2016年辽宁省大连市高三第一次模拟考试理科数学试题及答案

1、2015年一模测试 数学(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其 中第II卷第22题第24题为选考题，其它题为必考题.考生作 答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.-.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小 题给由的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)已知集合A x 1 x 1, B x x2 2x 0,贝U AI B ()(A) 1,0(B) 1,0(C)0,1(D) ( ,1U2,)(2)设复数z 1 i (i是虚数单位)，则2 z2=()z(A) 1 i(B) 1 i(C)1 i(D)1 i

2、(3)已知|a 1, b也，且a (a b),则向量a与向量b的夹角为(A)623(4 )已知ABC中,(B)4内角A,(C)(D)3B, C的对边分别为|a,b,c,若a2 b2 c2 bc, bc 4,则 ABC 的面积为()(A)1(B)1(C) 73(5)已知 a 2,0,1,3,4 , b 1,2 ,则函数, 1 ,f(x) (a2 2)x b为增函数的概率是()(A) 2(B) 3(C) 1(D)且55210(6)阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序.若输由的S为泉则判断框中填写的内容可以是()(A) n 6(B) n 6(C) n 6(7)如图，网格纸上小正方形的边长为线画生

3、的是某多面体的三视图，则该多面体的体积( )(A) 32(B) 64(C)谑33(D) n 8(D)64(8)已知直线y 272(x 1)与抛物线C:y2 4x交于A, B两点，点M ( 1,m),若 MA MB 0 ,贝U m (A).2夸(C)2(D) 0(9)对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数，对任意的x 0,1,恒有f(x) 0 ；当Xi0, x20,Xix21 时，总有f (Xix2)f(Xi)fd)成立,则下列函数不是M函数的是()(A)f (x)x2(B)f (x) 2x 1(C)f (x)ln(x21)(D)f (x)x21x 4y 4 0(10

4、)在平面直角坐标系中，若 P(x,y)满足2x y 10 0,则当xy取5x 2y 2 0得最大值时，点P的坐标是()(A) (4,2)(B) (2,2)(C) (2,6)(D) (-,5)22(11)已知双曲线与 a2b2 1(a 0,b 0)与函数y 4(x 0)的图象交于点P ,若函数y6在点P处的切线过双曲线左焦点F( 1,0),则双曲线的离心率是()(A)号(B)建(C)第(D) |(12)若对x,y 0,)，不等式4ax exy 2 ex y 2 2恒成立，则实数a的最大值是()(A) 1(B) 1(C) 2(D)41 2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分， 第13题第21题为必

5、考题， 每个试题考生都必须做答.第 22题第24题为选考题，考生根据 要求做答.二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在 答卷纸的相应位置上)(13 )函数y ：sinx亨cosx ( x 0,)的单调递增区间是6(14) x 1的展开式中常数项为 2x(15)已知定义在R上的偶函数 ”)在0,)单调递增，且f0 ,则不等式f(x 2) 0的解集是 .(16)同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a,球的半径为R设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan()的值是 .三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写由文字说明、证明过程或演

6、算步骤)(17)(本小题满分12分)2已知数列an中，a1 1,其前n项的和为Sn ,且满足an 三(n 2).2Sn 1(I )求证：数列-1是等差数列； Sn(n)证明：当n 2时，S1 1s2 1&Sn W. 23 n 2ABCD 是(18)(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P-ABCDK底面 菱形，/ DAB= 60o, PD_¥面 ABCDP摩AD=1,点e,f分别为为AB和PD中点.(I)求证：直线AF/平面PEC;(II)求PC与平面PABff成角的正弦值.(19)(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有 5名编号为1, 2, 3, 4, 5的学生进行投篮训

7、练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班6r 5798 1乙班48977(I)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说 明)？(II)若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、 乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y ,试求X和Y的分布列和数学期望（20）（本小题满分12分）已知椭圆I51°）的上顶点为（0,1），且离心率为名,（I ）求椭圆C的方程;(n2证明：过椭圆Ci：亮 m2-yr 1(m n 0)上一点Q(x0, y0)的切线方程 n(m)以圆 X2 y216上一点

