14、,B. 2,3C. 2,3D. 23,【答案】D【解析】【分析】画出f x的图像和y kx的图像，根据两个函数图像有两个交点，求得k的取值范围.x的图像和y kx的图像如下图所示.由图可消去y并化简得x2 2kx 4 0,其 43 一0.由 y ln 1 3x , y ,则1 3x【详解】令Fx f x kx0,得fx kx,画出f知，要使两个函数图像有两个交点，则需 k 0.2y kx当y h与y x 2x 4的图像相切时，由2八y x 2x一，2一判别式 2 k 16 0,解得k 2,由 解得ky |x 0 一- 3 .所以当k 2或k 3时，f x的图像和y kx的图像有两个交点，也即

15、F x有两 1 3 0个零点.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数 学思想方法，属于中档题.第R卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13.将函数f x sin 2x （0）的图像向右平移 一个单位，再将图像上每一点横坐标伸长到原来3的2倍，所得图像关于直线 x 对称，则 的最小正值为 4-11【答案】.12【解析】【分析】先求得函数f x变换后的解析式，根据所得解析式对应的图像关于直线x 一对称，求得 的最小正值4【详解】将函数f x sin 2x0 ）的图像向右平移一个

16、单位，得到3sin 2 xsin 2x,再将图像上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到sin x , 依题意32.5sin sin43122sin x 的图像关于3.一 51 ,故 k 一， k122直线x 一对称，即411k Z ,所以当k 0时，120,2则x2取得最小正值为1211故答案为：12【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数对称性，属于中档题_ 1 114.如果3jx - 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中 二的系数是 xx【答案】-189【解析】令x 1 ,得展开式中各项系数之和为2n .由2n128,得n 7,所以展开式的通项为7 3rTr 1( 1)r

17、37 r C；x'.由 314 ,得r = 5 ,展开式中4的系数是(1)5 37 5 C52x4189.15.已知 ABC 中，AC 3, BC 4,uuu uur uuurC ,点P为ABC外接圆上任意一点，则 CP AB AC 2的最大值为【答案】18【解析】建立平面直角坐标系，求得ABC外接圆的方程，设出点P的坐标，利用向量数量积的坐标运算，求得UUr UUjrCP ABUULTUUUAC的表达式，并由此求得 CPuuu UUrAB AC的最大值.【详解】以C为坐标原点建立平面直角坐标系,依题意3,0 ,B 0,4 ,UUrUUUTAB 3,4 , ACLUUABUUTAC0,

18、4ABC外接圆的圆心D,所以外接圆的方程为3 5 cos2 2,2 5 sin2uur uur uur 3 55uuu uuur uuurCP AB AC cos ,2 sin 0,48 10sin ,故当 一时，CP AB AC 的最2 222大值为8 10 18.故答案为：18【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题16.在数列an中，a1an 1 an an3 '且bn1.记 Fnbi b23 anbn,Snb1b2 Lbn,则3n1PnSn利用累乘法求得Fn ,利用裂项求和法求得Sn ,由此求得3n1PnSn.1由于一an 1an an

19、 3bn所以bnan3an 1Pnb1b2 Lbna a23a2 3a3a33a4an3ana13nan 1 '1又一 an 13an an 3. .bnananan1an 1所以Snb1 b2 Lbn1一.所以a1 a2a2a3anan 1an 13n1Pn Sn 3n1 袅 3，3. 3 an 1an 1故答案为：3【点睛】本小题主要考查累乘法、裂项求和法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在锐角三角形 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 (a c)(sin A sin

20、C) b(sin A sin B)(1)求角C的大小；(2)求co嫉A cos2 B的取值范围.1 3【答案】(1) ; (2)/).32 4【解析】试题分析：(1)由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；(2)利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围试题解析:(1)因为 a c sinA sinCb sinA sinB ,由正弦定理得a c a c2. 22则a b c 2ab根据余弦定理得又因为0 C(2)因为C2贝U cos A cosb a b ,即 a2 b2 c212C 1cosC 一2，所以C 34一,所以2B 2A331

21、 cos2A 1 cos2BB 22ab ，11 cos2A cos2B2,1-41 cos2A cos 2A23彳 1 13 .1cos2 A sin2 A2 2211 cos 2A 23因为三角形ABC为锐角三角形且C ,所以一A 362则232A -33所以 1 cos 2A -一62所以-cos2A cos2B 324即cos2A cos2B的取值范围为点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才

22、能写出角的大小2 18.如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB AE AD ,现将 ABE3沿BE边折至 PBE位置，且平面 PBE 平面BCDE .BC BC求证：平面EffE _平面尸EF ;（2）求二面角E - PF - C的大小.【答案】（1）详见解析；（2） 150 .【解析】试题分析：（1）利用直角三角形，先证明折前有EF 庭，折后这个垂直关系没有改变， 然后由平面PBE 平面BCDE的性质证明 石F_平面产BE,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面PBE 平面PEF ;（2）为方便计算，不妨设AD 3,先以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴

23、，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为 z轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面PEF和平面PCF的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.试题解析：（1）证明：由题可知：折前DEF中ABE中ED DFED DFAE ABAE ABDEF 45 EF BE ,这个垂直关系，折后没有改变AEB 45故折后有平面ABE 平面BCDE平面 ABE 平面 BCDE BE EF 平面 PBE' 平面PBE 平面PEFEF BEEF 平面PEF(2)不妨设AD建立空间直角坐标系量同方向为z轴,代则二- 一，-3,

24、以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面 EBCD向上的法向磅=It J3衣=(-LT 冉可=®:-i P设平面PEF和平面PCF的法向量分别为r uur一由几FP 0及片FF = O可得到再一Ji + Oq =0-21 14再人二0即，j ,不妨取/=门6)uu uuu_又由n2 FP 0及爪-尸尸二0可得到=0 fz-i = J(2.即 .<2z7 =0不妨取.在八L .=11分4+1 + 2 V1+2 2综上所述，二面角 E ?FC大小为1500 12分.考点：1.线线垂直白证明；2.线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.1

25、9.为推行“高中新课程改革”， 某数学老师分别用“传统教学”和“新课程”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果.期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于 120分者为“成绩优良”.分数100,109110,119120,129130,139140,150甲班频数75431乙班频数12557(1)从以上统计数据填写下面 2 2列联表，并判断能否犯错误的频率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：K22n ad bcabcd acbda b c d.临界值表如上表:(2)现从上述40人中，学校按成绩

26、是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这 8人中，记成绩不优良的乙班人数为X,求X的分布列及数学期望【答案】(1)能；(2)分布列见解析,273455甲班乙班总计成绩优良成绩/、优良总计_2P ( Kk°)0.100 050.0250.010k02.7063.8415.0246.635(1)根据题目所给数据填写 2 2列联表，计算K2的数值，由此判断出能在犯错概率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)利用超几何分布的分布列计算方法，计算出 X的分布列，进而计算出数学期望【详解】(1)由统计数据得2 2列联表：甲班乙班总计成绩优良81725成绩/、优良12

27、315总计20204028.64f 6.635,根据2 2列联表中的数据，得 K2的观测值为K2 40 8 3 12 1720 20 25 15所以能在犯错概率不超过 0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为8 3 ,则X的可能取值为0, 1, 2, 3.C3244号P XC3591 '_ 2 _1C12C3 198c35455萃至 X 3q,C15455C15 4550123449T198455364551455所以X的分布列为:所以E X44 1 您 2 旭 3 - 27391455455455 455【点睛】本小题主要考查2 2列联表

28、、独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于中档题.2220.已知椭圆C：-y-1（ a b 0）的左、右焦点分别为F11,0,F21,0且椭圆上存在一点P,a b72满足.PF1 cos F1F2P 23(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知A, B分别是椭圆C的左、右顶点，过F1的直线交椭圆C于M, N两点，记直线 AM, BN的交点为T,是否存在一条定直线 l ,使点T恒在直线l上?(1)2 x1621 ； (2)存在.15【解析】(1)在FiF2 P内利用余弦定理求得 F2P ,根据椭圆的定义求得a,由此求得b,从而求得椭圆C的标准方程.(2)设 T x, y , M Xi

29、,yi ,N X2, y2 ,利用 kATkAM、kBT kBN求得X, Xi,yi,X2, y的关系式，设MN的方程为x my 1与椭圆C的方程联立，并写出韦达定理,并代入上述求得的X,Xi, yi,X2, y2的关系式，由此判断出T横在直线Xi6上.(1)设 F2P x, FiF2P 内,由余弦定理得222 2 x cos FiF2P化简得2x 9 6x ii故2aPFi PF2 8 ,4,b215所以椭圆C的标准方程为2 x162 y15(2)已知AB 4,0Xi,yi ,X2,y2kBTkBN两式相除得x 4x 4 x11516设MN的方程为X24yiX24 V2x1 4yix2 4V

30、2my 1，代入1630my 2250,2yiXi2 161516yix141516yi2-1整理,15恒成立.一 一 2 一得 15m16 y30my215m2 16225一2代入, 15m2 1615 Xi 416y1x2 4y215 my1 5 my2 5得16N1V2215 m y1y25m y1y22516ym5 ._ 一.5 ,得到x 16,故点T在定直线x 16上.3【点睛】本小题主要考查椭圆方程求法,考查余弦定理解三角形，考查直线和椭圆的位置关系，考查定直线问题，考查运算求解能力，属于中档题21.已知函数f3ax(a 0).xx 3 a ln x【详解】(1)由当0<a&

31、lt;3时,当a 3时,当a 3时,3a3x 1 ax 1(x 0)在0,3在(0,+?)上是减函数;上是减函数，在1 1一，一上是增函数;3 a41«1，口41在0,一和一，上是减函数，在 一a 3a1 ， 一上是增函数 3(2)当3 a 4时，由(1)可知f x在1,2上是减函数,f x1f x213 a In 2 3a2由 m In 2 a 31n 2 f x1f X2对任意的a3,4 , X1X21,2 恒成立,m 1n2 a 31n 2 f x1X2max19m 62519m m 86【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化rr一 一-_1即m 1n 2a 31n 23a In 2-3a 对任意3 a2rr-1即m 3 a 一对任意3 a 4恒成立，2c c 1cm 3 301.2设 ha m 3 a 一，则 21m 3 4 - 0 2的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，