8、P向椭圆C引两条切线,切点分别为A,B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时，求MN的最小值.（21）（本小题满分12分）, 10 ,若定义在R上的函数f(x)满足f(x) 等e2x2 x2 2f (0)x,X 1 9g(x) f (-) -x (1 a)x a, 24(I )求函数f(x)解析式；(n)求函数g(x)单调区间；(田)若x、y、m满足|x m | | y m | ,则称x比y更接近m .当a 2 J=L x 1时，试比较e和ex1 a哪个更接近lnx,并说明理由。 x请考生在22, 23, 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔选题目对

9、应的标号涂黑.(22)(本小题满分10分)选修41:选讲如图所示,AB为圆O的直径， BC , CDD几何证明OB在答题卡上把所圆O的切线，B, D为切点.(I )求证： AD / OC ；(n)若圆。的半径为2,求AD OC的值.(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x 3 28s (为y 4 2sin参数)(I)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C的极坐标方程；(n)已知 A( 2,0), B(0,2),圆C上任意一点 M(x,y),求 ABM面积 的最大值.(24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设函数 f

10、(x) 2x 2 x 2 .(I)求不等式f(x) 2的解集；(n)若x R, f(x) t2,恒成立，求实数t的取值范围.201 5年大连市高三一模测试 数学(理科)参考答案与评分标准 说明：一、本解答给生了一种或几种解法供参考，如果考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相 应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步由现错误时，如果后 继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后 继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如 果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累 加分数.四、

11、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一.选择题(1) C; (2) A; (3) B; (4) C; (5)B ; (6) C; (7) D; (8) B; (9) D; (10) D; (11) A ;(12) D.二.填空题(13) 0 ； (14)5； (15) ( ,1U3,); (16) 亚.623a三.解答题(17)解：(I)当 n 2 时，Sn Sn12S22Sn 1Sn1Sn2SnSn1构成以1为首项,2为公差的等差数列。（口）由（1）可知,S1(n 1)Sn12n当n 2时，1Snn11n(2n 1) n(2n 2)112 n(n 1)2(n11一一 11从而 S1 2S

12、2 3S3231 Sn 1n12(11131)n 1 n 2 2n（18）解：（I ）证明：作FM/ CD PC于 M,12'线 AF/.点 F 为 PD 中点，FM 1CD. 2.11 k - , . AE AB FM , 2 '2AEMFJ平行四边形，AF/ EM AF 平面PEC, EM 平面PEC , .二直 平面PEC 6分（II ） Q DAB 60o ,DE DCAxB如图所示，建立坐标系，则R0Q，C（0，1，0），可A(直，1,0), B(直 1,0) 222 2uur 3 1 uurAP ,1,1 , AB 0,1,0 .2 2设平面PAB的一个法向量为n

13、x,y,z .r uuu r uuun AB 0 , n AP 0 ,¥x枭z 0,取x 1,则z岑, y 02平面pab的一个法向量为n（1,0,1）. PC （0,1, 1） , 设向量 n与PC所成角为，. cosr uuir n PC r uuur n PC.4214.p讦面PA断成角的正弦值为号12分（19）解：解：（I）两个班数据的平均值都为7,甲班的方差2Si(6-7)2+ (5-7)2+ (7-7)2+ (9-7)2+ (8-7)乙班的方差2S2(4-7)2+ (8-7)2+ (9-7)2+ (7-7)2+ (7-7)2因为S12 S2,甲班的方差较小，所以甲班的成绩

14、比较稳定(n) x可能取0,1,221131211P(X 0)-, P(X 1)- - ,P(X52552 52 2所以X分布列为：2)13)，X012121110310数学期望EX 0Y可能取0,1,2P(Y 0) 3 1 ,5 5 25所以Y分布列为：P(Y1)1 14_5 25? P(Y2). 16 ,数学期望EY 02511425(20)解：(I)Qb8625 5c_.3a 2,b 1Y012P3148252525椭圆C方程为法一：椭圆C1：2 x-2 m2 y2 ny 0时,当y。时，k2 n1 x。一 y。n2，上。4 分m y。切线方程为V。 a xm

15、y。22n x°x m y°ym y。2 22 2n x。m nx°x-2 m同理可证,Vo。时，切线方程也为%x-2 m当y0=。时，切线方程为x m满足=岑 m n综上，过椭圆上一点Q（x0,y。）的切线方程为1。%x2m解法2.当斜率存在时，设切线方程为 ykx等1。7 分nt ,联立方程：2 x-2 my2 y2 nkx(n21 可得 n2x2m2(kx t)2m2n2 ,化简可得:2 2、 2 m k )x2m2ktx m2(t2 n2)。，由题可得:4 2 2224m k t 4m (n2 222m k )(t n )化简可得:t2式只有一个根,记作X

16、o ,x。m2kt-22, 2n m k2 手，x。为切点的横坐标,切点的纵坐标Vokx。2所以一 2|& mk,所以ky。 n2n x。2，m y。所以切线方程为:y。k(xx。）2n x。/、2 (x x。)，m y。化简得：w券m n当切线斜率不存在时,切线为m,也符合方程%x %y1,22综上：、41在点（x°,y°）处的切线方程为 m nx°x2 m（其它解法可酌情给分）(m)设点 P (xp, yp)为圆 x2y2 16上一点,PA, PB是椭圆1的切线，切点 A(x1, y1), B(x2 , y2) ,过点A的椭圆的切线为x1xT y1y1

17、,过点B的椭圆的切线为早y2yQ两切线都过P点,yypy2yp切点弦AB所在直线方程为XXp4yyp1M (0, 一)，yp4N(一,0),xpMN162xp1162 yp2XP12 yp2XP2 yp161 xp16 yp17162Yp2 xp116 17J 2216 Ypxp25o16当且仅当2 xp 2 yp216与xpXp2 64,yP23时取等, 55MN4,MN |的最小值为5. 12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）2x 2_f '(x)f'(1)e 2x2f(0),所以 f'(1)f'(1)2f(0),f(0) 1 .又 f (0)所以f

18、（x）fjne e22xe2,所以f'(1)(2) Q f(x) e2x 2x x2,. 18 g(x) f(x) 4x2 (1 a)x.5分1 2 -x41 2x - x (1 a)x a 4ex a(x 1). 20 ,g (x) ex a,当a00时,g (x) 0,函数在R上单调递增；当a 0时，由 g (x) e：,lna 时，g (x) 0, g(x)单调递减；x 1n a,时，g (x) 0 , g(x)综上，当a00时，函数g(x)的单调递增区间为)；当a 0时,函数g(x)的单调递增区间为lna,单调递减区间为,1n a . . 8分(3)(田)解：设 p(x) -

19、1nx,q(x) ex1 a In x, xQ p'(x)-4-0, P(x)在 x 1,)上为减函数，又 p(e) 0,x x当1 x e时,P(x) 0 ,当 x e 时，p(x) 0.x11x11Qq'(x) ex1, q''(x) ex1=0,xxq'(x)在x 1,)上为增函数，又 q1(1) 0,x 1,)时，q1(x) 0, q(x)在 x 1,)上为增函数，q(x) q(1) a 2 0.当 1 x e 时，| p(x) | |q(x)| p(x) q(x) - ex1 a, x设 m(x) e ex1 a,则 m'(x) 与 ex1 0, m(x)在 x 1,)上为减函数, xxm(x) m(1) e 1 a ,Q a 2, m(x) 0,| p(x) | |q(x)|,£ 比 ex1 更接近 In x.x当 xe 时，| p(x) | |q(x)| p(x)q(x)- 21nxex 1a 2ln xex 1x设 n(x)21n x ex 1 a,则 n'(x) -ex 1 ,n''(x) 与 ex 10,xx门'国在* e时为减函数， n'(x) n'(e) 2 ee 1 0, en(x)在 x e 时为减函数， n(x) n(e) 2 a e